UNIVERSITE PAUL SABATIER Licence de Math´ematiques L2 Examen d’Analyse de Septembre 2007 Exercice 1. Montrer la convergence et calculer l’int´egrale g´en´eralis´ee Z

UNIVERSITE PAUL SABATIER Licence de Math´ematiques L2 Examen d’Analyse de Septembre 2007

Exercice 1. Montrer la convergence et calculer l’int´egrale g´en´eralis´ee Z ∞

2

dx x²+ 4

Exercice 2. a) Montrer la convergence simple de la suite de fonctions (f_n)n∈N, d´efinie parf_n(x) =xⁿcos(nx−n), sur l’intervalle [0,1], et d´eterminer la fonction limite.

b) Cette convergence est-elle uniforme sur l’intervalle [0,1] ? Justifier votre r´eponse.

Exercice 3.D´eterminer le rayon de convergence et sommer la s´erie enti`ere

∞

X

n=0

xⁿ (n+ 1)(n+ 3)

Exercice 4. Chercher une solution d´ev´elopp´ee en s´erie de Fourier de l’´equation diff´erentielle :y⁰(t)−y(t) =f(t), o`uf(t) est la fonction p´eriodique de p´eriode 2π d´efinie par f(t) =|t|pour −π < t≤π.

———

SOLUTIONS / INDICATIONS

Exercice 1.Pour la convergence, on peut utiliser l’´equivalence _x2¹+4 ∼ _x¹2

pour x→ ∞, et le fait que l’int´egrale de Riemann R∞

2 dx/x² converge.

Calcul : Changement de variable y =x/2 ⇒ R∞ 2

dx

(x²+4) = ¹₂R∞ 1

dy (y²+1) =

1

2arctan(y)|^∞

1 = ¹₂(π/2−π/4) =π/8 Exercice 2. La fonction limite est :

f(x) = 0 pour 0≤x <1 etf(x) = 1 pourx= 1.

Les fonctions f_n(x) sont continues mais la fonction limite n’est pas conti- nue (en 1) donc la convergence ne peut pas ˆetre uniforme.

Exercice 3.Pour calculer le rayon convergence, on peut utiliser la formule R = limn→∞|a_n+1|

|an| . (Attention ! R 6= lim_{n→∞ |a}^|an|

n+1| en g´en´eral). Ici a_n =

1

(n+1)(n+3). (Attention !an n’est pas _(n+1)(n+3)^xn ). Le r´esultat est R= 1.

1

2

Sommer la s´erie : On utilise la d´ecompositionP∞

0 xⁿ

(n+1)(n+3) = ¹₂P∞ 0 xⁿ

(n+1)−

1 2

P∞ 0 xⁿ

(n+3). P∞

0 xⁿ

(n+1) = ¹_xP∞ n=1xⁿ

n = _x¹(−ln(1−x)).

P∞ 0

xⁿ (n+3) = _x¹3

P∞ n=3

xⁿ

n = _x¹3(P∞ n=1

xⁿ

n −x−^x₂²) = _x¹3(−ln(1−x)−x−

x² 2).

Le r´esultat final est : P∞

0 xⁿ

(n+1)(n+3) = ^−x2ln(1−x)+ln(1−x)+x+x²/2 2x³

Exercice 4. On peut d’abord calculer la s´erie de Fourier a^f₀

2 +

∞

X

n=1

(a^f_ncos(nt) +b^f_nsin(nt))

de f(t). Remarquons que f(t) est une fonction paire, donc b^fn = 0 pour tout n. Pour calculer a^fn = _π¹ Rπ

−πf(t) cos(nt)dt = _π² Rπ

0 tcos(nt)dt, on peut utiliser l’int´egration par parties. Le r´esulat est : a₀(f) =π,a_n(f) = 0 is n est pair 6= 0, eta_n= _πn⁻⁴2 sin est impair.

NotonsA0/2 +P

(Ancos(nt) +Bnsin(nt)) la s´erie de Fourier dey(t). On a que P

(nB_ncos(nt)−nA_nsin(nt)) est la s´erie de Fourier de sa fonction d´eriv´eey⁰(t), et donc l’´equation diff´erentielle devient

y⁰(t) −y(t) = ^−A₂⁰ +P

[(nB_n −A_n) cos(nt) + (−nA_n−B_n) sin(nt)] = f(t) =^π₂ +P

a^fncos(nt) Cela nous donne : A₀=−π;

nB_n−A_n=a^f_n et−nA_n−B_n= 0 pour toutn∈N^∗, ce qui ´equivaut `a : A_n=−_n^a₂₊₁^fn etB_n= _n^na2+1^fn .

Donc A_n=B_n= 0 sinest pair 6= 0, et

An= _πn2(n⁴²+1),Bn= _πn(n⁻⁴2+1) si nest impair.

R´esultat final : y(t) =−π

2 +

∞

X

m=0

[ 4 cos((2m+ 1)t)

π(2m+ 1)²((2m+ 1)²+ 1)+ −4 sin((2m+ 1)t) π(2m+ 1)((2m+ 1)²+ 1)]