Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre d’automne 2014-2015 Maths III PMI - Analyse
Feuille d’exercices no4
Topologie des espaces vectoriels norm´es
1 Ouverts et ferm´ es
Exercice 1. D´emontrer les affirmations suivantes en utilisant la d´efinition d’un ouvert et d’un ferm´e.
1. ]a, b[ est ouvert dansR(a < b).
2. [a, b] est ferm´e dansR(a < b).
3. [a, b[ n’est ni ouvert ni ferm´e dansR(a < b).
4. {1/n|n∈N∗} ∪ {0}est ferm´e dansR.
5. {1/n|n∈N∗}n’est ni ouvert ni ferm´e dansR. 6. Tout ouvert deRnest une r´eunion de boules ouvertes.
7. SiF est un sous-espace vectoriel deRn contenant une boule ouverte, alorsF =Rn. Exercice 2. D´eterminer si les ensembles suivantes sont ouverts, ferm´es ou ni ouverts ni ferm´es :
1. l’intervalle{(x, y)∈R2|1< x <3, y= 0} dansR2, 2. le cercle unit´e :{(x, y)∈R2|x2+y2= 1},
3. le disque unit´e :{(x, y)∈R2|x2+y2≤1}.
Exercice 3. SoitE un espace vectoriel norm´e. On fixex0∈E et on d´efinitf :E→E parf :u7→x0+u.
1. Montrer que siU ⊂E est une partie ouverte, alorsf(U) est aussi une partie ouverte deE.
2. Montrer que siF⊂E est une partie ferm´ee, alors f(F) est aussi une partie ferm´ee deE.
Exercice 4. 1. Montrer que si{Ui}Ii=1est une famille finie d’ouverts deRn alors
I
\
i=1
Ui est un ouvert deRn. 2. D´eterminer \
n∈N∗
]−1/n,1/n[ et en d´eduire que le r´esultat pr´ec´edent ne se g´en´eralise pas lorsque l’on consid`ere une famille infinie d’ouverts.
3. Enoncer (et d´emontrer) les r´esultats analogues `a ceux qui pr´ec`edent concernant l’union d’une famille de ferm´es.
Exercice 5. D´emontrer queZest une partie ferm´ee deR, une premi`ere fois en observant que son compl´ementaire est ouvert, et une seconde par la caract´erisation s´equentielle des parties ferm´ees.
Exercice 6. SoitE un espace vectoriel norm´e. D´emontrer que l’int´erieur d’une boule ferm´ee est la boule ouverte de mˆeme rayon.
Exercice 7. Soit (E,k·k) un espace vectoriel norm´e. Pour une partieX deE, on note ˚X l’int´erieur deX. Soient A, B deux parties deE.
1. SiA⊂B, montrer que ˚A⊂B.˚ 2. Comparer les ensembles ˚
A\∩B et ˚A∩B˚ 3. Comparer les ensembles ˚
A\∪B et ˚A∪B.˚
Exercice 8. D´eterminer l’int´erieur des ensembles suivants. D´eterminer ´egalement s’ils sont ouverts, ferm´es ou ni ouverts ni ferm´es.
1
1. A={(x, y, z)∈R3|0< x2+y2+z2≤1}. 2. B= 1
n,m1
∈R2
n, m∈N∗ .
Exercice 9 (Voisinages). SoitP ∈Rn, on dit qu’une fonction f v´erifie une certaine propri´et´esur un voisinage deP si cette propri´et´e est satisfaite sur un ouvert contenantP.
1. Etablir si les fonctionsf :R→Rsuivantes sont positives au voisinage de 0.
f(x) =
(sin(1/x) six6= 0,
1 six= 0,
et g(x) =
(1 +xsin(1/x) six6= 0,
1 six= 0.
2. Etablir si les fonctionsf :R2→Rsuivantes sont d´efinies au voisinage de 0.
f(x, y) =√
x+y, et f(x, y) = ln(cos(x2+y2)).
2 Compacts
Exercice 10. SoientE un espace vectoriel norm´e etA, B⊂E. On d´efinitA+B={a+b|(a, b)∈A×B}.
1. Montrer que siAest compact etB ferm´e dansEalorsA+B est ferm´e dansE.
2. Montrer que siAetB sont compactes alors A+B l’est aussi.
3. Soient A=R× {0} et B ={(x, y)∈R2 | xy= 1}. Montrer que A et B sont des ferm´es de R2 mais que A+B n’en est pas un.
Exercice 11. Soient (E,k·k) un espace vectoriel norm´e etK ⊂E un compact deE. Soit F un ferm´e de E tel queF ⊂K. Montrer que F est compact.
2
