Math´ ematiques – r´ esum´ e du cours

Universit´ e Paris-Sud – Licence 3 PAPP/MEC

Math´ ematiques – r´ esum´ e du cours

Janvier – Avril 2019 Christophe Texier

La page ou` ebe du cours : http://lptms.u-psud.fr/christophe_texier/

Conseils bibliographiques

Les sujets trait´ es sont tr` es classiques. Il existe de nombreux livres bien ´ ecrits sur ces sujets.

Ouvrages g´ en´ eralistes

• La s´ erie d’ouvrages de P. Benoist-Gueutal et M. Courbage [4].

• L’ouvrage de ´ E. Belorizky [3]. Simple et clair.

• Le cours de Vladimir Dotsenko [5]. Beaucoup d’exercices.

• L’ouvrage de W. Appel [1], un peu plus formel mais int´ eressant.

• Le massif ouvrage de C. Aslangul [2] : plutˆ ot un “trait´ e” qu’un manuel universitaire !

• Dans le mˆ eme style : le petit livre de H. Krivine [6].

A. Analyse complexe

• Le livre de la s´ erie Schaum [8]. Tr` es clair, beaucoup d’exercices.

• Le tome 1 de P. Benoist-Gueutal et M. Courbage [4]. Bien ´ ecrit et clair.

• La partie analyse complexe du livre de Dotsenko [5] est tr` es ´ etoff´ ee.

B. Transformation de Fourier et de Laplace

• Le tome 2 de P. Benoist-Gueutal et M. Courbage [4] ou les livres g´ en´ eralistes cit´ es pr´ ec´ edemment.

C. Th´ eorie des distributions

• Une pr´ esentation tr` es br` eve

` a la physicienne

: cf. annexe du chapitre 2 de l’ouvrage [9]

(´ ecrit sp´ ecialement pour le magist` ere d’Orsay).

• Pr´ esentation compl` ete (mais plus formelle) dans le tome 2 de [4]. Ou encore plus formelle [7].

update : 30 avril 2021

1 Analyse complexe

I. Pr´ eliminaires

Nombres complexes.– On rappelle que le plan complexe de z = x +i y ∈ C peut ˆ etre identifi´ e au plan (x, y) ∈ R ² , ce qui permet de donner simplement des interpr´ etations g´ eom´ etriques aux op´ erations : z → z + a (translation), z → e ^iθ z (rotation), z → λz (λ ∈ R + : dilatation), z → z ¯ = x − i y (r´ eflexion par rapport ` a Ox), etc.

Il sera parfois utile de se rep´ erer en coordonn´ ees polaires : z = r e ^iθ , r ∈ R + et θ = arg z ∈]π, +π]

(ou θ ∈ [0, 2π[, ou plus g´ en´ eralement θ ∈ [α, 2π + α[).

Exemple : la d´ efinition du logarithme est assez naturelle en utilisant les coordonn´ ees polaires.

On obtient cependant diff´ erentes d´ efinitions selon le domaine de d´ efinition de l’angle. Le choix θ ∈]π, +π] correspond ` a la

d´ etermination principale du logarithme

, not´ ee Ln(z) = ln r + i θ ; dans ce cas la fonction pr´ esente une coupure sur R − , i.e. une ligne de part et d’autre de laquelle elle est discontinue : lim _→0

[Ln(−|x| + i) − Ln(−|x| − i)] = +2iπ.

Racines n` emes de l’unit´ e : savoir retrouver rapidement les solutions de z ⁿ = 1 : z _k = e ^2iπk/n avec k ∈ {0, 1, · · · , n − 1} (ou z _k = e iπ/n+2iπk/n pour l’´ equation z ⁿ = −1).

In´ egalit´ e triangulaire :

|z ₁ | − |z ₂ |

6 |z ₁ + z ₂ | 6 |z ₁ | + |z ₂ | . (1) Topologie.– On a introduit un peu de vocabulaire :

Domaine ouvert (

domaine de C sans les bords

).

On a parfois not´ e D(z ₀ , R) = {z ∈ C , |z − z ₀ | < R} le disque ouvert.

Chemin : ligne Γ dans le plan ; longueur du chemin ` _Γ = R

Γ |dz|. Savoir param´ etrer les chemins, i.e. trouver z(t), une application de t ∈ [a, b] ⊂ R dans C .

Circuit : chemin ferm´ e

Chemins homotopes : ´ equivalents par d´ eformation (en restant dans le domaine de d´ efinition).

Γ Γ

Γ

2 1

3

: Γ 1 et Γ 2 homotopes. Γ 3 non homotope ` a Γ 1 .

Courbe de Jordan : circuit tournant dans le sens direct et ne s’enroulant qu’une seule fois autour de chaque point ` a l’int´ erieur du circuit.

II. Fonctions holomorphes

D´ erivabilit´ e.– La notion de continuit´ e d’une fonction f : C → C est claire. La fonction est continue en z ₀ si lim z→z

f(z) = f (z ₀ ), quel que soit le chemin suivi pour aller de z ` a z ₀ . D´ erivabilit´ e (⇔ holomorphicit´ e) : une fonction f est holomorphe dans un ouvert U ⊂ C ssi elle est d´ erivable en tout point de l’ouvert, i.e.

h→0 lim

f (z 0 + h) − f (z 0 )

h = f ⁰ (z 0 ) (2)

la limite est ind´ ependante du chemin pour se rapprocher de z 0 (faire h → 0 avec h ∈ C correspond

`

a choisir un chemin pour aller ` a l’origine).

Choisir soit h = x ∈ R , soit h = i y ∈ i R et ´ ecrire l’´ egalit´ e de la limite conduit aux conditions de Cauchy-Riemann. La fonction f = u(x, y) + i v(x, y) est une fonction de la variable z seule, f = f (z), ` a condition que

∂u

∂x = ∂v

∂y et ∂u

∂y = − ∂v

∂x (3)

D´ em. : on choisit soit h = x ∈ R soit h = i y ∈ i R dans (2), ce qui montre que f ⁰ (z) = ^∂u _∂x + i ^∂v _∂x =

∂v

∂y − i ^∂u _∂y . Qed.

On peut aussi ´ ecrire les conditions de Cauchy-Riemann sous la forme :

∂f

∂ z ¯ = 0 (4)

qui exprime que f (z) = u(x, y) + i v(x, y) = F (x, y) est seulement fonction de la combinaison z = x + i y (mais pas de ¯ z = x − i y). Cons´ equence : f (z) = F (x + i y, 0) = F (0, y − i x).

D´ em. : partir des conditions de Cauchy-Riemann en coordonn´ ees cart´ esiennes et utiliser

∂

∂z = 1 2

∂

∂x − i ∂

∂y

et ∂

∂ z ¯ = 1 2

∂

∂x + i ∂

∂y

. (5)

Quelques fonctions.– Des exemples de fonctions enti` eres (holomorphes sur C ) :

• Les polynˆ omes P (z) = a ₀ + a ₁ z + · · · + a _n z ⁿ .

• La fonction exponentielle e ^z = e ^{x+i y} .

• Les fonctions hyperboliques ch z, sh z,... et trigonom´ etriques cos z, sin z.

Exercice : v´ erifier que toutes ces fonctions satisfont les conditions de Cauchy-Riemann.

Les fonctions holomorphes sur C priv´ e d’un ensemble de points isol´ es (les

singularit´ es

de la fonction) sont appel´ ees des fonctions m´ eromorphes. Deux exemples : les fonctions th z ou tan z. Par exemple les singularit´ es de th z sont des pˆ oles simples, z _n = niπ pour n ∈ Z .

III. Int´ egration dans le plan complexe

Param´ etrisation des contours d’int´ egration.– ` a maˆıtriser.

Exemple : un arc de cercle de rayon R centr´ e sur z 0 d’ouverture angulaire α : z(θ) = z 0 + R e ^iθ avec θ ∈ [θ ₀ , θ ₀ + α]. Notons que dz(θ) = R i e ^iθ dθ.

Th´ eor` eme de Cauchy (1825) : Soit une fonction f holomorphe dans un ouvert U sim- plement connexe et Γ un circuit (donc n´ ecessairement homotope ` a un point), alors

I

Γ

dz f (z) = 0 (6)

D´ em. : Pour f = u + i v, on ´ ecrit R

Γ dz f (z) = R

Γ u dx − v dy + i R

Γ v dx + u dy

. L’analyse vectorielle nous dit que les deux formes diff´ erentielles sont des diff´ erentielles exactes si leurs d´ eriv´ ees crois´ ees sont ´ egales, ce qui d´ ecoule ici des conditions de Cauchy-Riemann. On peut alors utiliser R

Γ : a→b dΦ = Φ(b) − Φ(a) pour chaque int´ egrale. Qed.

Le th´ eor` eme est tr` es important : il nous permet de d´ eformer tout contour d’int´ egration ` a

condition de rester dans le domaine d’holomorphicit´ e de la fonction.

Th´ eor` eme de Cauchy g´ en´ eralis´ e : Si le domaine n’est pas simplement connexe. Dans le cas o` u Γ entoure des trous du domaine d’holomorphicit´ e

U

Γ Γ 1

Γ 2

I

Γ

dz f (z) = X

i

I

Γ

dz f (z) (7)

In´ egalit´ e fondamentale : Soit f holomorphe dans un ouvert U et Γ un chemin dans U de longueur ` _Γ . Un majorant du module de la fonction est not´ e M = Sup

z∈Γ

|f(z)|. Alors

Z

Γ

dz f (z)

6 ` Γ M (8)

Lemmes de Jordan : Cons´ equences de l’in´ egalit´ e fondamentale : Consid´ erons f (z) sur C _R , un arc de cercle de rayon R (centr´ e sur l’origine pour simplifier), alors

R→0 lim Sup

z∈C

|z f (z)| = 0 ⇒ lim

R→0

Z

C

dz f (z) = 0 (9)

R→∞ lim Sup

z∈C

|z f(z)| = 0 ⇒ lim

R→∞

Z

C

dz f (z) = 0 (10)

Fonction primitive.– A l’aide du th´ ` eor` eme de Cauchy, on a montr´ e que l’int´ egration dans le plan complexe (le long d’un chemin), est bien l’op´ eration inverse de la d´ erivation, i.e. si Γ est un chemin allant de z 0 ` a z 1 ,

Z

Γ : z

→z

dz f (z) = F (z ₁ ) − F (z ₀ ) avec ∂F (z)

∂z = f(z) (11)

Exemple : R

Γ : 0→z dζ ζ ⁿ = _n+1 ¹ z ⁿ⁺¹ . IV. Formules int´ egrales de Cauchy

Pr´ eliminaire.– Soit Γ une courbe de Jordan entourant l’origine I

Γ

dz

z ⁿ = 2iπ δ _n,1 . (12)

Premi` ere formule int´ egrale de Cauchy.– Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert U et Γ une courbe de Jordan entourant z ₀

f (z 0 ) = I

Γ

dz 2iπ

f (z)

z − z ₀ (13)

Si on connait f le long d’un chemin Γ, la formule permet de d´ eduire f(z ₀ ) en n’importe quel

point ` a l’int´ erieur du chemin.

D´ em. : on ´ ecrit f (z) = f (z ₀ ) + f (z) − f (z ₀ ) dans l’int´ egrand I

Γ

dz 2iπ

f (z) z − z 0

= f (z 0 ) I

Γ

dz 2iπ

1 z − z 0

+ I

Γ

dz 2iπ

f (z) − f (z ₀ ) z − z 0

Le premier terme est f (z ₀ ), d’apr` es (12). Le second terme est nul en vertu du th´ eor` eme de Cauchy car [f(z) − f(z 0 )]/(z − z 0 ) est analytique (z 0 est une singularit´ e apparente ). Qed.

Formule int´ egrale de Cauchy g´ en´ eralis´ ee.– Formule de Cauchy pour les d´ eriv´ ees d’une fonction holomorphe

f ⁽ⁿ⁾ (z 0 ) = n!

I

Γ

dz 2iπ

f(z)

(z − z 0 ) ⁿ⁺¹ . (14)

Analyticit´ e.– Une fonction analytique dans un domaine autour d’un point z ₀ est repr´ esentable en s´ erie enti` ere

f (z) =

∞

X

n=0

a _n (z − z ₀ ) ⁿ (15)

pour z dans le disque de convergence D(z ₀ , R) de la s´ erie, R ´ etant le rayon de convergence. C’est une fonction infiniment d´ erivable en z 0 .

Cons´ equence importante (et remarquable) des formules int´ egrales : une fonction holomorphe, i.e. d´ erivable une fois par rapport ` a la variable complexe, est ind´ efiniment d´ erivable ! Holomorphe

⇒ analytique. La r´ eciproque est aussi vraie :

holomorphe ⇔ analytique (16)

A. Quelques th´ eor` emes

On a pu d´ eduire des formules int´ egrales quelques th´ eor` emes remarquables.

Th´ eor` eme de Gauss de la moyenne : Soit C _z

_,R le cercle de rayon R centr´ e sur z 0 inclus dans le domaine d’holomorphicit´ e de la fonction f . Alors la moyenne de la fonction sur le cercle est ´ egale ` a sa valeur au centre

f(z ₀ ) = Z 2π

0

dθ

2π f (z ₀ + R e ^iθ ) (17)

Notons que la formule nous dit que l’int´ egrale est ind´ ependante du rayon R.

D´ em. : On utilise (13) o` u Γ → C _z

_,R .

! : Vous ne serez pas interrog´ es sur les trois th´ eor` emes suivants. On pourra juste en retenir les id´ ees pour la culture.

Th´ eor` eme de Liouville : Soit f une fonction enti` ere (analytique dans C ). Si f est born´ ee alors elle est constante.

Th´ eor` eme du maximum : Soit f analytique dans un ouvert U , alors |f (z)| atteint son maximum sur le bord de U .

Th´ eor` eme du minimum : Si f est analytique dans un ouvert U et n’a aucun z´ ero dans U ,

alors |f (z)| atteint son minimum sur le bord de U .

B. S´ eries enti` eres

Domaine de convergence.– On consid` ere la s´ erie enti` ere P ∞

n=0 a _n z ⁿ , fournissant une repr´ e- sentation d’une fonction analytique autour de 0. Le rayon de convergence de la s´ erie est R = max{ρ > 0 t.q. P

n |a _n | ρ ⁿ < ∞}. On appelle D(0, R) le disque de convergence.

Trouver le rayon de convergence.– Deux formules pour trouver R :

• Formule d’Hadamard (crit` ere de Cauchy) : 1/R = lim R→∞ |a _n | ^1/n .

• Formule de d’Alembert : 1/R = lim R→∞ |a _n+1 /a _n |.

Les deux crit` eres nous disent que |a <sub>n</sub> | ∼ 1/R <sup>n</sup> ` a grand n, correspondant ` a la s´ erie g´ eom´ etrique P

n (|z|/R) ⁿ ' 1/(1 − |z|/R).

C. S´ eries de Laurent

Si une fonction est analytique dans un domaine autour de z ₀ , elle peut ˆ etre repr´ esent´ ee sous forme de s´ erie de Taylor (s´ erie enti` ere). Les s´ eries de Laurent permettent de repr´ esenter des fonctions analytiques autour de leurs singularit´ es, ou dans une couronne entourant un domaine de non analyticit´ e. En g´ en´ eral on ´ ecrira

f (z) =

∞

X

n=−∞

a _n (z − z ₀ ) ⁿ pour R ₁ < |z − z ₀ | < R ₂ (18) (o` u R <sub>1</sub> = 0 pour un d´ eveloppement autour d’une singularit´ e z <sub>0</sub> ). La partie singuli` ere P −1

n=−∞ a _n (z−

z 0 ) ⁿ est appel´ ee partie principale du d´ eveloppement de Laurent alors que P ∞

n=0 a n (z − z 0 ) ⁿ est la partie analytique.

Exemple :

f (z) = 1

(z − 1)(2 − z) = 1

z − 1 + 1

2 − z (19)

(i) Autour de la singularit´ e en z = 1 : f (z) = _z−1 ¹ + P ∞

n=0 (z − 1) ⁿ = P +∞

n=−1 a _n (z − 1) ⁿ , i.e.

a _n = 0 pour n < −1, a −1 = 1 et a _n = 1 pour n > 0.

(ii) Autour de z = 0, dans la couronne 1 < |z| < 2 : f(z) = ¹ _{z 1−1/z} ¹ + ¹ _{2 1−z/2} ¹ = P −1

n=−∞ z ⁿ + P ∞

n=0 2 ⁻ⁿ⁻¹ z ⁿ = P +∞

n=−∞ b _n z ⁿ , i.e. ce nouveau d´ eveloppement est caract´ eris´ e par les coeffi- cients b _n = 1 pour n < 0 et b _n = 2 ⁻ⁿ⁻¹ pour n > 0.

Il est instructif (pour la suite) de remarquer que le seul coefficient commun aux deux d´ eveloppements de Laurent (de la mˆ eme fonction) est ¹ a −1 = b −1 .

Classification des singularit´ es.– On peut rencontrer diff´ erents types de singularit´ es :

• f (z) ∼ _z−z ¹

0

pour z → z ₀ : pˆ ole simple.

• f (z) ∼ _(z−z ¹

0

)

pour z → z ₀ : pˆ ole d’ordre n.

• f(z) = g(z)/(z − z ₀ ) o` u g est analytique dans le voisinage de z ₀ avec g(z ₀ ) = 0. Alors f a une singularit´ e apparente en z 0 (elle est analytique en z 0 ).

• Si la partie principale du d´ eveloppement de Laurent a un nombre de termes infini, on parle de singularit´ e essentielle.

Exemple : e ^1/z en z = 0.

• Le dernier type de singularit´ e est un point de branchement d’o` u part une coupure (ligne de

1

On comprendra plus loin que les deux coefficients co¨ıncident car les deux domaines ”entourent” la singularit´ e

en z = 1.

discontinuit´ e).

Exemple : z ^α avec α / ∈ Z a un point de branchement en 0.

Coefficients de la s´ erie de Laurent.– Si la fonction est analytique en z 0 , les coefficients de la s´ erie de Taylor f(z) = P ∞

n=0 a _n (z − z ₀ ) ⁿ sont donn´ es par les d´ eriv´ ees n-` emes de la fonction en ce point, a n = <sub>n!</sub> <sup>1</sup> f <sup>(n)</sup> (z 0 ). Mais si la fonction est singuli` ere en z 0 , puisque ses d´ eriv´ ees en ce point ne sont pas d´ efinies, comment relier les coefficients de la s´ erie de Laurent aux propri´ et´ es de la fonction ?

On peut montrer que les formules int´ egrales de Cauchy (14) s’´ etendent ` a tous les coefficients du d´ eveloppement de Laurent : soit Γ une courbe de Jordan entourant z 0 ,

f (z) =

∞

X

n=−∞

a _n (z − z ₀ ) ⁿ avec a _n = I

Γ

dz 2iπ

f (z)

(z − z ₀ ) ⁿ⁺¹ (20) Les coefficients a _n d´ ependent ´ evidemment de z ₀ (tout comme les coefficients du d´ eveloppement de Taylor d´ ependent du point dans le voisinage duquel celui-ci est r´ ealis´ e)... sauf a −1 (le coefficient d´ epend toutefois du domaine dans lequel le d´ eveloppement de Laurent existe). Cette remarque va se r´ ev´ eler importante.

V. Th´ eor` eme des r´ esidus

R´ esidu (d´ efinition).– Soit U un ouvert simplement connexe et z ₀ ∈ U . Consid´ erons f analy- tique dans U − {z ₀ } telle que f (z) = P ∞

n=−∞ a _n (z − z ₀ ) ⁿ . Le coefficient a −1 est appel´ e le r´ esidu de f en z 0 . On le note a −1 = Res[f, z 0 ]

Th´ eor` eme des r´ esidus : Soit f une fonction analytique dans un ouvert U simplement connexe, except´ e en un ensemble de points {z ₁ , z ₂ , · · · }, les singularit´ es de f . Soit Γ une courbe de Jordan entourant N pˆ oles z ₁ , · · · , z _N (et ne passant par aucune singularit´ e), alors

Γ z

z

... ^z

z

U I

Γ

dz f (z) = 2iπ

N

X

n=1

Res[f, z _n ] (21)

D´ em. : La d´ emonstration d´ ecoule de (20) et du th´ eor` eme de Cauchy g´ en´ eralis´ e.

A. Guide pratique : comment calculer les r´ esidus ?

Le th´ eor` eme des r´ esidus est int´ eressant en pratique : il permet de relier une int´ egrale sur un contour ` a des propri´ et´ es obtenues localement au voisinage des singularit´ es. La premi` ere question est donc de pouvoir calculer le r´ esidu.

Pˆ ole simple.— Pour un pˆ ole simple, le r´ esidu contrˆ ole le terme dominant au voisinage de la singularit´ e. Il donc facile ` a obtenir :

f(z) '

z→z

a −1

z − z ₀ i.e. Res[f, z ₀ ] = lim

z→z

(z − z ₀ ) f (z) (22)

En pratique on pourra calculer le r´ esidu avec les formules suivantes Res

h(z) z − z 0

, z ₀

= h(z ₀ ) ou Res h(z)

g(z) , z ₀

= h(z ₀ )

g ⁰ (z 0 ) (23) avec g(z 0 ) = 0 et g ⁰ (z 0 ) 6= 0.

Pˆ ole multiple.— Au voisinage de la singularit´ e, la fonction est domin´ ee par le terme f (z) ∼ (z − z 0 ) ⁻ⁿ , il est donc plus d´ elicat d’extraire un terme sous dominant. Si on ´ ecrit f (z) = h(z)/(z − z ₀ ) ⁿ , o` u h est une fonction r´ eguli` ere, il est facile d’obtenir Res h _h(z)

(z−z

)

, z ₀ i

= ^h

_(n−1)! ^(z

⁾ (en ´ ecrivant le d´ eveloppement en s´ erie de Taylor de h). Autrement dit :

f (z) '

z→z

a −n

(z − z 0 ) ⁿ +· · ·+ a −1

z − z 0

+a 0 +· · · ⇒ Res[f, z 0 ] = lim

z→z

1 (n − 1)!

d ⁿ⁻¹

dz ⁿ⁻¹ [(z − z 0 ) ⁿ f (z)]

(24) B. Application au calcul int´ egral

Exemple 1 : Consid´ erons un exemple tr` es simple pour exposer la m´ ethode : calculons l’int´ egrale I =

Z +∞

−∞

dx

x ² + a ² , a > 0 . (25)

(i) On choisit une fonction d’une variable complexe f (z) = _z

+a ¹

et on ´ etudie ses propri´ et´ es d’analyticit´ e ⇒ ici f est m´ eromorphe, avec deux pˆ oles simples en z = ±ia.

On calcule les r´ esidus : f(z) = (z−ia)(z+ia) ¹ ce qui montre que Res[f, ±ia] = 1/(±2ia).

(ii) On recherche un contour ferm´ e qui contient le contour consid´ er´ e (ici R ). ⇒ ici on consid` ere le contour Γ ⁺ = ∆ _R ∪ C _R ⁺ :

∆

+R

− R

−R

C

C 0

R

i

−i a a

(iii) On borne les contributions des morceaux de contour suppl´ ementaires :

Z

C

dz f (z)

6 πR

R ² − a ² ∼ 1 R −→

R→∞ 0 (26)

(iv) On applique le th´ eor` eme des r´ esidus I

Γ

dz f (z) = Z +R

−R

dx f (x)

| {z }

R→∞

−→ I

+ Z

C

dz f (z)

| {z }

−→

R→∞

0

= 2iπ Res[f, +ia] ⇒ I = π

a . (27)

Exercice : v´ erifier qu’on arrive ` a la mˆ eme conclusion en choisissant le contour Γ ⁻ = ∆ _R ∪ C _R ⁻ .

Exemple 2 : Un autre exemple important est F (k) =

Z +∞

−∞

dx e ^−ikx

x ² + a ² , a > 0 . (28)

On choisit cette fois la fonction analytique f (z) = _z ^e

+a

. En remarquant que |f(z)| = _|z

+a ¹

| e ^{k Im z} (si k ∈ R ), on voit que le choix de contour est maintenant gouvern´ e par le signe de k.

• Si k > 0, on choisit le contour Γ − , et il est alors facile de montrer que R

C

dz f (z) −→

R→∞ 0 (en revanche on ne peut pas borner l’int´ egrale sur C _R ⁺ car |f (z)| diverge pour Im z → +∞).

L’application du th´ eor` eme des r´ esidus sur Γ − (qui retient le r´ esidu du pˆ ole simple en z = −ia) montre que F(k) = ^π _a e ^−ka .

• Si k < 0, on choisit le contour Γ ₊ . En utilisant R

C

dz f (z) −→

R→∞ 0 et le th´ eor` eme des r´ esidus (qui implique cette fois le r´ esidu du pˆ ole simple en z = +ia), on obtient F (k) = ^π _a e ^+ka .

En conclusion

F (k) = π

a e ^−|k|a . (29)

C. Application au calcul de s´ eries Pour calculer des s´ eries de la forme P

n ϕ(n) ou P

n (−1) ⁿ ϕ(n), on utilise efficacement le th´ eor` eme des r´ esidus. L’id´ ee est de remarquer que Res [π cot πz, n] = 1 et Res _π

sinπz , n

= (−1) ⁿ .

... _γ

−2 γ ₋₁ γ

0

γ ₊₁ γ ₊₂ γ ₊₃ ...

Si ϕ(z) est analytique en z = n, peut alors ´ ecrire X

n

ϕ(n) = X

n

I

γ

dz

2i ϕ(z) cot πz et X

n

(−1) ⁿ ϕ(n) = X

n

I

γ

dz 2i

ϕ(z)

sin πz (30) et proc´ eder ` a des d´ eformations de contour.

Illustration : Consid´ erons la s´ erie S = P ∞

n=1 (−1) ⁿ /n ² . Introduisons la fonction f (z) = π/

z ² sin(πz)

. Elle a une infinit´ e de pˆ oles simples en z = n ∈ Z ^∗ , avec Res _π

z

sin πz , n

= ⁽⁻¹⁾ _n

, et un pˆ ole triple en z = 0. Soit C _N le cercle de rayon N + 1/2 (figure).

...

γ

0

...

γ γ

γ

C

D’apr` es le th´ eor` eme de Cauchy g´ en´ eralis´ e, on a P +N n=−N

H

γ

dz f (z) = H

C

dz f (z). Puisque la fonction d´ ecroˆıt ` a l’infini, on peut montrer que lim N→∞ H

C

dz f (z) = 0, donc P

n∈ Z

H

γ

dz

2iπ f (z) = 0, et donc

2S = X

n∈ Z

I

γ

dz 2iπ f (z)

| {z }

=(−1)

/n

= − I

γ

dz

2iπ f (z) = −Res

f, z = 0

= − π ²

6 . (31)

L’int´ erˆ et de la m´ ethode est donc de relier une s´ erie (infinie) de r´ esidus au r´ esidu du pˆ ole triple en z = 0. Finalement P ∞

n=1 (−1)

n

= − ^π ₁₂

.

2 Compl´ ements sur l’int´ egration

2.1 Rappel : int´ egrale de Riemann

Consid´ erons une fonction f (x) d´ efinie sur un intervalle [a, b] born´ e, t.q. |f (x)| est born´ e sur l’in- tervalle. D´ ecoupons l’intervalle en N intervalles, de mˆ eme largeur ε = (b − a)/N pour simplifier.

On note ξ _k ∈ [a + k ε, a + (k + 1) ε[. L’int´ egrale de Riemann est d´ efinie comme Z b

a

dx f(x) = lim

N →∞ ε

N−1

X

k=0

f (ξ _k ) . (32)

2.2 Convergence des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

On appelle une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee (ou int´ egrale impropre), une int´ egrale sur un support non born´ e, si a → −∞ et/ou b → +∞, ou l’int´ egrale d’une fonction non born´ ee, ayant une singularit´ e en x 0 ∈ [a, b].

Par exemple, consid´ erons le cas des int´ egrales de type R ∞

a dx f (x). Soit F une primitive de f . L’int´ egrale de Riemann est d´ efinie si lim x→∞ F (x) est finie.

Exemple : R ∞

1 dx x ^−η < ∞ (i.e. l’int´ egrale de Riemann existe) ssi η > 1.

Exemple 2 : R 1

0 dx x ^−η < ∞ ssi η < 1.

Convergence absolue : L’int´ egrale R

A dx f (x) converge absolument ssi R

A dx |f (x)| < 1.

Exemple : R

R dx ^x _1+x

⁻¹

est absolument convergente.

Int´ egrale semi-convergente : Si une int´ egrale de Riemann est convergente mais non abso- lument convergente, on dit qu’elle est

semi-convergente

.

Exemple : R

R dx sinc(x), o` u sinc(x) = ^sinx _x , est semi-convergente.

2.3 Int´ egrale de Lebesgue (pour la culture)

L’int´ egrale de Riemann proc` ede en d´ ecoupant l’intervalle de d´ epart en N petits intervalles.

Cette mani` ere de proc´ eder peut poser des probl` emes (pour les math´ ematiciens). Par exemple, consid´ erons la fonction de Dirichlet, la fonction indicatrice ² de Q sur R :

D(x)

=

( 1 si x ∈ Q 0 si x / ∈ Q

(33) On voit que l’int´ egrale de D(x) d´ efinie comme (32) n’est pas d´ efinie : si l’on choisit les ξ _k dans Q , on obtient R 1

0 dx D(x) = 1 alors que si l’on choisit ξ _k ∈ / Q , on obtient R 1

0 dx D(x) = 0 (un choix hybride donnerait un r´ esultat interm´ ediaire). Quelle est la

bonne proc´ edure

pour d´ efinir l’int´ egrale de cette fonction ?

La construction de l’int´ egrale de Lebesgue proc` ede en trois ´ etapes :

2

Fonction indicatrice : Soit A ⊂ R . La fonction indicatrice de l’ensemble A est χ

(x) = 1 si x ∈ A et

χ

(x) = 0 si x / ∈ A.

(1) On d´ efinit la notion de mesure d’un ensemble. La mesure de Lebesgue est d´ efinie comme suit : La mesure d’un intervalle [a, b] de R est

µ ([a, b]) = |b − a| . (34)

En particulier, si l’ensemble est un point, {a} ≡ [a, a], la mesure de l’ensemble est nulle

µ ([a, a]) = 0 . (35)

Un ensemble contenant un nombre infini d´ enombrable de points est de mesure nulle. Par exemple :

µ ( N ) = µ ( Z ) = µ ( Q ) = 0 (36)

Pour voir que Q est d´ enombrable, on peut se souvenir que Q ∼ Z × Z ^∗ .

(2) On introduit les fonctions mesurables, fonctions d´ efinies sur des ensembles mesurables.

(3) a) Dans un premier temps, on introduit les fonctions ´ etag´ ees : f (x) = X

n

a _n χ _A

(x) (37)

o` u A _n sont des sous ensembles de R et χ _A (x) la fonction indicatrice de A. L’int´ egrale de Lebesgue d’une fonction ´ etag´ ee est

Z

dx f (x) = X

n

a n µ(A n ) . (38)

b) Dans un second temps, on consid` ere les fonctions positives, vues comme limites de fonctions ´ etag´ ees.

c) Enfin on consid` ere les fonctions de signe quelconque en les d´ ecomposant sur des fonctions positives.

Remarques :

• Si une fonction est Riemann-int´ egrable et Lebesgue-int´ egrable, les deux int´ egrales co¨ıncident

´ evidemment.

• Pourquoi passer par les fonctions positives ? Toutes les fonctions positives sont

Lebesgue int´ egrables

dans le sens o` u R

dx f (x) est bien d´ efinie (mˆ eme si le r´ esultat est +∞, par exemple si f (x) = x ² sur R ).

• Pour une fonction f de signe quelconque, on la d´ ecompose ` a l’aide de deux fonctions positives : f(x) = f + (x) − f − (x) o` u :

– f ₊ (x) = f (x) si f (x) > 0 et f ₊ (x) = 0 si f (x) < 0.

– f − (x) = 0 si f (x) > 0 et f − (x) = −f (x) > 0 si f(x) < 0.

L’int´ egrale de f est alors simplement d´ efinie comme R

f = R

f ₊ − R

f − . La fonction est

Lebesgue int´ egrable

ssi la diff´ erence de ces deux termes est bien d´ efinie (ce qui exclut seulement le cas o` u les deux int´ egrales R

f + et R

f − seraient infinies. Par exemple, f (x) = x ² −1 est Lebesgue-int´ egrable car R

f ₊ = +∞ et R

f − = 4/3 est finie.

• Une cons´ equence de la remarque pr´ ec´ edente est que les int´ egrales semi-convergentes de Rie- mann ne peuvent pas ˆ etre calcul´ ees avec l’approche de Lebesgue. ³

3

Avec l’int´ egrale de Riemann, il y a une notion

d’ordre

de sommation [1], ce qui permet de donner un sens aux int´ egrales semi-convergentes. Par analogie, pensons ` a la s´ erie P

n=1

(−1)

/n = ln 2. L’approche de

Lebesgue consisterait ` a regrouper d’un cˆ ot´ e les termes positifs et de l’autre les termes n´ egatifs, ce qui donnerait

deux grandeurs infinies.

• Si l’int´ egrale de f est d´ efinie au sens de Lebesgue et R

A dx f (x)

< ∞, on dira que f(x) est

sommable sur A

. Si f est Lebesgue-int´ egrable et | R

f | < ∞, alors cela signifie que R f + < ∞ et R

f − < ∞, ce qui revient ` a R

|f | = R

f + + R

f − < ∞ (d’apr` es la discussion pr´ ec´ edente).

• Conclusion : Si l’int´ egrale de Riemann proc` ede en d´ ecoupant l’intervalle de d´ epart [a, b], sur lequel la fonction est int´ egr´ ee, on voit que l’int´ egrale de Lebesgue correspond ` a ´ echantillonner l’intervalle d’arriv´ ee f ([a, b]) : associer ` a chaque valeur a n prise par la fonction l’ensemble A n

sur lequel cette valeur est r´ ealis´ ee.

Le probl` eme de l’int´ egrale de la fonction de Dirichlet est ainsi r´ egl´ e : au sens de Lebesgue R 1

0 dx D(x) = 1 × µ(rationnels de [0, 1]) = 0 car µ ( Q ) = 0.

Cela dit, en tant que physiciens, on n’aura pas ` a int´ egrer la fonction de Dirichlet tous les jours !

2.3.1 Les points ` a retenir (sur cette introduction ` a la th´ eorie de Lebesgue)

• La notion de mesure de Lebesgue sur R .

•

presque partout

: Si une propri´ et´ e est vraie sauf sur un ensemble de mesure nulle, alors on dira qu’elle est vraie

presque partout

.

Exemple : Puisque Q est de mesure nulle, on ´ ecrira que la fonction de Dirichlet est

D(x) = 0 p.p. (39)

• La notion de fonction sommable : Les fonctions sommables sont les fonctions Lebesgue- int´ egrables telles que

Z

A

dx f (x)

< ∞ (f sommable sur A) (40)

Pour les fonctions ´ egalement int´ egrables au sens de Riemann : “sommable” = “int´ egrale absolument convergente”.

2.4 Espace L ^p ( R ) :

ensemble des fonctions f telles que f (x) ^p est sommable au sens de Lebesgue sur R , i.e. R

R dx |f (x)| ^p <

∞.

Exemples : sinc(x) ∈ L / ¹ ( R ) mais ∈ L ^p ( R ) pour p > 2 ; √ ¹

|x| e ^−|x| ∈ L ¹ ( R ) mais ∈ L / ^p ( R ) pour p > 2 ; ^x _1+x

⁻¹

∈ L ^p ( R ) ∀p > 1.

2.5 Convergence de suite de fonctions Soit {f _n (x)} n∈ N une suite de fonctions.

Convergence simple : La suite converge simplement vers f(x) sur l’ensemble A ssi :

∀x ∈ A, ∀, ∃ N ,x t.q. |f _n (x) − f (x)| < pour n > N ,x .

Convergence uniforme : La suite converge uniform´ ement vers f (x) sur A ssi :

∀ ∈ A, ∃ N , t.q. ∀x, |f _n (x) − f (x)| < pour n > N .

Dans la pratique, il sera utile de montrer la convergence uniforme en utilisant le crit` ere suivant Sup

x∈A

|f _n (x) − f (x)| −→

n→∞ 0 (41)

Exemple : Si l’on consid` ere f (x) = _(x−n) ¹

+1 , la suite converge simplement et uniform´ ement vers 0 sur tout intervalle born´ e, par exemple sur [0, 1].

En revanche, si elle converge simplement vers 0 sur R , elle ne converge pas uniform´ ement vers 0 sur R puisque Sup

x∈ R

f n (x) = 1.

Exemple 2 : Soit g n (x) = x ⁿ sur [0, 1]. La suite converge simplement vers 0 pour x ∈ [0, 1[, i.e.

g _n (x) −→

n→∞ 0 presque partout sur [0, 1].

En revanche, puisque Sup

x∈[0,1[

g _n (x) = 1, elle ne converge pas uniform´ ement (plus x s’approche de 1, plus la suite converge lentement vers 0).

2.6 Convergence de l’int´ egrale d’une suite de fonctions

Il arrive parfois que l’on souhaite permuter une limite et une int´ egrale. Deux th´ eor` emes nous permettent cela :

Th´ eor` eme : soit f n (x) une suite de fonctions convergeant uniform´ ement vers f(x) sur [a, b], un intervalle born´ e. Alors

n→∞ lim Z x

a

dt f _n (t) = Z x

a

dt f(t) (42)

la convergence ´ etant uniforme pour x ∈ [a, b].

D´ em. : Sup

x∈[a,b]

R x

a dt f _n (t) − R x

a dt f(t)

6 (b − a) Sup

x∈[a,b]

|f _n (x) − f (x)| −→

n→∞ 0. Qed.

Le th´ eor` eme est simple, mais pas tr` es puissant car il donne des conditions suffisantes mais pas n´ ecessaires et ne concerne que le cas des intervalles born´ es, i.e. il est trop restrictif. Donc, inutile de retenir ce premier th´ eor` eme de la convergence uniforme ! On retiendra le th´ eor` eme utile (et puissant) suivant :

Th´ eor` eme de Lebesgue de la convergence domin´ ee : soit f n (x) une suite de fonctions mesurables convergeant (simplement) presque partout vers f(x) sur un ensemble mesurable A. S’il existe une fonction h(x) sommable sur A telle que |f _n (x)| 6 h(x) ∀n presque partout, alors

n→∞ lim Z

A

dx |f _n (x) − f(x)| = 0 . (43)

Ce qui implique que lim n→∞ R

A dx f n (x) = R

A dx f (x), i.e. qu’il est possible de permuter limite et int´ egrale.

Exemple : reprenons la fonction g _n (x) = x ⁿ sur [0, 1] qui ne converge pas uniform´ ement et pour laquelle on ne peut donc pas appliquer le th´ eor` eme de convergence uniforme. N´ eanmoins g n (x) 6 1, or h(x) = 1 est (trivialement) sommable sur [0, 1]. Donc on peut appliquer le th´ eor` eme de la convergence domin´ ee et conclure que lim n→∞ R 1

0 dx g _n (x) = R 1

0 dx lim n→∞ g _n (x) = 0.

Sur ce cas simple, on peut mˆ eme le v´ erifier explicitement ! R 1

0 dx x ⁿ = 1/(n + 1) → 0 si n → ∞.

Th´ eor` eme de d´ erivation sous le signe somme : soit f (x, λ) une fonction d´ efinie pour x ∈ A et d´ ependant d’un param` etre λ ∈ [a, b], t.q. :

(i) f (x, λ) est sommable sur A, ∀λ ∈]a, b[

(ii) ^∂f(x,λ) _∂λ existe presque partout sur A, ∀λ ∈]a, b[

(iii)

∂f (x,λ)

∂λ

6 h(x) ∀λ ∈]a, b[, o` u h(x) est sommable sur A Alors

d dλ

Z

A

dx f(x, λ) = Z

A

dx ∂f (x, λ)

∂λ . (44)

D´ em. : on part de la formule des accroissements finis ^{f (x,λ} _λ

^)−f(x,λ)

2

−λ = ^∂f _∂λ (x, λ 1 ) avec λ < λ 1 < λ 2 , puis on int` egre sur A et on utilise le th´ eor` eme de Lebesgue pour prendre la limite λ 2 → λ.

3 Analyse de Fourier

3.1 S´ eries de Fourier

3.1.1 D´ efinition

Soit une fonction f (x) p´ eriodique de p´ eriode L, i.e. f(x + L) = f (x) (ou simplement une fonction d´ efinie seulement sur l’intervalle [0, L] born´ e). Nous pouvons ´ ecrire la fonction comme une combinaison lin´ eaire des fonctions harmoniques exp{2iπnx/L}, qui forment une “base” :

f (x) = X

n∈ Z

f ˆ n e ^ik

^x o` u k n

def

= 2πn

L (45)

Les coefficients de Fourier sont donn´ es par f ˆ _n =

Z L 0

dx

L f (x) e ^−ik

^x (46)

(la transform´ ee de Fourier discr` ete de f (x)).

D´ em. : on consid` ere R L

0 dx e ^−ik

^x P

m∈ Z f ˆ m e ^ik

^x , on permute somme et int´ egrale, et on utilise R L

0 dxe ^i(k

^−k

^)x = L δ n,m .

3.2 Transformation de Fourier dans R

Si on r´ e´ ecrit la transform´ ee de Fourier discr` ete comme R +L/2

−L/2 dx f (x) e ^−ik

^x pour la fonction f d´ efinie sur [−L/2, +L/2] et que l’on prend la limite L → ∞, le spectre des k n devient dense et l’on aboutit ` a la transformation de Fourier.

3.2.1 D´ efinition

soit f une fonction d´ efinie sur R , sa transform´ ee de Fourier est d´ efinie comme f ˆ (k) = F _k [f ]

=

Z

R

√ dx

2π f (x) e ^−ikx (47)

Nous pourrons supposer que la fonction est sommable pour simplifier certaines discussions,

f ∈ L ¹ ( R ), ce qui assure que l’int´ egrale est absolument convergente. Cependant, on pourra

d´ efinir la transform´ ee de Fourier tant que l’int´ egrale existe, par exemple si l’int´ egrale est semi-

convergente (par exemple pour f (x) = |x| ^−α avec 0 < α < 1).

3.2.2 Transform´ ee de Fourier inverse La transformation inverse est donn´ ee par

f (x) = F _x ^† h f ˆ

i

= Z

R

√ dk 2π

f(k) e ˆ ^ikx . (48)

D´ em. : Etudions ´ F _x ^† h

e ⁻

^(k)

F _k [f ] i

= Z

R

√ dk

2π e ^ikx e ⁻

^(k)

Z

R

√ dy

2π f (y) e ^−iky = Z

dy f (y) Z dk

2π e ⁻

^(k)

^+ik(x−y) o` u l’introduction de e ⁻

^(k)

nous a permis de permuter l’ordre d’int´ egration. On reconnaˆıt que la seconde int´ egrale correspond ` a la transformation de Fourier d’une gaussienne, i.e. donne

√ 1

2π exp n

− ¹ ₂

(x − y)/ 2 o

. Finalement, un changement de variable y = x + t donne l’identit´ e F _x ^† h

e ⁻

^(k)

F _k [f ] i

= Z

R

dt f(x + t) 1

√

2π e ⁻

^t

.

Si nous supposons de plus que f (x) est born´ ee, nous pouvons utiliser le th´ eor` eme de la conver- gence domin´ ee pour prendre la limite → 0 ⁺ , ce qui donne F _x ^† [F _k [f ]] = f (x). Qed .

3.2.3 Propri´ et´ es

Nous ´ enon¸cons une s´ erie de propri´ et´ es utiles.

! Savoir retrouver ces propri´ et´ es tr` es rapidement ` a partir de la d´ efinition (48). ^! Lin´ earit´ e : Soient f et g deux fonctions et λ, µ ∈ C .

F _k [λ f (x) + µ g(x)] = λ f ˆ (k) + µ ˆ g(k) . (49) Parit´ e : La TF conserve la parit´ e. Si f est paire (resp. impaire), alors ˆ f est aussi paire (resp.

impaire).

D´ em. : Suppons f (−x) = ±f (x) (+ pour paire et − pour impaire).

Alors ˆ f(−k) = F _−k [f (x)] = F _k [f (−x)] = F _k [±f(x)] = ± f(k). ˆ Qed . Conjugaison :

F _k [f (x) ^∗ ] = ˆ f(−k) ^∗ . (50)

Cons´ equence :

→ Si f (x) est paire et r´ eelle, on peut combiner les deux propri´ et´ es ˆ f (k) = ˆ f (−k) et ˆ f (k) = f ˆ (−k) ^∗ , ce qui montre que ˆ f (k) ∈ R.

→ Si f (x) est impaire et r´ eelle, on combine ˆ f (k) = − f ˆ (−k) et ˆ f (k) = ˆ f(−k) ^∗ ⇒ f ˆ (k) ∈ i R . Translation : Une translation de a agit sur une fonction comme f (x) → f (x − a).

F _k [f(x − a)] = e ^−ika f ˆ (k) . (51)

Dilatation : Une dilatation d’un facteur λ correspond ` a la transformation f(x) → f (x/λ).

F _k [f (x/λ)] = λ f ˆ (λk) . (52)

Cette propri´ et´ e importante montre que si f (x) → f(x/λ) s’´ elargit d’un facteur λ > 1, sa transform´ ee de Fourier est contract´ ee du mˆ eme facteur. ⁴

D´ erivation : Transform´ ee de Fourier de la d´ eriv´ ee d’une fonction : F _k

f ⁰ (x)

= ik f(k) ˆ (53)

i.e.

_dx ^d −→ ^F ik

.

Propri´ et´ e tr` es importante qui montre l’importance de la TF pour l’´ etude des ´ equations diff´ erentielles.

Corollaire :

F _k [x f (x)] = i ˆ f ⁰ (k) (54)

i.e.

x −→ ^F i _dk ^d

Relation de Parseval-Plancherel : Soit f et g deux fonctions et ˆ f et ˆ g leurs TF. On montre que

Z

R

dx f (x) g(x) ^∗ = Z

R

dk f ˆ (k) ˆ g(k) ^∗ . (55)

La d´ emonstration de la relation est analogue ` a celle de la transformation inverse.

Cons´ equence : R

R dx |f(x)| ² = R

R dk | f ˆ (k)| ² , ce qui montre que si f ∈ L ² ( R ) ⇔ f ˆ ∈ L ² ( R ).

3.2.4 Convolution

Le produit de convolution entre deux fonctions f et g est d´ efini comme (f ∗ g)(x)

=

Z

R

dy f (x − y) g(y) = Z

R

dy f (y) g(x − y) (56)

en particulier f ∗ g = g ∗ f.

On v´ erifie facilement

F _k [f ∗ g] = √

2π f(k) ˆ ˆ g(k) . (57)

Inversement, la TF d’un produit de fonctions est la convolution de leurs TF.

3.2.5 Exemples :

(i) La gaussienne est invariante sous la transformation de Fourier : F _k h

e ⁻

^x

i

= e ⁻

^k

. (58)

Il sera parfois utile de consid´ erer la TF de la gaussienne normalis´ ee de largeur a g _a (x) = 1

√ 2π a e ⁻

^(x/a)

⇒ ˆ g _a (k) = 1

√ 2π e ⁻

^(ka)

(59) (on peut ´ ecrire ˆ g a = a g _1/a )

4

Cette propri´ et´ e est li´ ee ` a la relation ∆x ∆k > 1/2 o` u ∆x est la largeur de f et ∆k la largeur de ˆ f.

La largeur de f est d´ efinie comme ∆x

= x

− hxi

o` u hxi = R

dx x |f(x)|

/ R

dx |f(x)|

et

x

= R dx x

|f(x)|

/ R

dx |f(x)|

. De mˆ eme pour ∆k, d´ efinie ` a partir de ˆ f.

(ii) On consid` ere la fonction Π <sub>a</sub> (x) = <sup>1</sup> <sub>a</sub> Π <sub>1</sub> (x/a) o` u Π ₁ (x) = 1 pour |x| < 1/2 et Π ₁ (x) = 0 pour |x| > 1/2. Un calcul tr` es simple donne

Π b _a (k) = 1

√ 2π Π b ₁ (ak) = 1

√ 2π sinc(ka/2) (60)

qui est une fonction de largeur 1/a.

(iii) On consid` ere maintenant T a (x) = <sup>1</sup> <sub>a</sub> T 1 (x/a) o` u T 1 (x) = 1 − |x| pour |x| < 1 et T 1 (x) = 0 pour |x| > 1. On obtient

T b _a (k) = 1

√ 2π [sinc(ka/2)] ² . (61)

(iv) Finalement nous consid´ erons t a (x) = ¹ _a t 1 (x/a) o` u t 1 (x) = (1/2)e <sup>−|x|</sup> . Un calcul tr` es simple donne

ˆ t _a (k) = 1

√ 2π 1

1 + (ka) ² (62)

Remarques :

• Toutes ces fonctions sont paires et r´ eelles, propri´ et´ es qui se retrouve sur les TF.

• On a obtenu T b a (k) = √

2π Π b a (k) ² . On a en effet T a = Π a ∗ Π a .

• On note que Π b a (k) ∼ 1/k pour k → ∞ alors que T b a (k) et ˆ t a (k) pr´ esentent toutes deux le mˆ eme comportement ∼ 1/k ² ` a l’infini. C’est une manifestation de la r´ eciprocit´ e de Fourier qui relie les propri´ et´ es de la fonction aux petites ´ echelles (continuit´ e, d´ erivabilit´ e) au compor- tement de sa TF ` a grand k. Π b a (k) ∼ 1/k pour k → ∞ a pour origine la discontinuit´ e de la fonction Π a pour x = ±1/2 alors que pour les deux autres fonctions, le comportement ∼ 1/k ² est reli´ e ` a la discontinuit´ e de la d´ eriv´ ee ` a l’origine.

3.3 Transformation de Fourier dans R ^d

La g´ en´ eralisation est tr` es naturelle si l’on consid` ere des fonctions d´ efinies sur R ^d . f ˆ ( ~ k) = F _{~ k} [f ]

=

Z

R

d ^d ~ x

(2π) ^d/2 f (~ x) e ^{−i ~ k·~ x} (63) f (~ x) = F _{~ x} ^† h

f ˆ i

= Z

R

d ^d ~ k (2π) ^d/2

f ˆ ( ~ k) e ^{i ~ k·~ x} (64) (il est entendu que d ^d ~ x ≡ dx 1 dx 2 · · · dx d ).

On retrouvera facilement les analogues des propri´ et´ es d´ emontr´ ees plus haut pour la TF des fonctions d´ efinies sur R . Mentionnons deux propri´ et´ es :

• La d´ erivation :

F _{~ k} h

∇f ~ i

= i ~ k f( ˆ ~ k) . (65)

• La convolution est maintenant d´ efinie comme (f ∗ g)(x)

= R

R

d ^d ~ y f (~ x − ~ y) g(~ y) d’o` u

F _{~ k} [f ∗ g] = (2π) ^d/2 f( ˆ ~ k) ˆ g( ~ k) . (66)

Transform´ ee de Fourier des fonctions radiales dans R ³ Etudions ´

F _{~ k} [φ(||~ x||)] = Z

R

d ³ ~ x

(2π) ^3/2 φ(||~ x||) e ^{−i ~ k·~ x} (67) Il est toujours possible de faire une rotation (de la variable muette d’int´ egration ~ x) pour ramener le vecteur ~ k selon ~ u _z , ce qui simplifie l’´ ecriture de l’int´ egrale dans le syst` eme de coordonn´ ees sph´ eriques

F _{~ k} [φ(||~ x||)] = 1 (2π) ^3/2

Z ∞

0

dr r ² φ(r) Z π

0

dθ sin θ e ^{−ikr cos θ} Z 2π

0

dϕ (68)

On aboutit facilement ` a la formule utile F _{~ k} [φ(||~ x||)] = 1

(2π) ^3/2 4π

k Z ∞

0

dr r sin(kr) φ(r) (69)

Ce qui montre que la TF d’une fonction radiale est une fonction radiale.

Exemple : On v´ erifiera ais´ ement que F _{~ k}

e ^−αr

= 1

(2π) ^3/2

8πα

( ~ k ² + α ² ) ² . (70)

Notons que la loi de puissance 1/k ⁴ a pour origine la r´ eciprocit´ e de Fourier puisque, si la fonction est continue partout, sa d´ eriv´ ee ∇e ~ ^−αr = −α ^{~ r} _r e ^−αr n’est pas continue ` a l’origine (le vecteur ~ r/r tend vers diff´ erentes limites selon la direction lorsque r → 0).

3.4 Application pour la r´ esolution des ´ equations diff´ erentielles

On a ´ etudi´ e plusieurs exemples en cours et TD.

4 Distribution de Dirac

4.1 D´ efinition

Consid´ erons une fonction h(x) ayant les propri´ et´ es :

• h(x) est de largeur ∼ 1.

• h(x) est centr´ ee sur x ∼ 0.

• R

dx h(x) = 1.

Dilatons cette fonction d’un facteur , en gardant sa normalisation, δ (x)

= 1

h x

. (71)

Consid´ erons maintenant une fonction ϕ(x) continue en x = 0 et born´ ee (pour simplifier). Ces hypoth` eses nous permettent d’appliquer le th´ eor` eme de convergence domin´ ee pour

→0 lim

Z

dx δ (x) ϕ(x) = lim

→0

Z

dt h(t) ϕ(t) = ϕ(0) (72)

La th´ eorie des distributions permet de donner un sens math´ ematique (rigoureux) ` a δ(x)

= lim

→0

δ (x) (73)

(c’est une

limite au sens des distributions

). On pourra simplement retenir Z

dx δ(x) ϕ(x) = ϕ(0) (74)

comme d´ efinition de la distribution de Dirac δ(x). (74) est l’unique relation ` a retenir , le reste du chapitre discutant des applications s’en d´ eduisant facilement.

Remarques

• Nous avons ainsi introduit un objet (une

distribution

) extrˆ emement singulier, nul partout sauf en x = 0 o` u il est infini (pr´ ecis´ ement, o` u le poids de δ(x) est concentr´ e puisque R

dx δ(x) = 1). La th´ eorie des distributions permet de donner un sens rigoureux ` a cet objet.

• Remarquons qu’en l’absence de l’int´ egrale, on peut ´ ecrire δ(x) ϕ(x) = δ(x) ϕ(0) puisque l’ex- pression est nulle partout sauf en x = 0.

• Notations de la th´ eorie des distributions : (pour les math´ ematiciens) La d´ efinition (74) fait ressortir la nature pr´ ecise de la distribution : une fonctionnelle lin´ eaire, d´ efinie par son action sur une “fonction test” ϕ, i.e. une application d’un espace fonctionnel vers C . On distingue deux types de distributions :

* Les distributions r´ eguli` eres, not´ ees [f], associ´ ees aux fonctions usuelles. L’action de la dis- tribution sur la fonction test est not´ ee ` a l’aide d’un crochet rappelant un produit scalaire : h [f ] , ϕ i = R

dx f(x) ϕ(x). Les fonctions tests sont choisies afin que h ♣ , ♠ i pr´ esente les pro- pri´ et´ es simples, telles que h [f ] ⁰ , ϕ i = −h [f ] , ϕ ⁰ i, ce qui fournit une d´ efinition de la d´ erivation au sens des distributions (et montre que [f ] ⁰ = [f ⁰ ], i.e. la d´ eriv´ ee de la distribution r´ eguli` ere est repr´ esent´ ee par la distribution r´ eguli` ere associ´ ee ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f ). On pourra se r´ ef´ erer ` a la repr´ esentation h T , ϕ i pour une distribution T , en cas de doute sur une propri´ et´ e.

* Les distributions singuli` eres, dont fait partie la distribution de Dirac, h δ , ϕ i = ϕ(0).

4.2 Propri´ et´ es

Un certain nombre de propri´ et´ es simples que l’on d´ emontre facilement ` a l’aide de (74) (par de simples changements de variables).

Translation : Z

dx δ(x − a) ϕ(x) = ϕ(a) (75)

Dilalation : soit λ ∈ R.

δ(λ x) = 1

|λ| δ(x) (76)

δ d’une fonction : Soit f (x) une fonction ayant N racines simples {x ₁ , · · · , x N } (i.e. f ⁰ (x n ) 6=

0) : en combinant les deux relations pr´ ec´ edentes : δ(f(x)) =

N

X

n=1

δ(x − x _n )

|f ⁰ (x n )| = 1

|f ⁰ (x)|

N

X

n=1

δ(x − x _n ) (77)

o` u la seconde ´ egalit´ e utilise δ(x) ϕ(x) = δ(x) ϕ(0).

Convolution : la distribution de Dirac est l’´ el´ ement neutre de la convolution

δ ∗ f = f ∗ δ = f (78)

D´ em. : on reprend la d´ efinition du produit de convolution (δ ∗ f)(x) = R

dx δ(x − y)f (y) et de δ.

Transform´ ee de Fourier : La transform´ ee de Fourier de δ est une constante ˆ δ(k) = ^{√ 1}

2π

(cf. d´ efinition de la TF). En ´ ecrivant la transform´ ee de Fourier inverse, nous obtenons une repr´ esentation extrˆ emement utile de δ :

δ(x) = Z

R

dk

2π e ^ikx (79)

Exercice : V´ erifier que F _x ^† [F _k [f]] = f (x) en utilisant cette propri´ et´ e.

Dirac et Heaviside : On d´ efinit la fonction de Heaviside comme θ _H (x) =

( 0 si x < 0

1 si x > 0 (80)

Nous remarquons que R x

−∞ du δ(u) = θ _H (x). Puisque la distribution de Dirac est sym´ etrique, δ(x) = δ(−x), il est naturel (et parfois utile en physique) de choisir θ H (0) = 1/2.

La distribution de Dirac permet donc de donner un sens ` a la d´ eriv´ ee d’une fonction discon- tinue :

d

dx θ _H (x) = δ(x) (81)

La g´ en´ eralisation au cas d’une fonction f discontinue en x ₀ , mais continue et d´ erivable partout ailleurs, est

d

dx f(x) = f ⁰ (x) +

f (x ⁺ ₀ ) − f(x ⁻ ₀ )

δ(x − x ₀ ) (formule du saut) (82) o` u f ⁰ (x) est la d´ eriv´ ee de la fonction, d´ efinie ∀x 6= x 0 .

Exemple : consid´ erons f (x) = ¹ ₂ sign(x) e ^−λ|x| . L’application de la formule du saut donne _dx ^d f (x) =

− ¹ ₂ λ e ^−λ|x| + δ(x) = −λ sign(x) f(x) + δ(x).

D´ eriv´ ees de la distribution δ : nous partons de la d´ efinition (74) et utilisons une int´ egration par partie pour d´ efinir la d´ eriv´ ee du δ : R

dx δ ⁰ (x) ϕ(x) = − R

dx δ(x) ϕ ⁰ (x) = −ϕ ⁰ (0). De mani` ere g´ en´ erale, l’action de δ ⁽ⁿ⁾ est d´ efinie par

Z

dx δ ⁽ⁿ⁾ (x) ϕ(x) = (−1) ⁿ ϕ ⁽ⁿ⁾ (0) . (83) Il est int´ eressant de consid´ erer la transform´ ee de Fourier :

F _k h δ ⁽ⁿ⁾ i

= (ik) ⁿ F _k [δ] = (ik) ⁿ

√

2π (84)

Il est remarquable que nous ayons pu donner un sens ` a la transform´ ee de Fourier de x ⁿ (alors

que cette fonction n’est clairement pas sommable !)

Solution de l’´ equation x ⁿ f (x) = 0 dans l’espace des distributions : Si l’on recherche la solution de x f (x) = 0 dans l’espace des fonctions, i.e. on cherche une solution continue par morceaux telle que l’´ equation soit satisfaite ∀x, alors on obtient la solution triviale f (x) = 0 p.p.

En remarquant que x δ(x) = 0, on voit que si la solution de l’´ equation est recherch´ ee dans l’espace (plus large) des distributions, alors nous trouvons une solution non triviale f (x) = c δ(x) o` u c est une constante arbitraire.

De mˆ eme, puisque x ⁿ δ ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) = 0 (cf. d´ efinition de δ ⁽ⁿ⁾ ), nous voyons que, dans l’espace des distributions, la solution de

x ⁿ f (x) = 0 est f (x) = c ₀ δ(x) + · · · + c n−1 δ ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) (85) o` u c ₀ , · · · , c n−1 sont des constantes arbitraires.

Exemple : la solution de (x ² − 1) f (x) = 0 est f (x) = a δ(x − 1) + b δ(x + 1).

4.3 Applications :

4.3.1 Densit´ es

La distribution de Dirac nous permet d’´ ecrire des densit´ es tr` es naturellement.

Exemple : densit´ e de masse.— Consid´ erons des masses m 1 , · · · , m N , concentr´ ees en des points x 1 , · · · , x _N . La densit´ e de masse est

µ(x) =

N

X

n=1

m _n δ(x − x _n ) . (86)

Par exemple, on v´ erifie que R

A dx µ(x) est la somme des masses qui sont dans l’intervalle.

En particulier, cela nous fournit un moyen de passer du discret (les N particules) au continu (la densit´ e de masse d´ efinie comme une “fonction”, ou plutˆ ot une “distribution”).

Exemple 2 : densit´ e de particules et dynamique.— Pour insister sur ce dernier point, consid´ erons N particules d´ ecrites par une ´ equation d’´ evolution ^dx _dt

^(t) = F (x i (t)). Introduisons la densit´ e ρ t (x)

= P N

i=1 δ(x − x i (t)) caract´ erisant la distribution des particules au temps t. Son

´

equation d’´ evolution est

∂ρ _t (x)

∂t = − ∂

∂x [F(x) ρ _t (x)] . (87)

D´ em. : ^∂ρ _∂t

^(x) = − P N

i=1 F (x i (t))δ ⁰ (x−x _i (t)) = − _∂x ^∂ P N

i=1 F (x i (t))δ(x−x _i (t)) = − _∂x ^∂ F (x) P N

i=1 δ(x−

x _i (t)). Qed .

Exercice : Si la dynamique est d´ ecrite par l’´ equation de Newton dans un champ de force F (x), on doit introduire une distribution dans l’espace des phases ρ t (x, p)

= P N

i=1 δ(x − x i (t))δ(p − p i (t)).

D´ eduire l’´ equation d’´ evolution de ρ _t (x, p) (´ equation de Liouville) sachant que les ´ equations du mouvement pour la particule i sont ^dx _dt

^(t) = _m ¹ p i (t) et ^dp _dt

^(t) = F (x i (t)).

Densit´ e d’´ etats en MQ : Consid´ erons un probl` eme quantique dont le spectre des ´ energies est donn´ e par E <sub>n</sub> = ε <sub>0</sub> n <sup>α</sup> o` u n ∈ N est un nombre quantique. La notion de densit´ e d’´ etats est tr` es utile :

ρ(E)

=

∞

X

n=0

δ(E − E _n ) (88)

ou de mani` ere ´ equivalente ρ(E)dE

= nombre d’´ etats quantiques ∈ [E, E + dE]. Si cette fonction est sond´ ee ` a

grande ´ echelle

(sur des ´ echelles d’´ energie ε ₀ ), on peut remplacer la somme par une int´ egrale ⁵ P ∞

n=0 → R ∞ 0 dn :

ρ(E) = Z ∞

0

dn δ(E − ε ₀ n ^α ) (89)

En posant y = ε ₀ n ^α , puis en utilisant la d´ efinition du δ, on obtient ρ(E) = 1

αε ₀ E

ε ₀

−1+1/α

(90)

• Pour α = 1 et ε ₀ = ~ ω, on a la densit´ e d’´ etats de l’oscillateur harmonique ρ(E) = 1/( ~ ω).

• Pour α = 2 et ε 0 = π ² ~ ² /(2mL ² ), on obtient la densit´ e d’´ etats d’une particule dans une boˆıte ρ(E) = √

2m L / 2π ~

√ E

.

4.3.2 Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires avec terme de source – Fonctions de Green Consid´ erons par exemple l’´ equation diff´ erentielle

I ˙ (t) + λ I (t) = 1

L U (t) (91)

d´ ecrivant la dynamique du courant dans un circuit RL soumis ` a une tension U (t), o` u λ = R/L.

La m´ ethode de variation de la constante permet de r´ esoudre l’´ equation. Une autre m´ ethode consiste ` a introduire la fonction de Green de l’´ equation diff´ erentielle, solution de

G(t) + ˙ λ G(t) = δ(t) (92)

puis ´ ecrire la solution comme une convolution I(t) =

Z

dt ⁰ G(t − t ⁰ ) U (t ⁰ )

L . (93)

V´ erification : d

dt + λ Z

dt ⁰ G(t − t ⁰ ) U (t ⁰ )

L =

Z dt ⁰

d dt + λ

G(t − t ⁰ ) U (t ⁰ )

L =

Z

dt ⁰ δ(t − t ⁰ ) U (t ⁰ ) L = 1

L U (t) Qed . Ici la fonction de Green peut ˆ etre trouv´ ee facilement : on montrer que

G(t) = θ _H (t) e ^−λt . (94)

Exercice : Retrouver l’expression de G(t) ` a l’aide de la transformation de Fourier. Que devient cette analyse en pr´ esence d’amplification (λ < 0) plutˆ ot que de dissipation (λ > 0) ? Calculer G(t) en utilisant la TF dans ce cas.

Exercice : Calculer (avec la TF) la fonction de Green du circuit RLC G(t) + ¨ 2

τ G(t) + ˙ ω ₀ ² G(t) = δ(t) (95)

5

En pratique, et pour ˆ etre plus pr´ ecis, cela veut dire que si l’on consid` ere des sommes du type P

n

f(E) = R dE ρ(E) f(E) o` u la fonction f varie lentement ` a l’´ echelle de ε

, on peut remplacer la somme par une int´ egrale.

Cela revient ` a faire une moyenne locale de ρ(E) sur une ´ echelle ε

.

R´ ef´ erences

[1] W. Appel, Math´ ematiques pour la physique et les physiciens, H&K Eds, fifth edition (2017).

[2] C. Aslangul, Des math´ ematiques pour les sciences, de Boeck, Bruxelles (2011).

[3] E. Belorizky, Outils math´ ematiques ` a l’usage des scientifiques et ing´ enieurs, EDP Science (2015).

[4] P. Benoist-Gueutal and M. Courbage, Math´ ematiques pour la physique , Eyrolles (1992), tomes 1, 2 & 3.

[5] V. Dotsenko, A. Courtat and G. Gauthier, M´ ethodes math´ ematiques pour la physique, Dunod (2018).

[6] H. Krivine, Exercices de math´ ematiques pour physiciens, Cassini, Paris (2003).

[7] L. Schwartz, M´ ethodes math´ ematiques pour les sciences physiques, Hermann (1965).

[8] M. R. Spiegel, Variables complexes, McGraw Hill (1964).

[9] C. Texier, M´ ecanique quantique, Dunod, Paris, second edition (2015).