On consid`ere la s´erie enti`eres(z

UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2013-2014 Feuille d’exercices n^o 4

1. On pose s(X) =

∞

X

n=0

snXⁿ poursn=

((−1)^m sin= 2m (m∈N);

(−1)^m sin= 2m+ 1 (m∈N).

1.a. Montrer que s(X) s’identifie `a une fraction rationnelle qu’on explicitera.

Indication: On pourra d´ecomposers(X) en somme d’une s´erie formelle “paire”

et d’une s´erie formelle “impair”.

1.b. D´eterminer la primitiveS(X) des(X) qui v´erifieS(0) = 0. Expliciter une fonction r´eelle dont le d´eveloppement de Taylor `a l’origine s’identifie `a S(X).

Quel est son rayon de convergence ?

D´eduire de ce qui pr´ec`ede la somme de la s´erie num´erique 1 + 1

2·3− 1 4·5 + 1

6·7 − 1

8·9± · · · .

2. On consid`ere la s´erie enti`eres(z) =

∞

P

n=0

n³zⁿ.

2.a. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie s(z).

2.b. Calculer les s´eries enti`ereszf⁰(z) et z²f⁰⁰(z) etz³f⁰⁰⁰(z) pourf(z) = _1−z¹ . Quels sont leurs rayons de convergence ?

2.c. D´eduire de2.bla fraction rationnelle dont le d´eveloppement en s´erie enti`ere ests(z). En d´eduire la valeur de la s´erie num´erique

∞

P

n=0 n³ 3ⁿ.

3. D´eterminer le rayon de convergence et la somme de la s´erie enti`ere

∞

P

n=0

a_nzⁿ dans les cas suivants:

3.a. a₀= 0 et pourn≥1, a_n= 1 + ¹₂+· · ·+_n¹; 3.b. an= _n!¹

n

P

k=0

k(k!).

Mots-Cl´e: S´erie num´erique, s´erie enti`ere, rayon de convergence.