R´ esum´ e de cours : Entiers naturels
Sup-MPSI, Rabat
MPSI-Maths.
Mr Mamouni: [email protected]
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chttp://www.chez.com/myismail
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Th´eor`eme 1 : Toute partie deN non vide admet un plus petit ´el´ement.
Th´eor`eme 2 : Si A partie de N v´erifiant :
0∈A
∀n∈N;n ∈A=⇒n+ 1∈A alors A=N.
I. Raisonnements par r´ecurrence : Dans cette partie P(n) est une pro- pri´et´e qui d´epend den.Exemple : P(n) = (n est pair).
I.1 R´ecurrence faible :Pour montrer qu’une propri´et´eP(n) est vraie∀n ∈N on peut v´erifier que P(0) est vraie, puis supposer P(n) vraie pour n ∈ N et montrer que P(n+ 1) est vraie.
Pour raisons de r´edactions, il est parfois utile de supposer v´erifier P(n −1) vraie pour n ∈N∗ et montrer que P(n) est vraie.
I.2 R´ecurrence forte :ouavec pr´edecesseurs. Pour montrer qu’une propri´et´e P(n) est vraie ∀n∈N on peut v´erifier que P(0), . . . ,P(k) est vraie, puis sup- poser P(n), . . . ,P(n+k) vraie pour n ∈ N et montrer que P(n +k+ 1) est vraie.
La r´ecurrence forte la plus utilis´ee est celle avec 2 pr´edecesseurs, c’est `a dire k = 2.
I.3 R´ecurrence descendante :Pour montrer qu’une propri´et´eP(n) est vraie
∀ 0 ≤ n ≤ m on peut v´erifier que P(m) est vraie, puis supposer P(n) vraie pour 1 ≤n≤m et montrer que P(n−1) est vraie.
I.4 R´ecurrence double : Pour montrer qu’une propri´et´e P(n, m) est vraie
∀ (n, m) ∈ N2 on peut fixer m, par exemple, et montrer par r´ecurrence sur n que P(n, m) est vraie.
II. Manipulation des sommes et produits.
II.1 Manipulation des sommes simples.
m
X
k=n
xk =xn+· · ·+xm. X
i
xi =X
j
xj (l’indice est muet).
m
X
k=n
λxk =λ
m
X
k=n
xk (on peut faire sortir de la somme tout ce qui ne d´epond pas de l’indice)
m
X
k=n
λ= (m−n+ 1)λ.
X
i
(xi+yi) = X
i
xi+X
i
yi. (X
est additive).
Changement d’indices :
m
X
k=n
xk+1 =
m+1
X
k=n+1
xk (On ajoute aux bornes ce qu’on retranche `a l’indice) MPSI-Maths
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m
X
k=n
xk−1 =
m−1
X
k=n−1
xk (On retranche aux bornes ce qu’on ajoute `a l’indice)
Sommes particlui`eres : Somme g´eom`etrique :
m
X
k=n
ak = am1−am−n+1
1−a sia 6= 1
= (m−n+ 1)a sia = 1 En particulier :
n
X
k=0
ak = 1−an+1
1−a si a6= 1
= (n+ 1)a si a= 1 Somme arithm´etique :
m
X
k=n
k = (m−n+ 1)(m+n) 2
II.2 Manipulation des sommes doubles.
Cas d’indices ind´ependants : X
1≤i≤n,1≤j≤m
xi,j =
n
X
i=1 m
X
j=1
xi,j
! .
Cas d’indices d´ependants : X
1≤i≤j≤n
xi,j =
n
X
j=1 j
X
i=1
xi,j
!
=
n
X
i=1 n
X
j=i
xi,j
!
R`egle `a suivre : Pour l’indice de la somme interne on prend les bornes les plus proche, pour celui de la somme externe on prend les bornes extremales.
n
X
i=1
xi
! n X
j=1
yj
!
= X
1≤i≤n,1≤j≤m
xiyj. II.2 Manipulation des produits.
m
Y
i=n
(xiyi) =
m
Y
i=n
xi m
Y
i=n
yi.
m
Y
i=n
λxi =λm−n+1
m
Y
i=n
xi.
m
Y
i=n
(xi+yi)6=
m
Y
i=n
xi+
m
Y
i=n
yi, en g´en´eral Y
i
X
j
6=X
j
Y
i
.
Fin.
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