Soit p premier et k entier tels que 0 < k < p . a. Montrer que

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1.

Petit théorème de Fermat.

Soit p premier et k entier tels que 0 < k < p . a. Montrer que

k ∧ p = 1 ⇒ p divise p

k

En déduire que

∀a ∈ N , (a + 1)

≡ a

+ 1 mod p.

b. Montrer que

∀a ∈ N , a

≡ a mod p.

En déduire

a ∧ p = 1 ⇒ a

≡ 1 mod p.

(petit théorème de Fermat voir en 10 une version plus générale)

2.

Dans tout l'exercice a, b, c , d , désignent des na- turels non nuls. On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers et des relations entre des max , des min , des sommes et des produits de valuations p -adiques.

a. Montrer que a ∧ (b ∨ a) = a et a ∨ (b ∧ a) = a.

b. Montrer que a ∧ (bc) = a ∧ c et a ∨ (bc) = b(a ∨ c) lorsque a et b sont premiers entre eux.

c. On suppose ici que a divise b . Montrer que b ∧ c = (a ∧ c)

c a ∧ c ∧ b

a

(a ∨ c) b

a = (b ∨ c) c

a ∧ c ∧ b a

d. Montrer que c ∨ (a ∧ b) divise c ∨ a et c ∨ b et que les quotients sont premiers entre eux.

En déduire que ∨ est distributive sur ∧ : (c ∨ a) ∧ (c ∨ b) = c ∨ (a ∧ b).

e. Montrer que ∧ est distributive sur ∨ : (c ∧ a) ∨ (c ∧ b) = c ∧ (a ∨ b).

3.

Soit x , y , z des naturels non nuls, on pose M = x ∨ y ∨ z, m = xy ∧ yz ∧ zx Montrer que mM = xyz .

4.

Soit p 6= 3 un nombre premier.

Montrer que 8p

+ 1 est congru à 0 modulo 3 . Montrer que 8p − 1 premier entraine 8p + 1 divisible par 3 . 5.

Déterminer tous les couples d'entiers relatifs tels

que a + b = 182 et a ∧ b = 13 .

6.

Discuter et résoudre les systèmes ( x ≡ 8 mod 15

x ≡ 5 mod 6

( x ≡ 5 mod 20 x ≡ 7 mod 14

( x ≡ 7 mod 15 x ≡ 5 mod 6

7.

Indicatrice d'Euler.

Soit n ≥ 2 naturel et x ∈ Z, montrer

(∃y ∈ Z tq xy ≡ 1 mod n) ⇔ n ∧ x = 1 On note ϕ(n) le nombre d'éléments de J 1, n K premiers avec n . La fonction ϕ est appelée l'indicatrice d'Euler.

Si p est un nombre premier, que vaut ϕ(p) et ϕ(p

) pour n ∈ N

?

8.

Soit G un groupe commutatif ni de cardinal n = pq avec p et q premier entre eux. On admet que g

= e pour tout g dans G (théorème de Lagrange al07). On note G

(respectivement G

) l'ensemble des g de G dont l'ordre divise p (respectivement q ).

a. Montrer que G

et G

sont des sous-groupes de G . b. Montrer que l'application

( G

× G

→ G

(a, b) → ab

est un isomorphisme de groupe. En déduire que ]G

= p et ]G

= q .

9.

Nombre de diviseurs.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 . On note d(n) le nombre de diviseurs positifs de n .

a. Si la décomposition en facteurs premiers de n est n = p

p

· · · p

Exprimer d(n) à l'aide de m

, · · · , m

. (valuations p -adiques de n ) En déduire que d est multiplicative c'est à dire que

a ∧ b = 1 ⇒ d(ab) = d(a)d(b)

b. Montrer que n est un carré d'entier si et seulement si d(n) est impair.

c. Montrer que le produit de tous les diviseurs de n est √

n

.

d. Montrer que le nombre de couples (a, b) d'entiers tels que le ppcm de a et de b soit n est égal au nombre de diviseurs de n

.

10.

Petit théorème de Fermat étendu.

Soit n ≥ 2 naturel et U

l'ensemble des racines n -ièmes de l'unité. On note M l'ensemble des fonctions µ , de U

dans U

et vériant :

∀(u, u

) ∈ U

, µ(uu

) = µ(u) µ(u

) Pour µ et µ

dans M , on dénit µ.µ

par :

∀u ∈ U

, (µ.µ

)(u) = µ(u) µ

(u) a. Montrer que (M, ., ◦) est un anneau.

1On donnera deux solutions pour les questions b. et c. : une utilisant la paramétrisation de l'ensemble des diviseurs sous-jacente à la question a., l'autre le regroupement des diviseurs par paires {d, d⁰} telles que dd⁰=n.

2On remarquera que l'opération additive de cet anneau est la mul- tiplication fonctionnelle !

b. Montrer que, pour tout µ ∈ M , il existe un unique m ∈ J 0, n − 1 K tel que

∀u ∈ U

, µ(u) = u

En déduire le nombre d'éléments de M .

c. Montrer que le groupe des inversibles de l'anneau M contient ϕ(n) éléments (exercice 7 az07 indica- trice d'Euler).

d. En utilisant le théorème de Lagrange dans le cas commutatif (exercice al05 de la feuille Groupes, an- neaux, corps), montrer le petit théorème de Fermat étendu.

Pour m et n entiers supérieurs à 2 : m

≡ 1 mod (n) voir en 1 une version plus simple.

11.

Calculer le reste de la division de 2

− 3 par 65 . 12.

Pour n naturel non nul, soit p

, · · · , p

les n pre-

miers nombres premiers. On note aussi

q

= p

p

· · · p

= 2 × 3 × 5 × · · · × p

On note P l'ensemble des nombres premiers et, pour 0 <

a < b , on note P

(b) l'ensemble des nombres premiers congrus à b modulo a .

a. Montrer que J n! + 2, n! + n K et J q

+ 2, q

+ p

K ne contiennent aucun nombre premier.

b. Montrer que P \ {2} = P

(1) ∪ P

(3) . En considé- rant 2

+ 3 , montrer que P

(3) est inni.

c. Montrer que P \ {2, 3} = P

(1) ∪ P

(5) . En consi- dérant

+ 5 , montrer que P

(5) est inni.

13.

Résoudre les systèmes de congruence modulo 7 : ( 3x + 2y ≡ 1

2x + 5y ≡ 6 ,

( x − 3y ≡ 4 3x + 6y ≡ 6 ,

( 4x + 3y ≡ 2 3x + 5y ≡ −3 . Résoudre les systèmes de congruence modulo 4.

( 2x + 3y ≡ 1 x + y ≡ 2 ,

( 2x − 2y ≡ 2 x + 3y ≡ 1 . 14.

a. Montrer que le carré d'un nombre impair est congru à 1 modulo 8.

b. Montrer que le cube d'un entier est congru à 0 ou 1 ou −1 modulo 7 .

c. Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5 . Montrer que 24 divise p

− 1 .

15.

Soit p , n , m naturels tels que 0 < p , 0 < n < m et r le reste de la division de m par n . Montrer que le reste de la division de p

− 1 par p

− 1 est p

− 1 . Que peut-on en déduire pour (p

− 1) ∧ (p

− 1) ? Un nombre de Mersenne est de la forme

M

= 2

− 1.

Montrer que M

premier entraine n premier. Montrer que M

n'est pas premier.

16.

Soit a et b entiers non nuls. Montrer que (a + b) ∧ (ab) = 1 ⇔ a ∧ b = 1.

En déduire a ∧ b = (a + b) ∧ (a ∨ b) .

17.

Soit x et y non nuls dans z et a , b , c , d dans Z tels que δ = ad − bc 6= 0 . On dénit u et v :

( u = ax + by v = cx + dy . a. Montrer que x ∧ y divise u ∧ v . b. Montrer que u ∧ v divise δ(x ∧ y) . c. Montrer que

δ = ±1 ⇒ u ∧ v = x ∧ y.

d. Montrer que si δ = p est premier u ∧ v = x ∧ y ou

p(x ∧ y) .

Lycée Hoche MPSI B Feuille Arithmétique dans Z : corrigés

1.

a. D'après l'expression des coecients du binôme avec des produits :

p n

= p n

p − 1 n − 1

⇒ p divise n p

n

⇒ p divise p

n

lorsque n ∧ p = 1 d'après le théorème de Gauss.

En développant (a+ 1)

avec la formule du binôme, tous les coecients sauf les deux extrèmes dispa- raissement modulo p . On en déduit la formule de- mandée.

b. On raisonne par récurrence sur a . La formule est évidente pour a = 0 ou 1 . On passe de a à a + 1 avec la première question.

Lorsque a ∧ p = 1 , il existe b (théorème de Be- zout) tel que ab ≡ 1 mod p . Il sut de multiplier la relation précédente par b pour obtenir le petit théorème de Fermat.

2.

a. Si u divise v alors u∧ v = u et u∨v = v . Ici a divise a ∨ b donc a ∧ (b ∨ a) = a . De même b ∧ a divise a donc a ∨ (b ∧ a) = a .

b. Pour a, b, · · · naturels non nuls, on notera α, β les valuations p -adiques c'est à dire que, pour tout nombre premier p , l'exposant de p dans la décom- position de a en facteurs premiers est α(p) . Celui de b est β(p) . Le résultat fondamental utilisé ici est la valuation p -adique de a∧b est min(α(p), β(p)) , la valuation p -adique de a ∨b est max(α(p), β(p) . On note x = α(p), y = β(p), · · · et on présente dans un tableau les relations justiant les formules demandées.

xy = 0 a ∧ b = 1

min(x, y + z) = min(x, z) a ∧ (bc) = a ∧ c max(x, y + z) = y + max(x, z) a ∨ (bc) = a ∨ c c. On suppose que a divise b . Par linéarité puis asso-

ciativité du pgcd :

(a ∧ c) c

a ∧ c ∧ b a

= c ∧

(a ∧ c) b a

= c ∧

b ∧ bc a

=

c ∧ b a c

∧ b = c ∧ b.

Utilisons la propriété (u ∧ v)(u ∨ v) = uv . On déduit de la relation précédente

ac a ∨ c

c a ∧ c ∧ b

a

= cb c ∨ b

⇒ (c ∨ b) c

a ∧ c ∧ b a

= cb

ac (a ∨ c) = b a (a ∨ c).

d. On utilise encore le produit du pgcd et du ppcm.

Z 3 c ∨ a

c ∨ (a ∧ b) = ca(a ∧ b ∧ c) (c ∧ a)c(a ∧ b) =

a a∧b a∧c a∧b∧c

⇒ c ∨ a

c ∨ (a ∧ b) divise a a ∧ b .

De même c ∨ b c ∨ (a ∧ b) =

b a∧b b∧c a∧b∧c

⇒ c ∨ b

c ∨ (a ∧ b) divise b a ∧ b . Comme

et

sont premiers entre eux, leurs diviseurs aussi.

En multipliant par c ∨ (a ∧ b) et par linéarité du pgcd :

c ∨ a c ∨ (a ∧ b)

∧

c ∨ b c ∨ (a ∧ b)

= 1

⇒ (c ∨ a) ∧ (c ∨ b) = c ∨ (a ∧ b).

e. On utilise les relations précédentes

(c∧a)∨(c∧b) = [(c ∧ a) ∨ c]∧[(c ∧ a) ∨ b] (distr.)

= c ∧ [(c ∨ b) ∧ (a ∨ b)] (distr.)

= [c ∧ (c ∨ b)] ∧ (a ∨ b) = c ∧ (a ∨ b).

3.

Soit p un nombre premier. Alors v

(m) = min(v

(xy), v

(yz), v

(zx))

= min(v

(xyz) −v

(z), v

(zyz)−v

(x), v

(xyz)−v

(y))

= v

(xyz) − max(v

(x), v

(y), v

(z)) On en déduit mM = xyz .

4.

Parmi trois nombres consécutifs, un est forcément divisible par 3 . Si 8p−1 est premier, il n'est pas divisible par 3 , le nombre 8p ne l'est pas non plus donc 8p+1 doit l'être. Un nombre premier qui n'est pas 3 est congru à 1 ou −1 modulo 3 donc 8p

+ 1 est congru à 9 modulo 3 donc divisible par 3 .

5. pas de correction pour Eaz05.tex 6.

(S1) :

( x ≡ 8 mod 15 x ≡ 5 mod 6

⇔ ∃(λ, µ) ∈ Z

tq

( x = 8 + 15λ x = 5 + 6µ

⇔ ∃(λ, µ) ∈ Z

tq

( x = 9 + 15λ 3 = −15λ + 6µ

3 = −15λ + 6µ ⇔ 1 = −5λ + 2µ.

Une solution évidente est λ = 1 , µ = 3 . Les autres solu- tions sont λ = 1 + 2k et µ = 3 + 5k avec k ∈ Z.

Ensemble des sols de (S1) = {23 + 30k, k ∈ Z } .

(S2) :

( x ≡ 5 mod 20 x ≡ 7 mod 14

⇔ ∃(λ, µ) ∈ Z

tq

( x = 5 + 20λ x = 7 + 14µ

⇔ ∃(λ, µ) ∈ Z

tq

( x = 5 + 20λ 2 = 20λ − 14µ 2 = 20λ − 14µ ⇔ 1 = 10λ − 7µ.

Une solution évidente est λ = −2 , µ = −3 . Les autres solutions sont λ = −2 + 7k et µ = −3 + 10k avec k ∈ Z.

Ensemble des sols de (S2) = {−35 + 140k, k ∈ Z } .

(S3) :

( x ≡ 7 mod 15 x ≡ 5 mod 6

⇔ ∃(λ, µ) ∈ Z

tq

( x = 7 + 15λ x = 5 + 6µ

⇔ ∃(λ, µ) ∈ Z

tq

( x = 7 + 15λ 2 = −15λ + 6µ Il n'existe pas de couple (λ, µ) car −15λ+6µ est toujours un multiple de 3 .

L'ensemble des solutions de (S3) est vide.

7. pas de correction pour Eaz07.tex 8. pas de correction pour Eaz08.tex 9.

a. Dans la décomposition d'un diviseur, l'exposant de p

est arbitraire entre 0 et m

. Le nombre de divi- seurs de n est donc

d(n) = (1 + m

) · · · (1 + m

).

b. On introduit une relation entre les diviseurs posi- tifs de n : d et d

sont en relation si et seulement si dd

= n . C'est une relation d'équivalence, les classes forment donc une partition de l'ensemble des divi- seurs positifs. Or toutes les classes sont des paires sauf éventuellement le singleton {m} si m

= n . On en déduit que n est un carré d'entier si et seule- ment si il existe une telle classe à un élement c'est àdire si et seulement si d(n) est impair.

c. On remarque d'abord que si n est un carré alors n

aussi. Si n n'est pas un carré, alors d(n) est pair donc n

est encore un carré.

Écrivons le produit des diviseurs

π = Y

(i1,···,i_k)∈J0,m1K×···×J0,m_kK

p

· · · p

= p

m1 (m1 +1) 2

1

· · · p

mp(m1 +1) 2

1

⇒ π

= (p

· · · p

)

= n

(n).

d. Soit (a, b) dont le ppcm est n , notons α

et β

les exposants de p

. Un doit être égal à m

et l'autre

plus petit. Attention, à ne pas compter deux fois le couple (m

, m

) . On en déduit donc que le nombre de couples cherché est

(2(m

+ 1) − 1) · · · (2(m

+ 1) − 1)

= (1 + 2m

) · · · (1 + 2m

) = d(n

) 10. pas de correction pour Eaz10.tex

11. pas de correction pour Eaz11.tex 12.

a. On remarque que n! + 2 est divisible par 2 , n! + 3 est divisible par 3 , · · · , n! + n est divisible par n . De manière analogue, tout x entre 2 = p

et p

admet un diviseur premier p

avec i ≤ n . On en déduit que q

+ x est divisible par p

.

b. Un nombre premier n'est pas congru à 0 mod 4 car il serait divisible par 4 ; ni congru à 2 (sauf 2 ) car il serait pair. On a donc

P \ {2} = P

(1) ∪ P

(3)

Si p est un diviseur premier de m = 2

+3 inférieur à p

, il divise 3 . Le seul possible serait 3 mais 3 ne divise pas m . Tous les diviseurs premiers de m sont donc strictement plus grands que p

. Ils ne sont pas tous congrus à 1 modulo 4 car 2q

+ 3 ≡ 3 mod 4 (car p

= 2 ). Il existe donc un nombre premier congru à 3 modulo 4 et plus grand que n'importe quel nombre premier.

c. Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut être congru modulo 6 qu'à 1 ou 5 (sinon il serait divisible par 2 ou 3 ). Un diviseur premier de m =

+ 5 est strictement supérieur à p

sinon il diviserait 5 et 5 n'est pas un diviseur de m . De plus m ≡ 5 mod 6 car p

= 2 et p

= 3 donc les diviseurs premiers de m ne sont pas tous congrus à 1 modulo 6 .

13.

Systèmes modulo 7.

(S1) :

( 3x + 2y ≡ 1 ×5 × − 2 2x + 5y ≡ 6 × − 2 ×3 On combine pour éliminer les y , puis les x :

(S1) ⇒ 11x ≡ 7 ⇒ x ≡ 0 car 11 ∧ 7 = 1.

(S1) ⇒ 11y ≡ 16 ⇒ 4y ≡ 2 ⇒ 8y ≡ 2 ⇒ y ≡ 4.

Réciproquement, on vérie que x ≡ 0

y ≡ 4 )

⇒

( 3x + 2y ≡ 1 2x + 5y ≡ 6 .

(S2) :

( x − 3y ≡ 4 ×2 × − 3 3x + 6y ≡ 6 ×1 ×1 On combine pour éliminer les y , puis les x :

(S2) ⇒ 6x ≡ 14 ⇒ x ≡ 0 car 6 ∧ 7 = 1.

(S2) ⇒ 15y ≡ −6 ⇒ y ≡ 1.

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Réciproque immédiate.

(S3) :

( 4x + 3y ≡ 2 ×5 × − 3 3x + 5y ≡ −3 × − 3 ×4 On combine pour éliminer les y , puis les x :

(S3) ⇒ 11x ≡ 19 ⇒ 4x ≡ 5 ⇒ 8x ≡ 10 ⇒ x ≡ 3.

(S 3) ⇒ 11y ≡ −18 ⇒ 4y ≡ 3 ⇒ y ≡ 6.

Réciproque immédiate.

14.

a. à compléter b. à compléter

c. Le nombre premier p est impair donc p − 1 et p+ 1 sont pairs d'où p

− 1 = (p − 1)(p + 1) est divisible par 4 . Un des trois entiers consécutifs

p − 1, p, p + 1

est divisible par 3 et ce n'est pas p donc (p−1)(p+1) est divisible par 3 . Comme 2∧3 = 1 , on a bien p

−1 divisible par 24 .

15.

Soit m = qn + r la division de m par n . Alors

p

− 1 = p

− p

+ p

− 1 = p

((p

)

− 1) + p

− 1

= (p

− 1)p

p

+ p

+ · · · + 1 Comme 0 < p

−1 < p

−1 , cette écriture est la division euclidienne de p

− 1 par p

− 1 . Les suites de divisions euclidiennes de l'algorithme d'Euclide pour le calcul du pgcd de m et n ou de p

− 1 et p

− 1 sont parallèles.

On en déduit

(p

− 1) ∧ (p

− 1) = p

− 1.

Si n n'est pas premier, il admet un diviseur m tel que 1 < m < n . La question précédente (avec p = 2 ) montre que 2

− 1 divise M

. On en déduit

M

premier ⇒ n premier .

Bien que M 2 = 3 , M

= 7 , M

= 31 , M

= 127 soient premiers, la réciproque est fausse car M

= 2047 n'est pas premier car il est divisible par 23 . Ce diviseur a été trouvé à l'aide de quelques lignes de Python

d = 2

while 2047 % d != 0 and d*d <= 2047:

d += 1 print(d)

16.

Supposons (a+b)∧(ab) = 1 et utilisons le théorème de Bezout. Il existe des entiers λ et µ tels que

λ(a + b) + µ(ab) = 1 ⇒ λa + (λ + µa)b = 1.

On en déduit a ∧ b = 1 .

Réciproquement, supposons a ∧ b = 1 et considérons un diviseur premier p de ab et de a + b . Comme il est premier, il divise a ou b . Mais comme p divise a + b , s'il

divise l'un il doit diviser l'autre en contradiction avec le fait que a et b sont premiers entre eux. Donc ab et a + b n'ont pas de diviseur premier en commun, ils sont premiers entre eux.

Autre méthode, d'après Bezout, il existe λ et µ tels que λa+µb = 1 . On transforme le carré pour faire apparaitre a + b et ab .

1 = (λa + µa)

= λ

(a(a + b) − ab) + µ

(b(a + b) − ab) + 2λµab

= λ

a + µ

b

(a + b) + 2λµ − λ

− µ

ab

= λ

a + µ

b

(a + b) − (λ − µ)

ab.

On conclut par le théorème de Bezout. On veut montrer a ∧ b = (a + b) ∧ (a ∨ b).

C'est une conséquence immédiate de la relation précé- dente lorsque a et b sont premiers entre eux. Dans le cas général on utilise la linéarité avec les notations ha- bituelles d = a ∧ b , a = da

, ... .

(a + b) ∧ (a ∨ b) = d(a

+ b

) ∧ (a

∨ b

)

= d(a

+ b

) ∧ (a

b

) = d = a ∧ b.

17.

a. D'après Bezout, il existe λ , µ tels que u ∧ v = λu + µv

= (λa + µc)x + (λb + µd)y ∈ M(x ∧ y).

b. En combinant les lignes, on obtient ( δx = du − bv

δy = −cu + av D'après la première question,

u ∧ v divise (δx) ∧ (δy) = δ(x ∧ y).

c. Notons λ et µ les entiers tels que

u ∧ v = λ(x ∧ y), δ(x ∧ y) = µ(u ∧ v).

On en tire λµ = δ . Si δ est un nombre premier p , λ

est 1 ou p donc u ∧ v est x ∧ y ou p(x ∧ y) .