ECE 2 MATHEMATIQUES DS 1 - durée : 4h
8 septembre 2020
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
1. Soitk,petntrois entiers tels que 06k6p6n.
a. Montrer que n k
! n−k p−k
!
= p
k
! n p
! . b. En déduire une expression simplifiée de S=
p
X
k=0
n k
! n−k p−k
! . 2. Calculer T =
n
X
k=0
k n
k
.
Exercice II.
Soitf la fonction définie par f(x) =x2√
1−x2. On rappelle la formule de dérivation (√
u)0 = u0 2√
u. 1. DéterminerDf.
2. On admet quef est de classeC2sur]−1; 1[. Vérifier que ∀x∈]−1; 1[, f00(x) = 6x4−9x2+ 2 (1−x2)32 . 3. Etudier la convexité defsurDf. (On pourra faire un changement de variable pour factoriser le numérateur.) 4. Recopier et compléter le programme suivant pour qu’il trace l’allure du graphe def:
x=-1 :0.01 :1 y=...
plot(...)
On rappelle que la racine carrée est invoquée en Scilab au moyen de "sqrt".
Exercice III.
Soit(un)n∈Nla suite définie par un+1 = u2n
2 + 3un et u0= 3.
1. a. Montrer que ∀n∈N, un>0.
b. Etudier les variations de(un)n∈N. c. Que peut-on en déduire ?
2. a. Montrer que ∀n∈N, un+1 6 un
3 . b. En déduire que ∀n∈N, un6 1
3n−1.
c. En utilisant notamment les questions précédentes, déterminer alors la limite de la suite.
3. Compléter le programme Scilab qui suit pour qu’il renvoie un entierntel queun610−2: u=...
n=...
while ...
u=...
n=...
end disp(...)
ECE 2 1/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 1 - durée : 4h
8 septembre 2020
Exercice IV.
On considère les matrices :
M =
0 1 2 2 2 2 2 1 0
, P =
1 2 1
−2 0 2 1 −2 1
, Q= 1 4
1 −1 1
1 0 −1
1 1 1
et D=
0 0 0
0 −2 0
0 0 4
.
1. a. Vérifier que Q=P−1. b. Vérifier que M =P DP−1.
2. a. Dire, sans calcul, siDest inversible.
b. En déduire l’inversibilité ou la non-inversibilité deM. 3. a. Montrer que ∀n∈N∗, Mn=P DnP−1.
b. DonnerDnsans calcul, puis expliciterMn, pourn∈N∗.
(indication : la1erecolonne deMnest 1 4
4n+ 2(−2)n 2×4n 4n−2(−2)n
.)
4. On considère trois suitesa, betctelles que
a0= 1 b0 = 0 c0 = 0
et ∀n∈N,
an+1=bn+ 2cn
bn+1 = 2an+ 2bn+ 2cn cn+1 = 2an+bn
On introduit la matrice Xn=
an
bn
cn
.
a. Vérifier que ∀n∈N, Xn+1=M Xn puis que ∀n∈N, Xn=MnX0.
b. En déduire l’expression des suites (an)n∈N,(bn)n∈Net(cn)n∈N en fonction den.
5. Créer un programme Scilab qui demande un entier n ∈ N à l’utilisateur, et calcule et affiche tous les termes des suites(an)n∈N,(bn)n∈Net(cn)n∈Njusqu’à l’indicen.
ECE 2 2/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 1 - durée : 4h
8 septembre 2020
Exercice V.
Une urne contient des boules blanches et des boules noires.
La proportion de boules blanches estpet la proportion de boules noires estq.
Ainsi, on a 0< p <1, 0< q <1 et p+q = 1.
Partie A. Tirages avec arrêt dès qu’une boule noire a été obtenue
Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu une boule noire.
On noteT la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués etU la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
1. Reconnaître la loi deT, et donner, pour tout entierk>1, P(T =k). 2. Rappeler l’espérance et la variance deT.
3. En déduire queU admet une espérance et une variance. DéterminerE(U)etV(U).
Partie B. Tirages avec arrêt dès qu’une boule blanche et une noire ont été obtenues
Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu au moins une boule blanche et une boule noire.
On noteXla variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
On noteY la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
On noteZ. la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues.
Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l’événement [Y = 1]∪[Z = 1] est égale à1.
On pose, pourk∈N∗, Bk={lakeboule tirée est blanche}, et Nk =Bk. 1. a. Donner X(Ω).
b. Pourn>2, exprimer[X=n]en fonction des évènements élémentaires.
c. Montrer que ∀n>2, P(X =n) =qpn−1+pqn−1. d. Vérifier que
+∞
X
n=2
P(X=n) = 1.
e. Montrer que la variable aléatoireXadmet une espérance et que E(X) = 1 p +1
q −1.
2. a. Exprimer [X =k]∩[Y = 1] en fonction des évènements élémentaires.
(On distinguera les cas k= 2 et k>3.)
b. Pour tout entierk>2, déterminer P([X=k]∩[Y = 1]).
c. En déduire, en sommant sur l’indicek, que P(Y = 1) =q(1 +p).
3. Montrer que ∀k>2, P(Y =k) =qpk.
4. a. En déduire que l’espérance deY existe et vaut E(Y) = 1
q(1−p+p2).
b. Combien vautE(Z)?
ECE 2 3/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 1 - durée : 4h
8 septembre 2020
Exercice VI.
On considére le fonctionf définie pour tout réelxpositif ou nul parf(x) = 1−e−x. Partie A.
1. a. Dresser le tableau de variations def.
b. Montrer que ∀x∈R+, f(x)6x, l’égalité ayant lieu seulement pourx= 0.
2. a. Montrer que, pour tout entier naturelnet pour tout réelx:
e−x =
n
X
k=0
(−1)kxk
k! + (−1)n+1 Z x
0
(x−t)n n! e−tdt
b. En écrivant l’égalité précédente pourn= 2, puis pourn= 3, montrer que :
∀x∈R, x2 2 −x3
6 6x−f(x)6 x2 2
Partie B.
On rappelle lethéorème:
Siuest continue surI,a∈I, et F(x) = Z x
a
u(t)dt, alorsF ∈ C1(I), et ∀x∈I, F0(x) =u(x).
1. On noteϕla fonction définie surRpar ϕ(0) = 1 et ∀x∈R∗+, ϕ(x) = f(x) x . Montrer queϕest continue surR+.
On considére la fonctiongdéfinie surRpar g(0) = 1 et ∀x∈R∗+, g(x) = 1 x
Z x 0
ϕ(t)dt.
2. a. Vérifier quegest bien définie et continue surR∗+. b. Montrer que ∀x∈R∗+, 1−x
4 6g(x)61− x 4 +x2
18.
c. En déduire quegest continue en0, dérivable en0, puis donnerg0(0).
3. a. Montrer que ∀x∈]1,+∞[, Z x
1
ϕ(t)dt6ln(x).
b. En déduire quega une limite finie en+∞, et donner la valeur de cette limite.
4. a. Pour tout réelxstrictement positif, calculerg0(x)et l’écrire sous la forme g0(x) = h(x) x2 . b. Montrer alors que ∀x >0, xh0(x) = (x+ 1)e−x−1.
c. Etudier la fonction notéekdéfinie par ∀x∈R+, k(x) = (x+ 1)e−x−1.
d. Donner le signe dek, puis les variations deget enfin celles deg.
e. Dresser le tableau de variations deg et tracer l’allure de sa courbe représentative dans un repére orthonormé.
ECE 2 4/4 Lycée François Couperin
