MM2, analyse, 2014-2015 Groupe MASS1
J. LIN jie.lin@imj-prg.fr
TD 7 : R´evisions de la D´eriv´ee : document compl´ementaire
Formules ´el´ementaires : Les formules ci-dessous valident sur leur domaine de l’existence. Soit a un nombre r´eel. Soient f et g deux fonctions d´erivables. Alors on a :
1. (af)0 =af0. 2. (f+g)0 =f0+g0. 3. (f g)0 =f g0+gf0. 4. f
g
!0
= f0g−f g0
g2 lorsque g 6= 0, en particulier, 1 g
!0
=−g0 g2.
5. (f◦g)0 = (f0◦g)g0, ou en d’autres termes,f(g(x))0 =f0(g(x))g0(x).
6. (f−1)0 = 1
f0(f−1), ou en d’autres termes, (f−1)0(x) = 1
f0(f−1(x)) lorsque f est inversible.
Remarque : Si f est inversible, on voit que f(f−1(x)) = x. Par 5, on obtient que f0(f−1(x))(f−1)0(x) = 1.
D´eriv´ees des fonctions usuelles :
• (cosx)0 =−sinx
• (sinx)0 = cosx
• (tanx)0 = 1
cos2x= 1 + tan2(x)
• (arccosx)0 =− 1
√1−x2,
• (arcsinx)0 = 1
√1−x2,
• (arctanx)0 = 1 1 +x2,
• (coshx)0 = sinhx,
• (sinhx)0 = coshx,
• (tanhx)0 = 1
cosh2(x)= 1−tanh2(x),
• (xn)0 =nxn−1
• (ex)0 =ex,
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• (lnx)0 = 1 x,
• (xα)0 =αxα−1, en particulier, sin ∈N\{0} :
∗ ( 1
xn)0 =− n xn+1
∗ (√
x)0 = 1 2√
x
∗ (√n
x)0 = 1 n√n
xn−1
• (αx)0 =αxlnα,
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