Montrer que pour toute application continueγ : [a, b

UNSA 2009/2010 L3–Variable complexe Feuille d’exercices n^o1

Topologie deC et Fonctions holomorphes

1. On noteD_R(w) ={z∈C| |z−w|< R}le disque ouvert de centrew∈C et de rayonR >0, etD_R(w) le disque ferm´e de centrew∈Cet de rayonR≥0.

1.a. Rappeler les d´efinitions des ouverts, ferm´es, connexes, compacts deC. 1.b. D´eterminer la nature topologique deT

n>0D1

n(0), de S

n>0Dn−1 n (0), deS

n∈ZD1

2(n) et deS

n∈ZD1 2(n).

1.c. Montrer que pour tous (w₁, w₂)∈C^∗×C, l’ensemblew₁D_R(w₂) ={z∈ C|z =w₁z⁰, z⁰ ∈D_R(w₂)} constitue un disque ouvert dont en d´eterminera le centre et le rayon.

2. SoitS¹={z∈C| |z|= 1}le cercle-unit´e deC.

2.a. Montrer queC\S¹est r´eunion disjointe de deux ouvertsU₀etU₁deC. 2.b. Caract´eriser l’appartenancez∈Ui, i= 0,1,`a l’aide du module|z|.

2.c. Montrer que pour toute application continueγ : [a, b] → C telle que γ(a)∈U0 etγ(b)∈U1, il existe t∈]a, b[ tel queγ(t)∈S¹.

2.d. Montrer que l’application R→S¹ :t 7→ e^it est un hom´eomorphisme local, i.e. que pour toutt∈Ril existe un ouvertU deRcontenantttel que la restrictionf_|U :U →f(U) est un hom´eomorphisme.

3. On identifieraC`aR<sup>2</sup>par l’hom´eomorphismea+ib7→(a, b). D´eterminer parmi les matrices r´eelles A ∈M2(R) celles dont l’endomorphisme associ´e A: R<sup>2</sup> → R<sup>2</sup> correspond `a l’application C → C : z 7→ (a+ib)z. En d´eduire un isomorphisme de groupes entreSO(2) etS¹.

4. Montrer que pour toutn∈N, l’applicationC→C:z7→zⁿest holomor- phe. En d´eduire que toute fonction polynomialeC→C:z7→a₀+a₁z+· · ·+ a_nzⁿ aveca_i∈Cest holomorphe.

5. Soit A = a b

c d

une matrice r´eelle de d´eterminant 1, et supposons c6= 0. On consid`ere l’applicationφ:C\{−^d_c} →C:z7→ ^az+b_cz+d.

Montrer que φ est holomorphe. Calculer sa d´eriv´ee. Montrer que φ = f4f3f2f1 pour f1(z) =z+^d_c f2(z) = ¹_z, f3(z) =−_c^z2, f4(z) =z+ ^a_c. En d´eduire queφconserve les “angles”.

6. Une fonction r´eellef :U →R, de classeC² sur un ouvertU de R², est diteharmonique si la fonction ^∂_∂x^2f₂ +^∂_∂y^2f₂ s’annule surU.

Montrer que parties r´eelle et imaginaire d’une fonction holomorphe sont harmoniques. Montrer que pour toute fonction harmonique f sur U ⊂R², la fonctiong(x+iy) =^∂f_∂x(x, y)−i^∂f_∂y(x, y) est holomorphe surU.