Calculer la s´erie enti`ere def0(x), quel est son rayon de convergence? (3) Calculer la valeur de l’int´egrale doubleR R xexydxdy

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Universit´e de Cergy-Pontoise Juin 2018

Math´ematiques-MS3, session 2

Dur´ee 2 heures, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Questions de cours :

(1) On consid`ere la s´erie enti`ereP∞ n=1

n²+3n−1

2n²−n+3xⁿ. SoitR son rayon de con- vergence, calculer la valeur deR;

(2) Soit f(x) la fonction d´efinie par la s´erie enti`ere ci-dessus pour tout x ∈]−R; R[, et soit f<sup>0</sup>(x) la fonction d´eriv´ee de f(x). Calculer la s´erie enti`ere def⁰(x), quel est son rayon de convergence?

(3) Calculer la valeur de l’int´egrale doubleR R

[1;2]×[2;3]xe^xydxdy.

Exercice 1:

On consid`ere l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞

5

1 x²−2x−8dx.

(1) Justifier la convergence de cette int´egrale g´en´eralis´ee.

(2) D´eterminer deux constantesα etβ telles que pour tout x∈[5,+∞[, 1

x²−2x−8 = α

x−4 + β x+ 2. (3) Soit A > 5, calculer la valeur de l’int´egrale RA

5 1

x²−2x−8dx. Puis en d´eduire la valeur de l’int´egrale R+∞

5

1 x²−2x−8dx.

Exercice 2:

Soitf(x) la fonction paire 2π-p´eriodique d´efinie surRtelle que f(x) = 2x, ∀x∈[0;π].

(1) Tracer le graphique de f(x) sur l’intervalle [−3π; 3π].

(2) Calculer les coefficients de Fourier de f(x).

(On remarque que cos(nπ) = (−1)ⁿ.)

(3) Enoncer la th´eor`eme de Dirichlet, puis en d´eduire la valeur de la s´erie num´erique P+∞

m=0 1 (2m+1)². Exercice 3:

Soient R une constante strictement positive, et Ω le domaine d´efini par Ω ={(x;y) | x²+y² ≤ R²}. On consid`ere le changement de coordonn´ees suivant:

x=rcosθ, y=rsinθ.

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(1) Calculer le Jacobien de ce changement de coordonn´ees.

(2) D´eterminer le domaine en (r;θ) correspondant, not´e Ω⁰. Puis calculer l’int´egrale doubleR R

Ωe^−(x2+y2)dxdy.

Quelle est la limite de cette int´egrale double, pourR tendant vers +∞?

Exercice 4:

Soient R une constante strictement positive, et γ : [0; 2π] → R² la courbe param´etr´ee ferm´ee d´efinie par

γ(t) = (Rcost; Rsint).

On sait que la courbeγ est la fronti`ere du domaine Ω dans l’exercice 3 ci- dessus.

(1) En utilisant la d´efinition de l’int´egrale curviligne, calculerR

γxdy.

(2) En appliquant le th´eor`eme de Green-Riemann, justifier que la valuer de cette int´egrale curviligne est ´egale `a l’aire du domaine Ω. En d´eduire l’aire du domaine Ω.