Examen de math´ ematiques

Universit´e de Cergy-Pontoise 2006-2007 S3 PC/C/STE

Examen de math´ ematiques

Dur´ ee 3h00

Les calculatrices et les documents sont interdits

Dans les exercices et le probl`eme, on pourra admettre les r´esultats d’une question pour faire les questions suivantes.

(Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif, il est susceptible de changer).

Exercice 1 :

∀n ∈N, a_n= n³ 3ⁿ.

1) Enoncer le crit`ere de d’Alembert pour les s´eries enti`eres.

2) Calculer le rayon de la s´erie enti`ere de terme g´en´eral an.

Exercice 2 :

On consid`ere la fonction de deux variables `a valeurs r´eelles suivante:

f : R² −→ R

(x, t) 7−→ cos²(x+t) 1 +t² . On admettra que f est une fonction de classe C^∞ surR².

1) Montrer que pour toutx∈R, l’int´egrale g´en´eralis´ee suivante est convergente I(x) =

Z +∞

−∞

f(x, t)dt.

2) Montrer que pour tout (x, t)∈R²,

∂f

∂x(x, t)

≤ 2 1 +t² et

∂²f

∂x²(x, t)

≤ 4 1 +t².

3) Enoncer la propri´et´e portant sur la d´erivabilit´e d’une int´egrale g´en´eralis´ee d´ependant d’un param`etre.

4) Montrer que I est une fonction de classe C¹ sur R et donner une expression deI⁰(x) sous forme int´egrale. En d´eduire que I est une fonction de classeC² sur Ret donner une expression de I⁰⁰(x) sous forme int´egrale.

5) Montrer que pour toutx∈R,

I⁰⁰(x) + 4I(x) = 2π.

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Probl` eme :

Partie I : (5pts)

On consid`ere les deux courbes suivantes Γ₁ =

(x, y)∈[0,5]×[−4,4],(x−5)² 25 + y²

16 = 1

, et

Γ₂ ={(x, y)∈[0,5]×[−4,4], x² −y² = 9}.

1) Donner la nature des courbes Γ₁ et Γ₂ puis les dessiner dans un mˆeme rep`ere (vous devez voir apparaˆıtre une sorte de croissant).

On note A= (5,4) et B = (5,−4) les deux points d’intersection de Γ₁ et Γ₂. On note Γ⁺ la courbe partant de A le long de Γ₁ (qui rejoint B) et revenant en A le long de Γ₂. On d´efinit alors la forme diff´erentielle:

ω= ch(x) +y² dx+

x²

2 + 2xy+ sh(y)

dy.

On cherche `a calculer l’int´egrale curviligne suivante I =

Z

Γ⁺

ω.

2) Si (x(t), y(t)) est un param`etrage de Γ<sup>+</sup> avect∈[a, b], donner alors la formule permettant de calculerI . (on ne cherchera ni un tel param`etrage, ni `a effectuer des calculs par cette m´ethode).

3) Enoncer la formule de Green-Riemann.

4) D´emontrer en appliquant Green-Riemann que I =

ZZ

Ω

x dxdy , o`u

Ω = (

(x, y)∈R²,−4≤y≤4,5−5 r

1− y²

16 ≤x≤p 9 +y²

)

(on expliquera comment est appliqu´ee la formule de Green-Riemann).

Partie II :(5pts)

On admet le r´esultat du 4) de la partie I.

1) Enoncer le th´eor`eme de Fubini.

2) Appliquer le th´eor`eme de Fubini `aI sur Ω.

3) CalculerI (pour calculer une partie de l’int´egrale obtenue apr´es avoir appliqu´e Fubini, on pourra faire le changement variabley= 4 sin(u)).

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