TD 0 – R´ evisions d’analyse

Math´ematiques 3 TD 0 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020

TD 0 – R´ evisions d’analyse

Exercice 1. Trigonom´etrie.

Soient a, b, p, q des r´eels.

1. D´evelopper cos(a+b)−cos(a−b).

2. En utilisant un changement de variable, d´eduire une factorisation de cos(p)−cos(q).

3. En utilisant une m´ethode similaire, donner une factorisation de sin(p) + sin(q).

4. Montrer que

tan

p−q 2

=−cosp−cosq sinp+ sinq. 5. En d´eduire la valeur de tan ₂₄^π

. Solution de l’exercice 1.

1. On a

cos(a+b)−cos(a−b) = cosacosb−sinasinb−(cosacosb+ sinasinb)

=−2 sinasinb.

2. Afin d’utiliser la question pr´ec´edente, on veut avoir a+b = p et a−b = q. En r´esolvant ce syst`eme d’inconnues aet b, on trouve a= <sup>p+q</sup><sub>2</sub> et b= <sup>p−q</sup><sub>2</sub> . D’apr`es la question pr´ec´edente, on a alors

cos(p)−cos(q) =−2 sin

p+q 2

sin

p−q 2

. 3. On a sin(a+b) + sin(a−b) = 2 sinacosb, donc sinp+ sinq = 2 sin ^p+q₂

cos ^p−q₂ . 4. D’apr`es les questions 2 et 3, on a

cosp−cosq

sinp+ sinq = −2 sin ^p+q₂

sin ^p−q₂ 2 sin ^p+q₂

cos ^p−q₂ =−tan

p−q 2

.

5. En utilisant que ₁₂^π = ^π₃ −^π₄, on trouve tan ₂₄^π

=−

√3−√ 2 1+√

2 . Exercice 2. Somme d’exponentielles.

1. Calculer

n

X

k=0

1 nexp

k n

.

2. En d´eduire la valeur de lim

n→+∞

n

X

k=0

1 nexp

k n

. Quel th´eor`eme aurait-on pu utiliser pour calculer directement cette limite ?

Solution de l’exercice 2.

1. Il suffit de se souvenir que exp(k/n) = exp(1/n)^k (l’´ecrire avec la notation e^k/n = (e^1/n)^k aurait rendu l’exercice plus simple !). Notre somme devient alors essentiellement une somme g´eom´etrique

1 n

n

X

k=0

exp(1/n)^k= 1 n

1−exp((n+ 1)/n) 1−exp(1/n)

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

Math´ematiques 3 TD 0 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 2. Le terme 1−exp((n+ 1)/n) tend vers 1−e, donc il suffit de calculer la limite de ¹_{n1−exp(1/n)}¹ =

_1−exp(1/n)

1 n

−1

quandn→ +∞. On reconnaˆıt alors moins l’inverse d’un taux d’accroissement (en z´ero), or ce taux d’accroissement tend par d´efinition de la d´eriv´ee vers la d´eriv´ee de exp

´evalu´ee en 0, ´egale `a 1. Donc

n→+∞lim

n

X

k=0

1 nexp

k n

=e−1.

On aurait pu trouver ce r´esultat directement en remarquant qu’on a une somme de Riemann sur la fonction continue exp entre 0 et 1, donc la limite vautR1

0 exp(t)dt=e−1.

Exercice 3. Prolongement par continuit´e.

On consid`ere la fonction f₀:R^∗ →Rdonn´ee parf(x) =x³sin(1/x).

1. Montrer que f0 se prolonge par continuit´e en une fonctionf d´efinie sur R.

2. Montrer que f est de classe C¹.

3. Montrer que f n’est pas deux fois d´erivable en 0.

On verra quef admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 0. Les d´eveloppements limit´es d’ordrek>2 ne donnent donc aucun renseignement de d´erivabilit´e d’ordre k!

Solution de l’exercice 3.

1. Comme|sin(1/x)|61, on a lim

x→0x³sin(1/x) = 0. Doncf0 est prolongeable par continuit´e, si on note ce prolongementf on pose

f(x) =

0 six= 0 f0(x) sinon.

2. La fonction f₀ est d´erivable sur son domaine de d´efinition par composition et produit de fonc- tions d´erivables (elle est en fait lisse). Sa d´eriv´ee est donn´ee par : pour toutx∈R^∗,

f₀⁰(x) = 3x²sin(1/x) +x³·−1

x² cos(1/x) = 3x²sin(1/x)−xcos(1/x).

De plus,f₀⁰ est continue, et limx→0f₀⁰(x) = 0. Ainsi f est d´erivable sur R^∗, et f⁰ est continue surR^∗. Enfin, pourx6= 0, on a

f(x)−f(0)

x−0 =x²sin(1/x), donc limx→0f(x)−f(0)

x−0 existe et vaut 0, donc f est d´erivable en 0, de d´eriv´ee 0 = limx→0f⁰(x), doncf⁰ est continue sur R. En particulier, f estC¹.

3. Il s’agit de montrer que limx→0f⁰(x)−f⁰(0)

x n’existe pas, or pour tout x∈R^∗ on a f⁰(x)−f⁰(0)

x = 3xsin(1/x)−cos(1/x),

et le terme 3xsin(1/x) tend vers 0 quandx tend vers 0, tandis que cos(1/x) n’a pas de limite quandx tend vers 0, doncf n’est pas deux fois d´erivable en 0.

Exercice 4. Approcher√

2 avec une bonne vitesse de convergence.

Soit la suite (un)n∈Nd´efinie par :

u₀ = 0

u_n+1 = u_n+^2−u₄ ²ⁿ. On d´efinit ´egalement la suite (_n) par _n=

u_n−√ 2

. 1. Montrer que pour tout n∈N, on a 06u_n<√

2.

Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques

Math´ematiques 3 TD 0 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 2. Montrer que pour tout n>1, on a_n+1 6 ³_4n.

3. Conclure quand `a la limite de la suite (un), et trouver naussi petit que possible tel queunsoit

`

a distance au plus 10⁻¹⁰ de sa limite.

Solution de l’exercice 4.On est en pr´esence d’une suite du typeu_n+1 =f(u_n), o`u f(x) =x+^2−x₄ ². 1. ´Etudions f sur [0,√

2] : sa d´eriv´ee est donn´ee par, pour tout x∈[0,√

2], f⁰(x) = 1−x/2. La fonction est donc strictement croissante sur [0,√

2], et on af(0) = 1/2 donc on af(x)>0 pour toutx∈[0,√

2].

Ensuite, on a que f(√

2) = √

2, donc par stricte croissance on a : pour tout x ∈ [0,√ 2[, f(x)∈[0,√

2[. Ceci permet de r´epondre `a la premi`ere question en utilisant une r´ecurrence. En particulier, on a en fait_n=√

2−u_n. 2. Pour tout x∈[0,√

2], on a f(x)>x (car 2−x² >0). Ainsi pour toutn>1, on a u_n >1/2.

Appliquons le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonctionf continue d´erivable en les points u_n et√

2 : il existex₀ ∈[u_n,√

2] tel que f⁰(x₀) =

√2−f(u_n)

√2−u_n .

Maintenant, pourn>1, on au_n> ¹₂, doncf⁰(u_n) = 1−^u₂ⁿ 63/4, et donc on a bien_n+16 ³_4n. 3. La question pr´ec´edente implique que pour tout n>1, _n6 ³₄n−1

₁, en particulier_n →0 et doncun→ √

2. De plus 1 61, donc en fait n 6 ³₄n−1

pour tout n>1. On veut trouvern aussi petit que possible tel que _n 610⁻¹⁰, donc avec l’estim´ee ci-dessus, il faut trouver n tel que (3/4)ⁿ⁻¹ 610⁻¹⁰.

Autrement dit,e(n−1) ln(3/4) 610⁻¹⁰, ce qui par croissance de ln ´equivaut `a (n−1) ln(3/4)6

−10 ln(10). Il suffit donc de prendren=d^{−10 ln 10}_ln(3/4) e= 81.

Exercice 5. Approximation rationnelle.

Soit x ∈R\Q. Soit (pn)n∈N une suite d’entiers, et (qn)n∈N une suite d’entiers naturels non nuls, on suppose lim

n→∞

p_n qn

=x. Montrer que lim

n→∞qn= +∞, puis que lim

n→∞|p_n|= +∞.

Solution de l’exercice 5.Supposons le contraire. Alors (qn) admet une sous-suite born´ee, donc elle admet en fait une sous-suite constante puisqu’elle est `a valeurs enti`eres. Notons (q_ϕ(n)) une telle sous- suite, et q ∈ N^∗ sa valeur. Alors comme toute sous-suite d’une suite convergente converge (vers la mˆeme limite), on a lim

n→∞

p_ϕ(n)

q =x. Donc (p_ϕ(n)) est convergente, donc stationnaire (car `a valeur dans Z), doncx∈Q, contradiction. On raisonne de mani`ere similaire pour montre que lim

n→∞|p_n|= +∞.

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