Montrer que A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C si et seulement si B = C . Montrer que

1.

Soient A , B , C sont des parties quelconques d'un ensemble E .

Montrer que A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C si et seulement si B = C . Montrer que

A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C)

2.

Soit E un ensemble. On va étudier diverses équa- tions d'inconnue X dans P(E) .

a. Soit A et B des parties de E . Discuter de l'existence de solutions de l'équation E(A, B) :

X ∪ A = B

Lorsque E(A, B) admet des solutions, caractériser par une double inclusion les parties X de E qui sont solutions.

b. En se ramenant à l'équation précédente, discuter de l'existence de solutions pour les équations suivantes et caractériser les parties de E qui sont solutions.

(1) X ∩ A = B, (2) X \ A = B, (3) A \ X = B c. Soit I un ensemble et (A _i ) _i∈I , (B _i ) _i∈I deux familles de parties de E . Résoudre les systèmes d'équations en précisant les conditions assurant l'existence de solutions.

(S 1 ) : ∀i ∈ I, A i ∪ X = B i

(S ₂ ) : ∀i ∈ I, A _i ∩ X = B _i 3.

Négation d'une proposition.

a. Soit X une partie de R, nier

∀x ∈ X, ∃n ∈ N tel que x ≤ n

b. Soit (x n ) _n∈N une suite de nombres complexes, nier

∃M ∈ R tel que ∀n ∈ N , |x _n | ≤ M c. Soit (x n ) _n∈N une suite de nombres réels, nier

∀ε > 0, ∃N ∈ N tq ∀n ∈ N , (n ≥ N ⇒ |x _n | < ε) 4.

Soit E un ensemble, R une relation réexive dans

E telle que

∀(x, y, z) ∈ E ³ ,

x R y

y R z ⇒ z R x . Vérier que R est une relation d'équivalence.

5.

(voir exercice 20 ) Soit A , B , C trois parties d'un ensemble E . Montrer que

(A ∩ B)∪(B ∩C)∪(C ∩ A) ⊂ (A∪ B)∩(B ∪C)∩(C ∪ A).

Pour tout x ∈ E , on note n(x) le nombre de parties A , B , C auxquelles x appartient. En utilisant n(x) , montrer l'inclusion inverse.

6.

) Soit ≺ une relation d'ordre (pas forcément total) sur un ensemble A . Soit a et b deux éléments quelconques de A . Montrer que

(a ≺ b et a 6= b) ⇒ (b ≺ a faux ) .

Montrer, en donnant un exemple, que l'implication réci- proque est fausse.

7.

Soit E et F deux ensembles, f une application de E dans F ; A, B, · · · sont des parties quelconques de E ; X, Y, · · · sont des parties quelconques de F . Montrer que f(A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) (1) f(A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) (2)

f (f ⁻¹ (X)) ⊂ X (3)

A ⊂ f ⁻¹ (f (A)) (4) Montrer l'égalité dans (2) et (4) lorsque f est injective, dans (3) lorsque f est surjective. Montrer que l'égalité dans (4) entraine f injective. Montrer que l'égalité dans (3) entraine f surjective.

8.

Soit f, g, h trois fonctions telles que h◦g◦f , g◦f ◦h , f ◦ h ◦ g soient dénies. Comment cette hypothèse se traduit-elle sur les espaces de départ et d'arrivée des diérentes fonctions ? On suppose que h◦ g ◦ f et g ◦ f ◦ h sont injectives et que f ◦ h ◦ g est surjective.

Montrer que f , g , h sont bijectives.

9.

Forme ensembliste du procédé diagonal de Cantor.

Soit E un ensemble et f une application de E dans P(E) . En considérant

A = {x, x ∈ E et x / ∈ f(x)}

montrer que f n'est pas surjective.

10.

Soit E un ensemble et f une application de P (E) dans P(E) telle que

∀(A, B) ∈ P(E) ² , A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B).

Soit

U = {Z ∈ P(E), f(Z) ⊂ Z} U = \

Z∈U

Z

V = {Z ∈ P(E), Z ⊂ f (Z)} V = [

Z∈V

Z

Montrer que f (U) = U et f (V ) = V .

11.

Soit A et B deux parties non vides d'un ensemble E , soit f une application de P (E) dans P(A) × P(B) dénie par :

∀X ∈ P(E), f(X ) = (A ∩ X, B ∩ X )

Montrer que f est injective si et seulement si A ∪ B = E et que f est surjective si et seulement si A ∩ B = ∅ . 12.

Soit E et F deux ensembles, f une application de

E dans F , A , B , · · · sont des parties de E , X , Y , · · · sont des parties de F . On dénit des applications Φ et ϕ par

∀A ∈ P(E), Φ(A) = f (A)

∀X ∈ P(F), ϕ(X ) = f ⁻¹ (X ) Montrer les propriétés suivantes :

f injective ⇔ Φ injective f injective ⇒ ϕ surjective f surjective ⇔ Φ surjective f surjective ⇒ ϕ injective

On pourra considérer ϕ◦Φ lorsque f est injective et Φ◦ϕ

lorsque f est surjective.

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13.

Sur un ensemble E = {e, a, b} , former la table d'une opération admettant e comme élément neutre et pour laquelle certains éléments ont plusieurs inverses.

Que dire de l'associativité d'une telle opération ? 14.

Système et opérateur de fermeture.

Un système de fermeture sur un ensemble E est une partie C de P(E) vériant :

∀D ⊂ C, \

D∈D

D ∈ C

Un opérateur de fermeture sur E est une application J : P(E) → P (E) vériant J ◦ J = J et

∀(X, X ⁰ ) ∈ P(E) : X ⊂ X ⁰ ⇒ J(X ) ⊂ J (X ⁰ ),

∀X ∈ P(E) : X ⊂ J (X).

a. Soit C un système de fermeture sur E .

On dénit une fonction J de P (E) dans P(E) par :

∀X ⊂ E, J (X ) = \

Y ∈C et X⊂Y

Y.

Montrer que J est un opérateur de fermeture.

b. Soit J un opérateur de fermeture.

On dénit une partie C de P (E) par : C = {X ⊂ E tq J(X ) = X } . Montrer que C est un système de fermeture.

15.

Soit E un ensemble et f ∈ F (E, E) tels que

∃(p, q) ∈ N ² , 0 < p < q et f ^q = f ^p . Les puissances sont relatives à la composition

f ^p = f ◦ · · · ◦ f

| {z }

p fois

.

Montrer que f injective ⇔ f surjective ⇔ f ^q−p = Id _E . 16.

Soit E et F deux ensembles et f une fonction de

E dans F . Montrer que f est injective si et seulement si

∀(A, B) ∈ P(E) ² : f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) 17.

On dénit une relation ≺ sur N × N en posant

∀(x, y) ∈ N ² , ∀(x ⁰ , y ⁰ ) ∈ N ² : (x, y) ≺ (x ⁰ , y ⁰ )

⇔



 

 

x + y < x ⁰ + y ⁰ ou

x + y = x ⁰ + y ⁰ et y ≤ y ⁰ Montrer que ≺ est une relation d'ordre. Montrer que toute partie non vide admet un plus petit élément.

Soit (x, y) ∈ N ² , calculer le nombre de couples (a, b) ∈ N ² tels que (a, b) ≺ (x, y) . En déduire une bijection ex- plicite de N × N dans N.

18.

Soit E un ensemble xé. On dénit des opérations notées ↑ et ↓ sur P(E) en posant

∀(A, B) ∈ P(E) ² ,

( A ↓ B = A ∪ B A ↑ B = A ∩ B

Ces opérations sont elles commutatives, associatives ? Existe-t-il des éléments neutres ? des éléments inver- sibles ?

Exprimer A ¯ , A ∪B , A ∩B , A \B en utilisant uniquement l' opération ↓ . Même question avec ↑ .

19.

Soit E un ensemble et f , g deux applications de E dans E telles que f ◦ g injective et g ◦ f surjective.

Montrer que f et g sont bijectives.

20.

Extension de l'exercice 5. Soit n naturel non nul et A ₁ , A ₂ , · · · , A _n des parties d'un ensemble E . Pour toute partie I de J 1, n K, on dénit

A b I = \

i∈I

A i ,

∨

A I = [

i∈I

A i

A b _I = \

i∈I

A _i ,

∨

A _I = [

i∈I

A _i

où X désigne le complémentaire de X dans E .

Pour p ∈ J 1, n K, on désigne par P _p l'ensemble des parties de J 1, n K à p éléments. On dénit

U p = [

I∈P

A b I , N p = \

I∈P

∨

A I .

Pour x ∈ E , on note n(x) le nombre de parties A i conte- nant x et n(x) le nombre de parties A i ne contenant pas x de sorte que n(x) + n(x) = n .

a. Exprimer avec des quanticateurs qu'un élément x ∈ E appartient ou non aux parties de E dénies par l'énoncé.

b. Montrer que, pour tout x ∈ E ,

x ∈ U p ⇔ n(x) ≥ p, x ∈ N p ⇔ n(x) < p.

c. En remarquant que n(x) < p ⇔ n(x) ≤ p − 1 , montrer que N _p = U _n−p+1 .

21.

On dénit une relation ≺ sur N × N en posant

∀(x, y) ∈ N ² , ∀(x ⁰ , y ⁰ ) ∈ N ² : (x, y) ≺ (x ⁰ , y ⁰ )

⇔



 

 

x + 2y < x ⁰ + 2y ⁰ ou

x + 2y = x ⁰ + 2y ⁰ et y ≤ y ⁰ Montrer que ≺ est une relation d'ordre. Montrer que toute partie non vide admet un plus petit élément.

22.

Soit E un ensemble, P une partition de E , A une partie de P , B = C P A . On note

F = {x ∈ E, ∃A ∈ A, x ∈ A}

G = {x ∈ E, ∃B ∈ B, x ∈ B}

Exprimer F et G à l'aide d'un symbole d'union ensem- bliste. Montrer que A (resp B ) est une partition de F (resp G ). Établir G = C E (F ) .

23.

Soit A ⊂ X , comparer P (A) et P(X ) pour l'inclu-

sion. Soient A et B des parties d'un ensemble E . Compa-

rer P (A)∩ P(B) et P(A ∩B) pour l'inclusion. Comparer

P(A) ∪ P(B) et P(A ∪ B) pour l'inclusion.

24.

Soient A , B , C des parties d'un ensemble E . Ca- ractériser la relation A ∪ B = B ∩ C à l'aide d'inclusions entre A , B et C .

25.

Donner la liste des éléments de P(E) avec E = P ({∅}).

26.

Soit F l'ensemble des fonctions de N dans {1, 2, 3} . Pour i ∈ {1, 2, 3} , on pose

A i = {f ∈ F tq f (0) = i}

En formant une relation d'équivalence, montrer que (A ₁ , A ₂ , A ₃ ) est une partition de F .

27.

On dénit une relation notée ∼ dans l'ensemble U des nombres complexes de module 1 en posant

a ∼ b ⇔ ∃(p, q) ∈ N ² tq

( a = b ^p b = a ^q

Montrer que ∼ est une relation d'équivalence. Étudier les classes d'équivalence.

28.

Soit E , F , G trois ensembles, f ∈ F(E, F ) et g ∈ F (F, G) .

a. Montrer que

g ◦ f injective f surjective

)

⇒ g injective

b. Montrer que

g ◦ f surjective g injective

)

⇒ f surjective

29.

Soit f une fonction de Z dans Z injective telle que f (0) = 0 et que l'image d'un intervalle soit un intervalle.

Montrer qu'elle est égale à Id _Z ou − Id _Z . Que se passe-t-il si on enlève l'hypothèse f (0) = 0 ?

30.

Soit E un ensemble. Dans P (E) , on dénit l'opé- ration diérence symétrique notée ∆ par :

∀(A, B) ∈ P(E) ² , A∆B = A \ B ∩ B \ A.

a. Pour X et Y dans P(E) , calculer (X∆Y )∆X.

b. Soit A et B dans P(E) . Discuter, selon A et B de l'ensemble des solutions de l'équation

X∆A = B d'inconnue X ∈ P(E) .

31.

Pour s'entrainer à raisonner : des démonstrations en exercices en partant d'un jeu d'axiomes.

On admet les propriétés suivantes.

N est un ensemble non vide, muni d'une relation d'ordre (notée ≤ ) et non majoré.

Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

On note 0 = min N et J 0, n K l'ensemble des entiers plus petits que n .

Comme N est non majoré, aucun naturel n n'est un ma- jorant de N. Le complémentaire N \ J 0, n K est donc non vide pour tout n ∈ N. On dénit une application S de N dans N ^∗ = N \ {0} avec

S(n) = min( N \ J 0, n K ) L'application S est surjective.

On convient de noter 1 = S(0) .

On admet que pour tout n 6= 0 , il existe m ∈ N tel que S(m) = n .

La notation usuelle a < b signie a ≤ b et a 6= b . Vous devez prouver les propositions numérotées en utili- sant uniquement les propriétés admises et les propriétes avec un numéro plus petit.

a. N est totalement ordonné.

b. Pour tous naturels a et b ,

b < a ⇔ (a ≤ b faux ) c. Pour tout n naturel, n < S(n) et

J 0, S(n) K = J 0, n K ∪ {S(n)}

d. S est strictement croissante et injective.

e. Principe de récurrence. Soit A une partie de N telle que

∃a ∈ A et ∀n ∈ N : n ∈ A ⇒ S(n) ∈ A alors A = J a, +∞ J = {k ∈ N tq a ≤ k} .

f. Récurrence descendante. Soit n ∈ N et A ⊂ J 0, n K vériant n ∈ A et, pour x ∈ J 0, n − 1 K,

S(x) ∈ A ⇒ x ∈ A alors J 0, n K ⊂ A .

g. Pour tous éléments x et n de N :

n ≤ x < S(n) ⇒ x = n n < x ≤ S(n) ⇒ x = S(n)

h. Toute partie de N non vide et majorée admet un plus grand élément.

i. Dénitions. Un ensemble Ω est ni si et seulement si toute application injective de Ω dans lui même est surjective. Un ensemble est inni si et seulement si il n'est pas ni. Un ensemble est inni dénombrable si et seulement si il est en bijection avec N.

j. N n'est pas ni.

k. S'il existe une bijection entre deux ensembles A et B , alors A est ni si et seulement si B est ni.

l. Toute partie d'un ensemble ni est nie.

m. Soit n ∈ N et ϕ une application strictement crois- sante de J 0, n K dans N. Alors x ≤ ϕ(x) pour tous les x ∈ J 0, n K.

n. Soit n ∈ N et ϕ strictement croissante de J 0, n K dans J 0, n K, alors ϕ est l'identité de J 0, n K.

o. Soit n ∈ N et ϕ une application de J 0, n K dans N,

alors ϕ( J 0, n K ) est une partie majorée de N.

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p. La partie J 0, n K de N est nie pour tout entier na- turel n .

q. Soit p et q deux entiers naturels tels qu'il existe une application injective de J 0, p K dans J 0, q K, alors p ≤ q .

r. Soit A une partie de N pour laquelle, pour tout n ∈ N, il existe une application injective de J 0, n K dans A , alors A est innie.

s. Soit A un ensemble. S'il existe une application in- jective de N dans A , alors A n'est pas ni.

t. Soit A un ensemble ni non vide. Il existe un unique entier naturel n pour lequel il existe une bijection entre J 0, n K et A .

u. Toute partie nie non vide de N admet un plus grand élément.

v. Toute partie d'un ensemble ni est nie et son car-

dinal est inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble

qui le contient.

1.

Il est bien évident que

B = C ⇒

( A ∩ B = A ∩ C A ∪ B = A ∪ C Réciproquement, on veut montrer

( A ∩ B = A ∩ C

A ∪ B = A ∪ C ⇒ B = C

On veut donc montrer une égalité ensembliste B = C en utilisant certaines hypothèses.

On peut raisonner avec des éléments en prouvant deux inclusions.

Pour montrer B ⊂ C , on commence le raisonnement par un Quelque soit b ∈ B .

Pour tout b ∈ B , on veut montrer que b ∈ C . Comme B ⊂ A ∪ B = A ∪ C par hypothèse, b ∈ A ∪ C . Donc b est soit dans A , soit dans C soit dans les deux. S'il est dans A , il est dans A ∩ B = A ∩ C , il est donc forcément dans C . On en déduit B ⊂ C .

Comme B et C jouent des rôles symétriques, l'autre in- clusion se démontre de la même manière d'où B = C . On peut aussi prouver ce résultat en calculant avec les relations

X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z ) X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ) En eet :

B = B ∩ (A ∪ B) car B ⊂ A ∪ B

= B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ C)

= (C ∩A)∪ (B ∩ C) = C ∩(A ∪ B) = C ∩ (A ∪ C) = C 2.

On notera X ¯ le complémentaire d'une partie X de

E dans E .

a. Si l'équation admet une solution alors A ⊂ B . On en déduit la discussion.

Si A n'est pas inclus dans B , l'équation n'admet pas de solutions.

Si A ⊂ B alors l'équation admet des solutions et une partie X de E est solution si et seulement si

B \ A ⊂ X et X ⊂ B

On peut remarquer que l'ensemble des solutions est en bijection avec l'ensemble des parties de A . b. Équation (1) . Une partie X de E est solution si et seulement si X ¯ est solution de E( ¯ A, B) ¯ . On en déduit que (1) admet des solutions si et seulement

si A ¯ ⊂ B ¯ ⇔ B ⊂ A

Dans ce cas, X ⊂ E est solution de (1) si et seule- ment si

B ¯ \ A ¯ ⊂ X ¯ ⊂ B ¯ ⇔ B ⊂ X ⊂ B ∪ A ¯ Équation (2) . Une partie X est solution de (2) si et seulement si X ¯ est solution de E(A, B ¯ ) . Il existe des solutions si et seulement si

A ⊂ B ¯ ⇔ A ∩ B = ∅

Dans ce cas, X ⊂ E est solution de (2) si et seule- ment si

B ¯ \ A ⊂ X ¯ ⊂ B ¯ ⇔ B ⊂ X ⊂ A ∪ B

Équation (3) . Une partie X est solution de (3) si et seulement si X est solution de E( ¯ A, B) ¯ . Il existe des solutions si et seulement si

A ¯ ⊂ B ¯ ⇔ B ⊂ A

Dans ce cas, X ⊂ E est solution de (3) si et seule- ment si

B ¯ \ A ¯ ⊂ X ⊂ B ¯ ⇔ A \ B ⊂ X ⊂ B ¯

c. D'après la question a., pour tous les i de I , l'équa- tion i du système (S ₁ ) admet des solutions si et seulement si A i ⊂ B i . Lorsque ceci est réalisé, une partie X est solution du système si et seulement si B i \ A i ⊂ X ⊂ B i pour tous les i ∈ I . Par dénition de l'union et de l'intersection d'une famille, ceci est équivalent à

[

i∈I

(B _i \ A _i ) ⊂ X ⊂ \

i∈I

B _i

On peut donc conclure que la condition assurant l'existence de solutions pour le système est

∀i ∈ I, A i ⊂ B i et [

i∈I

(B i \ A i ) ⊂ \

i∈I

B i

Pour (S ₂ ) , on remarque que X est solution de (S ₂ ) si et seulement si X ¯ est solution du système S ₁ attaché aux complémentaires.

3.

Négation des propositions.

a. Soit X une partie de R,

∃x ∈ X tq ∀n ∈ N , n < x.

Cette proposition est clairement fausse.

b. Soit (x _n ) _n∈

N une suite de nombres complexes,

∀M ∈ R , ∃n M ∈ N tq M < |x n

|.

Cette proposition signie que la suite (x n ) _n∈

N n'est pas bornée.

c. Soit (x n ) _n∈N une suite de nombres réels,

∃ε > 0 tq ∀N ∈ N , ∃n N ∈ N

tq ((n ≥ N ⇒ |x n | < ε) faux ) L'implication P ⇒ Q est une abbréviation pour non P ou P . Sa négation est donc

P et non Q.

Finalement, la négation demandée s'écrit :

∃ε > 0 tq ∀N ∈ N , ∃n N ∈ N

tq (n ≥ N et ε ≤ |x n |) .

Lycée Hoche MPSI B Feuille Raisonnement et vocabulaire ensembliste : corrigés

4.

On doit montrer que la relation est symétrique et transitive. On remarque que la transitivité ajoutée à l'hypothèse spécique entraîne la transitivité.

Pour la symétrie, on utilise la réexivité avec la propriété spécique :

xRy yRy

)

⇒ yRx

5.

a. Des inclusions évidentes :

A ∩ B ⊂



 

  A ∪ B B ∪ C C ∪ A

⇒ A ∩ B ⊂ (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A) De même pour B ∩ C et C ∩ A . On en déduit l'in- clusion demandée.

b. Il est clair que l'ensemble à gauche de l'inclusion précédente (union d'intersections) est l'ensemble des x de E tels que n(x) ≥ 2 .

Considérons un x dans (A ∪ B)∩ (B ∪ C) ∩(C ∪ A) . Il est alors dans l'union donc n(x) ≥ 1 . Si x / ∈ A alors x ∈ B et x ∈ C car il appartient aux trois unions. On en déduit n(x) ≥ 2 . De même s'il n'est pas dans B ou pas dans C . Ceci prouve l'inclusion demandée et donc l'égalité.

c. Soit 0 < p < n . Considérons :

{x ∈ E tq n(x) ≥ p} = ∪ I∈P

A ˆ _I

En notant P p l'ensemble des parties à p éléments de J 1, n K et, pour une telle partie I = {i 1 , · · · , i p } ,

A ˆ I = \

i∈I

A i = A i

∩ A i

∩ · · · ∩ A i

6.

Si a ≺ b et a 6= b alors b ≺ a ne peut être vrai car, par antisymétrie d'une relation d'ordre, a ≺ b et b ≺ a entrainent a = b .

C'est évident dans un ensemble P (E) avec la relation d'ordre ⊂ .

7. pas de correction pour Evs07.tex

8.

Notons D f l'espace de départ de f et A f son es- pace d'arrivée et adoptons des notations analogues pour les autres fonctions. La possibilité de composer les fonc- tions se traduit par des inclusions :

h ◦ g ◦ f :

( A _f ⊂ D _g A g ⊂ D h

g ◦ f ◦ h :

( A h ⊂ D f

A f ⊂ D g

f ◦ h ◦ g :

( A g ⊂ D h

A _h ⊂ D _f

Comme certaines inclusions se repètent : trois susent : A _f ⊂ D _g , A _g ⊂ D _h , A _h ⊂ D _f .

On utilise les résultats relatifs à la composition de 2 fonc- tions. Si la composée est injective alors la première est injective, si la composée est surjective, alors la deuxième est surjective.

h ◦ g ◦ f injective f ◦ h ◦ g surjective

)

⇒ f bijective

Avec le même argument, on obtient g ◦ f et f ◦ h injec- tives et f ◦ h surjectives. En composant par la bijection réciproque f ⁻¹ , on conserve les propriétés. On en déduit que g et h sont injectives et h surjective. On a donc h bijective. Il ne manque plus que la surjectivité de g qui se déduit de celle de f ◦ h ◦ g et de la bijectivité de f et h .

9.

Considérons l'ensemble indiqué par l'énoncé A = {x ∈ E tq x / ∈ f (x)}

On va montrer que A n'est pas l'image par f d'un élé- ment de E .

En eet, pour tout a ∈ A , a / ∈ f (a) par dénition de A . On en déduit que f (a) 6= A car a ∈ A et a / ∈ f (A) . D'autre part, pour tout x / ∈ A , on a x ∈ f (x) par dé- nition de A . Cette fois encore, f (x) 6= A car x ∈ f (x) et x / ∈ A .

Il est donc impossible que A soit une image par f , la fonction f ne peut pas être surjective.

10. pas de correction pour Evs10.tex

11.

Pour montrer que f injective entraine A ∪ B = E , considérer les images par f de E et de A ∪ B .

Pour montrer que A ∪ B = E entraine f injective, dé- composer une partie quelconque X de E en

X = (A ∩ X) ∪ (B ∩ X ).

Pour montrer que f surjective entraine A ∩ B = ∅ , on peut considérer un antécédent de (∅, A ∩ B) .

Pour montrer que A ∩ B = ∅ entraine f surjective, on peut considérer, pour tout A 1 ⊂ A et B 1 ⊂ B , f (A 1 ∪ B 1 ) .

12. pas de correction pour Evs12.tex

13.

La table suivante répond aux contraintes : e est bien neutre , les éléments a et b admettent chacun les élé- ments a et b pour inverses. La loi ne peut pas être asso- ciative car (prop de cours) l'inverse devrait être unique.

e a b

e e a b

a a e e b b e e 14.

Corrigé à compléter.

15. corrigé de vs15 à rédiger

16. pas de correction pour Evs16.tex

17.

Pour montrer la transitivité, ne pas chercher à traduire des équivalences par des combinaisons. Utiliser l'implication

(x, y) ≺ (x ⁰ , y ⁰ ) ⇒ x + y ≤ x ⁰ + y ⁰

18.

Les opérations sont commutatives mais pas asso- ciatives. Il n'existe pas d'élément neutre. La recherche d'éléments inversibles n'est donc pas pertinente.

On trouve A ¯ = A ↓ A et

A ∪ B = A ↓ B = (A ↓ B ) ↓ (A ↓ B)

A ∩ B = ¯ A ∪ B = ¯ A ↓ B ¯ = (A ↓ A) ↓ (B ↓ B) On obtient des formules du même genre avec ↑ .

19.

D'après un résultat de cours, f ◦g injective entraine g injective et g ◦ f surjective entraine g surjective. On en déduit que g est bijective. La composition par une ap- plication bijective conserve l'injectivité et la bijectivité donc f ◦ g injective et g bijective entraine f injective. De même g ◦ f surjective et g bijective entraine f surjective.

On en tire que f est également bijective.

20.

voir le cours : Entiers naturels, ensembles nis, dé- nombrement

21. pas de correction pour Evs21.tex 22. pas de correction pour Evs22.tex 23. pas de correction pour Evs23.tex 24.

Si A ∪ B = B ∩ C ,

A ∪ B ⊂ B ⇒ A ⊂ B A ∪ B ⊂ C ⇒ B ⊂ C

)

⇒ A ⊂ B ⊂ C.

Réciproquement, si A ⊂ B ⊂ C , A ∪ B = B = B ∩ C.

25.

E = P ({∅}) = {∅, {∅}} ,

P(E) = {∅, E, {∅} , {{∅}}} .

26. pas de correction pour Evs26.tex 27. pas de correction pour Evs27.tex 28. pas de correction pour Evs28.tex

29.

Comme f est injective, f ( J 0, 1 K ) est une paire qui est un intervalle c'est donc J −1, 0 K ou J 0, 1 K.

Supposons f (1) = 1 et montrons par récurrence f (n) = n pour tous les n ∈ N. Si f (n) = n , il sut de considérer l'image de J n, n + 1 K.

Pour les nombres négatifs, on considère J n − 1, n K en supposant f (n) = n .

Si f (1) = −1 , on se ramène au cas précédent en consi- dérant −f qui vérie les mêmes propriétés.

Si on ne suppose plus f (0) = 0 , il existe d'autres so- lutions par exemple les translations. On peut montrer alors que les seules solutions sont les fonctions

n 7→ εn + c avec c ∈ Z et ε = ±1 .

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