c) Calculer le rayon de convergence de la s´erie P∞ n=0Cnzn

UNIVERSITE PAUL SABATIER Licence de Math´ematiques L2 Examen d’Analyse de Janvier 2006

Question du cours. Enoncer la formule d’Hadamard pour le rayon de convergence d’une s´erie enti`ere.

Exercice 1. Soit P∞

n=0C_nzⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence non-nulle, avec C0 = 0, telle que la fonction somme f(z) = P∞

n=0Cnzⁿ satisfasse l’´equation diff´erentielle

f⁰(z) =z²f(z) + 1

(sur l’intervalle de convergence), o`uf⁰(z) est la d´eriv´ee de la fonctionf(z).

a) Montrer que C₁ = 1, C₂ = 0, et C_n= Cn−3

n pour toutn≥3.

b) En utilisant la question a), montrer que C_3k = C_3k+2 = 0 pour tout k ∈ N, et donner une formule pour les coefficients C3k+1. (Rappelons que C₀ = 0).

c) Calculer le rayon de convergence de la s´erie P∞

n=0Cnzⁿ. d) Existe-il une s´erie enti`ereP∞

n=0D_nzⁿtelle que

∞

X

n=0

D_nzⁿ2

=

∞

X

n=0

C_nzⁿ? Justifier votre r´eponse. (Indication : exprimerC0, C1en fonction deD0, D1).

Exercice 2.Soitgla fonction p´eriodique de p´eriode 2πsurRd´efinie par : g(t) = (π−t)(π+t) pour |t| ≤π. Notons a₀

2 +

∞

X

n=1

(a_ncos(nt) +b_nsin(nt)) la s´erie de Fourier deg.

a) Montrer que bn= 0 pour toutn∈N^∗. b) Calculer les coefficientsa_n.

c) En d´eduire la somme de la s´erie

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n² . (Indication : utiliser le th´eor`eme de Dirichlet).

d) Montrer l’´egalit´e

∞

X

n=1

1

n⁴ = π⁴

90. (Indication : utiliser la formule de Parceval).

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