Pour s’entraˆıner Exercice 4 a) PourX un ensemble muni de la distance discr`ete, d´ecrire les boules ouvertes, les boules ferm´ees, puis les ouverts et les ferm´es

Universit´e Lille I L3 Maths

2013-2014 M-52

2 - VOCABULAIRE DES ESPACES TOPOLOGIQUES

Quizz

Exercice 1 – Ouverts, ferm´es

a) L’intervalle [0; 1[ est-il ouvert (resp. ferm´e) dans R?

b) DansR²euclidien, les parties suivantes sont-elles des ouverts :

{(x, y)/ −1< x <1,−1< y <1} , {(x, y)/ −1≤x <1,−1≤y <1}

Exercice 2 – Topologie induite

a) D´ecrire les ouverts et les ferm´es de [a;b[ et [a; +∞[ pour la topologie induite parR.

b) DansR², on consid`ere l’axe des abscisses A eta∈A : quel est le lien entre les voisinages deadans Aet dansR²?

Exercice 3 – Adh´erence, suites

a) SiAest `a la fois dense et ferm´e dansX, que peut-on dire ?

b) Soit (xn) une suite dans un espace m´etrique : montrer que si (xn) converge, elle n’a qu’une seule valeur d’adh´erence, mais que la r´eciproque est fausse.

Pour s’entraˆıner Exercice 4

a) PourX un ensemble muni de la distance discr`ete, d´ecrire les boules ouvertes, les boules ferm´ees, puis les ouverts et les ferm´es.

b) DansR²euclidien, ]0; 1[×{0} est-il ouvert ? [0; 1]× {0} est-il ferm´e ?

Exercice 5

a) Soit (E, d) un espace m´etrique etA⊂E,x∈E : montrer quex∈A⇔d(x, A) = 0.

b) Montrer que dans un espace m´etrique, les singletons sont ferm´es.

Exercice 6

On sait que pour tous nombres r´eelsx < y, il existe un rationnelr∈]x;y[.

a) En d´eduire que tout r´eel xest limite d’une suite de rationnels (rn)n. b) V´erifier quern= 10⁻ⁿE(10ⁿx) convient.

1

Exercice 7

SoitE =C([0; 1],R) muni de la normeN∞, et A={f ∈E | ∀t ∈[0; 1], f(t)>0}. Montrer que pour toutf ∈A, il exister >0 tel queB(f, r)⊂A. Que peut-on en d´eduire surA?

Exercice 8

a) Montrer que siA⊂B sont deux parties d’un espace topologiqueX, alorsA⊂^◦ B^◦ etA⊂B.

b) V´erifier que A=A et

◦

A=◦ A. Montrer que^◦ A^◦ ⊂A etA⊂^◦

◦

A, mais que ces deux inclusions peuvent ˆetre strictes (par exemple pourA=QdansR).

Exercice 9

Soit E un K-espace vectoriel norm´e. Montrer que A⊂ E est d’int´erieur non vide si et seulement si A contient une boule ouverte. En d´eduire que tout sous-espace vectoriel strictF deE est d’int´erieur vide (raisonner par l’absurde, et montrer queF contient alors E).

Les essentiels

Exercice 10 – Un exemple d’espace topologique non s´epar´e

Sur X = R², on d´efinit O comme l’ensemble des parties de X qui sont r´eunion de droites verticales, augment´e de∅.

a) Montrer queOd´efinit une topologie surX. En donner une base.

b) Pourx= (a, b)∈X, d´ecrire les voisinages de x. S’agit-il de la topologie euclidienne surR²?

c) Un espace topologique est dits´epar´esi pour tousx6=y, on peut trouver deux ouverts disjointsU 3x etV 3y. Montrer queX n’est pas s´epar´e.

d) Soitxn= (0,1/n) : v´erifier que tout point (0, b) est limite dansX de la suite (xn).

e) Quelle est la topologie induite sur l’axe des abscisses ? Sur l’axe des ordonn´ees ?

Exercice 11

Soit (E₁, d₁) et (E₂, d₂) deux espaces m´etriques. Dans l’espace (E₁×E₂, d_max), on sait (cours) que tout produit de ferm´es est un ferm´e. En d´eduire que tout produit d’ouverts est un ouvert.

Exercice 12

Soit (E, d) un espace m´etrique.

a) Montrer queB(a, r)⊂BF(a, r) et donner un exemple d’inclusion stricte (on pourra consid´erer par exempleE ={0} ∪[1; +∞[).

b) Montrer qu’il y a ´egalit´e dans unK-espace vectoriel norm´e.

Exercice 13

SoitE=`^∞(C) l’ensemble des suites born´ees, muni de la normeN_∞.

a) Montrer, en utilisant la d´efinition d’un ferm´e, queF ={u= (u_n)∈E/ u₀= 1}est ferm´e dansE.

b) Pourk∈N, on pose

v^(k)= (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0, . . .)

o`u le 1 se trouve `a laki`eme place. CalculerN_∞(v^(k)) etN_∞(v^(k)−v^(l)). En d´eduire que (v^(k))k est une suite d’´el´ements de la boule unit´e ferm´ee deE qui n’admet aucune sous-suite convergente.

c) SoitAl’ensemble des suitesstationnaires (i.e.constantes `a partir d’un certain rang), etula suite de terme g´en´eralun= _n+1¹ : montrer queu∈A.

2

Pour aller plus loin

Exercice 14 – Densit´e de aZ+bZdans R

Soita, bdes r´eels non nuls etH =aZ+bZ={ak+bl/ k, l∈Z}.

a) V´erifier queH est un sous-groupe de (R,+). A quelle condition existe-t-ilc∈Rtel queH =cZ? b) En d´eduire, en utilisant la classification des sous-groupes de (R,+), que H est dense dans R si et

seulement si ^a_b ∈/ Q.

Exercice 15 – Topologie produit

a) Soit (E₁, d₁) et (E₂, d₂) deux espaces m´etriques. Montrer que, dans (E₁×E₂, d_max), les ouverts sont exactement lesr´eunionsde produits d’ouverts.

b) Donner dansR×Run exemple d’ouvert qui ne soit pas de la formeO₁×O₂ avecO₁, O₂des ouverts deR.

c) SiX etY sont deux espaces topologiques, que peut-on mettre comme topologie sur le produitX×Y?

3