0.1. R´ esum´ e de cours

Chapitre XV

D´erivation

Table des mati`eres

0.1. R´esum´e de cours . . . 1

0.1.1. D´erivation . . . 1

0.1.2. D´eriv´ees d’ordre sup´erieures . . . 1

0.1.3. Extremums . . . 2

0.1.4. Th´eor`emes fondamentaux . . . 2

0.2. Exercices . . . 2

0.3. Maple . . . 4

0.1. R´ esum´ e de cours

Dans tout le r´esum´e de coursId´esigne un intervalle deR 0.1.1. D´erivation:

D´efinition :Soitf ∈ F(I,R), a∈I. On dit quef est d´erivable enasi et seulement si :la limite suivante

x→alim

f(x)−f(a)

x−a est finie on la note parf⁰(a)et on l’appelle d´eriv´ee def au pointa.

D´efinition :Soitf ∈ F(I,R), a∈I. Sifest d´erivable enaalors lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =f⁰(a).

Propri´et´es :Soitf ∈ F(I,R)d´erivables ena∈I, on a les propri´et´es suivantes :

1. f est continue enaet la courbe def admet une tangente enad’´equation∆ : y = f⁰(a)(x− a) +f(a).

2. Sif admet un extremum enaet siaest un point int´erieur deI alorsf⁰(a) = 0.

3. f +gest d´erivable enaavec(f+g)⁰(a) =f⁰(a) +g⁰(a).

4. f gest d´erivable enaavec(f g)⁰(a) =f⁰(a)g(a) +f(a)g⁰(a). En particulier(xⁿ)⁰ =nxⁿ⁻¹. 5. 1

f est d´erivable en a, `a condition que f⁰(a) 6= 0 avec 1

f 0

(a) = −f⁰(a)

f²(a). En particulier 1

x 0

=− 1 x².

6. Sif est d´erivable enaetgest d´erivable enf(a)alorsgof est d´erivable enaavec(gof)⁰(a) = f⁰(a)g⁰(f(a)).En particulier sif est d´erivable on a les r´esultats suivants :

(fⁿ)⁰ =nf⁰fⁿ⁻¹, e^f0

=f⁰e^f, lnf⁰= f⁰ lnf.

7. Si f est bijective et d´erivable en a, alors f⁻¹ est d´erivable en b = f(a) avec f⁻¹0

(b) = 1

f⁰(f⁻¹(b)).

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0.1.2. D´eriv´ees d’ordre sup´erieures:

On dit quef est d´erivable surI si elle est en tout point deI, dans ce cas on peut parler def⁰comme fonction d´efinie surI, si elle est continue surI, on dit quefest de classeC¹surI, l’ensemble de telles fonctions se noteC¹(I), il est stable par la somme, le produit et la multiplication par une constante, on dit que c’est une alg´ebre. De fac¸on r´ecurrente on dira quef est de classeC^ksurIsi et seulement si sa d´eriv´eef⁰ est de classeC^k−1 surI, avec la relationf^(k)= f^(k−1)0

= (f⁰)^(k). L’ensemble de telles fonctions se noteC^k(I), c’est aussi une alg´ebre.

D´eriv´ees k- `eme usuelles :

((x+α)ⁿ)^(k)=A^k_nx^n−k (e^x)^(k)= e^x (cosx)^(k) = cos(x+k^π₂) (sinx)^(k)= sin(x+k^π₂) 1

x+α

(k)

= _(x+α)^(−1)kk+1^k!

1 (x+α)²

(k)

= ⁽⁻¹⁾_(x+α)^k(k+1)!k+2 ln(x+α)^(k) = ⁽⁻¹⁾_(x+α)^{k−1(k−1)!}k

0.1.3. Extremums: D´efinitions :

– On dit que f admet un maximum global au point x₀ sur [a, b] si et seulement si f(x) ≤ f(x0) ∀x∈[a, b].

– dit quefadmet un minimum global au pointx0sur[a, b]si et seulement sif(x)≥f(x0) ∀x∈ [a, b].

– On dit quef admet un extremum global au point x0 sur [a, b]si et seulement sif admet au pointx0un maximum ou minimum global.

– On dit que f admet un maximum local au point x₀ ∈ [a, b] si et seulement si ∃ε >

0tel que :]x0−ε, x0+ε[⊂[a, b]etfadmet un maximum global au pointx0sur]x0−ε, x0+ε[.

– On dit que f admet un minimum local au point x0 ∈ [a, b] si et seulement si ∃ε >

0tel que :]x₀−ε, x₀+ε[⊂[a, b]etfadmet un minimum global au pointx₀sur]x₀−ε, x₀+ε[.

– On dit quef admet un extremum local au point x0 sur [a, b]si et seulement si f admet au pointx0un maximum ou minimum local.

Remarques :

– Sifest d´erivable enx₀et admet un extremum local enx₀, alorsf⁰(x₀) = 0.

– La r´eciproque du r´esultat pr´ec´edent n’est pas toujours vraie,f(x) = x³, on af⁰(0) = 0sans quef admet un extremum local en 0.

– La propri´et´e pr´ecedente n’est pas toujours vraie dans le cas o `u l’extremum est global sur[a, b]

enaou bien enb.Exemple:f(x) =x²admet un maximum global sur[0,1]en 1 maisf⁰(1)6= 0.

0.1.4. Th´eor`emes fondamentaux:

Th´eor`eme 1 : Sif continue sur[a, b], d´erivable sur]a, b[tel que :f(a) =f(b)alors

∃c∈]a, b[tel que :f⁰(c) = 0.(Th´eor`eme de Rolle)

Th´eor`eme 2 : Sif continue sur[a, b], d´erivable sur]a, b[alors∃c∈]a, b[tel que : f(b)−f(a) =f<sup>0</sup>(c)(b−a).(Th´eor`eme des accroissements finis T.A.F)

Cons´equence 1 : Sifcontinue sur[a, b], d´erivable sur]a, b[tel que :m≤f⁰ ≤M alors m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a).(In´egalit´e des accroissements finis I.A.F)

Cons´equence 2 : Si f continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[tel que :|f⁰| ≤ k alors f est k- lipschitzienne sur[a, b].

Cons´equence 3 : Sif continue sur[a, b], d´erivable sur]a, b[tel que :f⁰ = 0alorsf est constante sur [a, b].

Cons´equence 4 : Sif continue sur[a, b], d´erivable sur]a, b[tel que :f⁰ ≥0alorsf est croissante sur [a, b].

Cons´equence 5 : Si f continue sur [a, b], d´erivable sur]a, b[tel que :f⁰ > 0 alorsf est strictement croissante sur[a, b].

0.2. Exercices

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1. Soient I un intervalle ouvert de R et a ∈ I .f : I → R une application d´erivable en a.

D´eterminer lim

h→0

f(a+h²)−f(a+h)

h .

2. SoitIun intervalle deRetf ∈ Cⁿ(I).Montrer que :∀x∈Rtel que : ¹_x ∈Ion a :

xⁿ⁻¹f 1

x (n)

= (−1)ⁿ xⁿ⁺¹ f⁽ⁿ⁾

1 x

Application :calculer la d´eriv´een^emedes fonctionsgethd´efinies par : g(x) =xⁿ⁻¹ln(1 +x), h(x) =xⁿ⁻¹e

1 x

3. On posef(x) =x²(2 + sin(_x¹2))six > 0etf(0) = 0montrer quef admet un minimum strict en 0 maisf n’est croissante sur aucun intervalle de la forme[0, a].

4. On pose f(x) = ^x

1+xsin(¹_x) si 0 < x ≤ 1 et f(0) = 0 montrer que f est d´erivable sur [0,1]

strictement croissante mais que l’´equationf⁰(x) = 0admet une infinit´e de solutions.

5. Soit f : [a, b] → R de classe C¹ telle que f⁰(x) 6= 0 ∀x ∈ [a, b]. Montrer que strictement monotone.

6. soitf : [a, b]→Rd´erivable telle quef(0) = 0on poseS_n(f) =

2n

P

k=n

f(¹_k)

(a) montrer que la suitexn=

2n

P

k=n 1

k est convergente soitLsa limite , on ne cherchera pas a la calculer .

(b) montrer queS_n(f)converge vers un r´eelSqu’on exprimera en fonction deL, f⁰(0). (indication :on pourra utiliser la d´efinition defd´erivable en 0).

(c) en prenantf(x) = ln(1 +x)expliciterSpuis en d´eduireL. 7. Soitn∈N^∗. Calculer la d´eriv´en^´emede la fonctionfn(x) =xⁿln(x).

8. TAF `a l’infini: Soitf une application d´erivable deRdansRqui admet la mˆeme limite en−∞

et en+∞, montrer quef⁰admet au moins un z´ero.

9. Th´eor`eme des accroissement finis g´en´eralises: Soient f, g : [a, b] −→ Rcontinues d´erivables sur ]a, b[tel que|f<sup>0</sup>(x)| ≤ |g<sup>0</sup>(x)| ∀x∈]a, b[montrer alors que|f(b)−f(a)| ≤ |g(b)−g(a)|. 10. Probl`eme d’emballage : Une usine fabrique des boites parallelipediques sans couvercle de la

fac¸on suivante : on prend une feuille rectangulaire de carton de c ˆot´esaetbpuis on d´ecoupe de chaque coin un carre de c ˆot´expuis on rabat les morc¸eau ainsi obtenus , quelle est la valeur dexqui r´ealise un volume maximal.

11. Algorithme Babylon´een:

(a) Soita >0,´etudier les variations sur]0,+∞]de la fonction d´efinie parf(x) = ^x+

a x

2 . (b) Justifier que la suite d´efinie parx₀=a, x_n+1 =f(x_n)pour toutn∈Nest bien d´efinie.

(c) Montrer que pour toutn∈Non a :x_n+1−√

a= (^xn−√a)²

2xn . (d) Montrer que pour toutn∈Non a :xn+2−xn+1= ^a−x

2 n+1

2xn+1 . (e) En d´eduire quex_n→√

a.

(f) Montrer que pour toutn∈Non a :0≤x_n+1−√

a≤ ^(xn−

√a)² 2√

a .

(g) En d´eduire une majoration dexn−√

aen fonction den, a.

(h) En d´eduire une valeur approch´ee de√

e`a10<sup>−3</sup> pr`es ( on admet que2< e <2.8).

12. (a) Montrer que :x−^x₂² <ln(1 +x)< xpour toutx >−1.

(b) En d´eduire la limite de lim

n→+∞ 1 +^x_nn

(o `ux >−1).

(c) Donner un exemple d’une suite(xn)telle que :xn→1maisxⁿ_n91.

(d) calculer lim

n→+∞

n

Q

k=1

1 +_n^k2

.

13. (a) Soitn∈ N^∗, (a, b) ∈R² tel quea < betgde classeCⁿsur[a, b]qui s’annule au moins n+ 1fois, montrer alors queg⁽ⁿ⁾s’annule au moins une fois.

Indication :Penser au th´eor´eme deRolle.

(b) Soitn∈N^∗ a₁ < a₂ < .... < a_nnombres re´els deux `a deux distincts etf de classeCⁿsur [a1, an]qui s’annule sur tous lesa_k, montrer que∀x∈[a1, an]tel que :x6=a_k, ∀1≤k≤ n, on a : ∃c_x∈]a₁, a_n[tel quef(x) = ^f(n)_n!^(cx)

n

Q

k=1

(x−a_k).

Indicationon pourra fixerxet utiliser (a) pour la fonctiong(t) =f(t)−A

n

Q

k=1

(t−a_k)avec Anombre r´eel choisi tel que :g(x) = 0.

14. Calculer les deriv´e de :ln(ln(ln(ln(x))) , x^xxx. 15. Calculer les deriv´en^emede(1−x²) cos(x) ,^e_x^x.

16. Soitn∈N^∗etf₁, f₂, . . . , f_ndes fonctions d´erivables. Calculer(f₁f₂)⁰,(f₁f₂f₃)⁰, en d´eduire une formule g´en´erale pour

n

Q

i=1

f_iqu’on d´emontrera apr´es.

17. Montrer que la d´eriv´ee d’une fonction paire est impaire, celle d’une fonction impaire est paire.

En d´eduire qu’en un centre de sym´etrie de la courbe la d´eriv´ee seconde est nulle.

(a) Donner un ´equivalent de ln(cosx) au voisinage de z´ero.

(b) Soit la fonctionf d´efinie sur]π2[par f(x) = (cosx)^1x. Montrer quef est prolongeable par continuit´e en 0, et que son prolongement (toujours not´ef) est d´erivable en ce point.

(c) Pr´eciserf⁰(0).

18. Soit f R −→ C t 7−→ e^it

.

(a) Montrer quef est de classeC¹. Calculer sa fonction d´eriv´ee.

(b) Montrer quef ne v´erifie pas leTAF.(Raisoner par l’absurde).

0.3. Maple

> f:=x->sin(x**2+2*x-1);

f :=x→sin(x²+ 2x−1) Calculer son image en un point :

> f(1);

sin(2) Calculer sa limite en un point :

> limit(f(x),x=0);

−sin(1) Dessiner sa courbe sur un intervalle :

> plot(f(x),x=-10..10);

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La d´eriver :

> diff(f(x),x);

cos(x²+ 2x−1) (2x+ 2) Sa fonction d´eriv´ee :

> g:=D(f);

g:=x→cos(x²+ 2x−1) (2x+ 2) La d´eriver n fois ( 3 fois par exemple) :

> diff(f(x),x$3);

−cos(x²+ 2x−1) (2x+ 2)³−6 sin(x²+ 2x−1) (2x+ 2)

FIN.