z n . Exercice 2. D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere P

MAT402 Ann´ ee 2017-2018 Feuille d’exercices 4

Exercice 1. Trouver les rayons de convergence des s´ eries enti` eres de terme g´ en´ eral : (a) nz ⁿ ; (b) n!z ⁿ ; (c) z ⁿ

n! ; (d) n ⁿ

n! z ⁿ ; (e) 2 ⁻ⁿ (1 + ¹ _n ) ⁿ

z ⁿ . Exercice 2. D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere P

n>0 a _n z ⁿ (a) si (a n ) n∈ N est une suite born´ ee ne tendant pas vers 0.

(b) si (a _n ) n∈ N est une suite qui tend vers 0, telle que P

n>0 a _n diverge.

Exercice 3. Soient P

n∈ N a _n x ⁿ et P

n∈ N b _n x ⁿ deux s´ eries enti` eres de rayons de convergence R et R ⁰ , respectivement.

(a) Si ` a partir d’un certain rang on a |a _n | 6 |b _n |, montrer l’in´ egalit´ e R > R ⁰ . (b) Si |a _n | ∼ |b _n |, montrer qu’elles ont mˆ eme rayon de convergence.

Exercice 4. Soit P

n∈ N a n z ⁿ une s´ erie enti` ere. Montrer que les deux s´ eries P

n>0 a n z ⁿ et P

n>0 |a n |z ⁿ ont mˆ eme rayon de convergence. Les domaines de convergence sont-ils n´ ecessairement ´ egaux ? Exercice 5. Trouver le rayon de convergence des s´ eries enti` eres dont les termes g´ en´ eraux sont : (a) 2 <sup>n</sup> z <sup>2n</sup> , c’est-` a-dire la s´ erie enti` ere P

n>0 a _n z ⁿ avec a _n =

( 0 si n est impair, 2 ^n/2 si n est pair.

(b) a n z ⁿ avec a n =

( 1 si n est impair, 2 ⁿ si n est pair.

Exercice 6. D´ eterminer le rayon de convergence et la somme des s´ eries enti` eres suivantes : (a) X

n>2

x ⁿ

n(n − 1) ; (b) X

n>0

n(n + 1)x ⁿ ; (c) X

n>0

3n

n + 2 x ⁿ ; (d) X

n>0

n ² + n − 1 n! x ⁿ . Exercice 7. S´ eries enti` eres ` a coefficients positifs.

Soit X

n>0

a _n x ⁿ une s´ erie enti` ere ayant des coefficients a _n tous positifs et un rayon de convergence

´ egal ` a 1. La somme de la s´ erie pour −1 < x < 1 est not´ ee f(x).

1. Etudier la monotonie de l’application f sur [0, 1[. En d´ eduire quels sont les comportements possibles de f(x) quand x → 1 ⁻ .

2. On suppose maintenant que f a une limite r´ eelle λ en 1 ⁻ . a) Pour tout N ∈ N , et tout x ∈ R , on note S N (x) = P N

n=0 a n x ⁿ (on notera que S N

est une fonction polynˆ omiale, d´ efinie et continue sur R ). Comparer S _N (x) et f (x) lorsque 0 < x < 1, et en d´ eduire que S _N (1) 6 λ.

b) En d´ eduire que la s´ erie P

n>0 a _n converge, puis que la s´ erie enti` ere P

n>0 a _n x ⁿ converge normalement sur [−1, 1].

c) Montrer pr´ ecis´ ement que

+∞

X

n=0

a _n = λ.

3. On suppose maintenant que f (x) tend vers +∞ quand quand x → 1 ⁻ . Montrer qu’alors, la s´ erie P

n>0 a _n diverge.

Exercice 8. Soit α un nombre r´ eel non entier. On consid` ere la fonction f d´ efinie sur ] − 1, 1[ par f (x) = (1 + x) ^α = e ^{α ln(1+x)} .

1) V´ erifier que cette fonction f est l’unique solution dans ] − 1, 1[ de l’´ equation diff´ erentielle (1 + x)f ⁰ (x) − αf (x) = 0

v´ erifiant la condition f(0) = 1.

2) En d´ eduire un d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de f au voisinage de 0. Quel est le rayon de convergence de la s´ erie obtenue et le domaine de validit´ e du d´ eveloppement obtenu ?

Contrˆ ole continu du Mercredi 5 Mai 2010 Autour du cours. Soit P

n>1 α _n une s´ erie num´ erique ` a coefficients α <sub>n</sub> r´ eels absolument conver- gente. On consid` ere la s´ erie trigonom´ etrique X

n>1

α _n cos(nx).

1) Montrer que cette s´ erie converge pour tout x r´ eel et que sa somme not´ ee f (x) d´ efinit une fonction f continue sur R et 2π-p´ eriodique.

2) On rappelle que pour n ∈ N ^∗ , le coefficient Fourier a _n de f est donn´ e par la formule a n = 1

π Z 2π

0

f (x) cos nx dx.

Que vaut a n en fonction des α k ? Justifier pr´ ecis´ ement l’´ egalit´ e trouv´ ee.

3) Exprimer l’int´ egrale 1 2π

Z 2π

0

f ² (x) dx en fonction de la somme

+∞

X

n=1

α ² _n . Justifier pr´ ecis´ ement l’´ egalit´ e trouv´ ee. Quel nom porte cette ´ egalit´ e ?

Exercice 1 : D´ eterminer le rayon de convergence R puis la somme pour x ∈ ] − R, R[ de la s´ erie enti` ere X

n>0

1

2n + 1 x ²ⁿ⁺¹ . Exercice 2 :

1) D´ evelopper en s´ erie enti` ere de la variable x la fonction x 7→ 1 1 − x <sup>3</sup> · 2) En d´ eduire le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de 1

1 + x + x ² ·

Exercice 3 : Soit la fonction f d´ efinie sur ] − 1, 1[ par f(x) = ln(1 − x) x − 1 · 1) V´ erifier que pour tout x ∈ ] − 1, 1[, (1 − x)f ⁰ (x) − f (x) = 1

1 − x (∗).

2) On suppose qu’il existe au moins un s > 0 et une suite (a _n ) n∈ N de r´ eels telle que f(x) =

+∞

X

n=0

a _n x ⁿ pour x ∈ ] − s, s[.

a) Montrer grˆ ace ` a l’´ equation (∗) que pour tout n ∈ N , on a a _n+1 − a _n = 1 n + 1 ·

b) Apr` es avoir d´ etermin´ e a ₀ , en d´ eduire, pour tout n ∈ N , l’expression de a _n en fonction de n.

c) En d´ eduire le rayon de convergence R de la s´ erie enti` ere P

n>0 a _n x ⁿ .

3) Expliquer pourquoi on a ainsi obtenu le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de f sur ] − 1, 1[.

4) Retrouver ce r´ esultat en faisant le produit des d´ eveloppements en s´ eries enti` eres de − ln(1 − x) et de 1

1 − x ·