M11 - R´ esum´ e de cours et exercices d’analyses Premier cycle universitaire

M11 - R´ esum´ e de cours et exercices d’analyses Premier cycle universitaire

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TABLES DES MATI` ERES

I. Logique.

II. Ensemble.

III. Relation, fonction, application.

IV. Composition, r´ eciprocit´ e.

V. Relation d’´ equivalence.

VI. Relations d’ordre.

VII. Fonctions polynomiales.

VIII. Suites num´ eriques et limites.

IX. Fonctions continues et limites.

X. Fonctions d´ erivables et d´ eveloppements limit´ es.

XI. Calcul de primitives et int´ egrale de Riemann.

———————————————————————————– R´edig´e par J-J. Alibert.

Certains exercices de ce manuel m’ont ´et´e communiqu´es par J. Gilewicz et A. Novotny.

I. Logique.

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Assertion. Une assertion est un ´enonc´e dont on peut affirmer sans ambigu¨ıt´e s’il est vrai ou s’il est faux.

Par exemple, ”1<2” est une assertion vraie et ”4<3” est une assertion fausse.

Proposition. Une proposition est un ´enonc´e contenant des variables, qui est vrai pour certaines valeurs attribu´ees ` a ces variables, faux pour toutes les autres.

Par exemple, ”x<2” est une proposition, elle est vraie pour les nombres strictement inf´ erieurs ` a 2, fausse pour tous les autres.

N´ egation. La n´egation d’une proposition ”P ”, not´ee ”non P ” est vrai lorsque P est fausse, fausse lorsque P est vrai.

Par exemple, la proposition ”x<2” est la n´ egation de la proposition ”x ≥ 2”.

Conjonction. La conjonction de deux propositions P , Q, not´ee

”P et Q”, est vraie, si les deux propositions sont vraies, fausse dans tous les autres cas.

Par exemple, la conjonction des propositions ”x ≤ 2” et ”x ≥ 2” est ”x=2”.

Incompatibilit´ e. Deux propositions P ,Q sont incompatibles si la conjonction ”P et Q” est toujours fausse.

Par exemple, les propositions ”x ≤ 2” et ”x ≥ 5” sont incompatibles.

Disjonction. La disjonction de deux propositions P , Q, not´ee

”P ou Q”, est vrai, si au moins une des deux propositions est vrai, fausse dans tous les autres cas (le ”ou” est inclusif).

Par exemple, la disjonction ”x>2 ou x<2” est ”x 6 =2”.

Implication. L’implication de deux propositions P , Q, not´ee

”P = ⇒ Q”, est la proposition ”(non P ) ou Q ”.

L’implication ”P = ⇒ Q” se lit ”P implique Q” ou ”P entraine Q” ou ”P est une condition suffisante de Q” ou ”Q est une condition n´ ecessaire de P ”. Le fait que ”P = ⇒ Q” soit vraie signifie que ; pour que Q soit vraie il suffit que P soit vraie, ou encore, pour que P soit fausse il suffit que Q soit fausse.

Th´ eor` eme. P et Q ´etant deux assertions; si ”P = ⇒ Q” est vrai on dit que c’est un th´eor`eme (c’est-` a-dire une assertion d´emontr´ee dont P est l’hypoth`ese et Q la conclusion).

Equivalence. L’´equivalence de deux propositions P , Q, not´ee

”P ⇐⇒ Q”, est la proposition ”(P = ⇒ Q) et (Q = ⇒ P ) ”.

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II. Ensemble.

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Des ˆetres, aussi bien physique (´el`eve, chat, chaise ...), qu’objets de notre pens´ee (nombre, fonction ...), seront repr´esent´es par des lettres a, b, E, µ ... et consid´er´es comme bien d´efinis si nous disposons d’un crit`ere permettant d’affirmer que deux de ces objets (repr´esent´es par a et b) sont, ou bien identiques, ou bien distincts :

a = b ou bien a 6 = b.

Ensemble, ´ el´ ement. Un ensemble E est constitu´e d’´el´ements.

Il est bien d´efini si l’on poss`ede un crit`ere permettant d’affirmer pour tout objet a, s’il appartient ` a l’ensemble E ou non :

a ∈ E ou bien a / ∈ E.

On dit aussi ”a est ´ el´ ement de E” ou bien ”a n’est pas ´ el´ ement de E ” ou encore

”E contient a” ou bien ”E ne contient pas a”. Si un ensemble E est constitu´ e des ´ el´ ements a,b,c, on ´ ecrira : E = { a,b,c } . L’ordre dans lequel les ´ elements sont

´ ecrits n’importe pas, ainsi : {a,b,c}={c,a,b}. Un mˆ eme ˆ etre math´ ematique ne peut ˆ etre ` a la fois un ensemble et un ´ el´ ement de cet ensemble, c’est ` a dire il est interdit d’´ ecrire a∈a.

Inclusion. Un ensemble F est inclus dans un ensemble E si tout ´el´ement de F appartient ` a E, ce que l’on note : F ⊂ E.

On dit aussi F est une partie de E ou encore F est un sous-ensemble de E .

Egalit´ e. Un ensemble F est ´egal ` a un ensemble E si F ⊂ E et E ⊂ F , ce que l’on note : F = E .

Utilisation des quantificateurs. Les quantificateurs ∃ et ∀ concernent les ´el´ements d’un ensemble d´etermin´e E.

”Il existe x ´el´ement de E” s’´ecrit ” ∃ x ∈ E .”

”quel que soit un ´el´ement x de E” s’´ecrit ” ∀ x ∈ E ” .

Soit A une partie de E. L’´ enonc´ e ”A est la partie vide ” (on note A=∅) et sa n´ egation ”A est non vide” (on note A 6 = ∅ ) correspondent respectivement ` a

” quel que soit x ´ el´ ement de E, x n’est pas un ´ el´ ement de A” et ”il existe au moins un ´ el´ ement de E qui est ´ el´ ement de A” et s’´ ecrivent respectivement :

∀ x ∈ E x / ∈ A et ∃ x ∈ E x ∈ A.

L’´ enonc´ e ”A est la partie pleine” (on note A=E) et sa n´ egation ”A n’est pas la partie pleine” (on note A 6 =E) s’´ ecrivent respectivement :

∀x∈E x∈A et ∃x∈E x / ∈A.

Les propositions ”x ∈ A” et ”x / ∈ A” sont souvent remplac´ ees respectivement par

”x v´ erifie la propri´ et´ e p” et ”x ne v´ erifie pas la propri´ et´ e p” o` u p est une propri´ et´ e

caract´ eristique des ´ el´ ements de A, c’est ` a dire un crit` ere permettant de d´ ecider

pour tout ´ el´ ement x de E entre les deux propositions x∈A, x / ∈A.

Op´ erations bool´ eennes. Soit E un ensemble. On note P (E ) l’ensemble des parties de E. Soient A et B deux ´el´ements de P (E ). Les quatre ´el´ements A ∪ B, A ∩ B, A \ B, A 4 B de P (E ) sont d´efinies de la fa¸con suivante: pour tout x ∈ E,

x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B, x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B, x ∈ A \ B ⇐⇒ x ∈ A et x / ∈ B,

x ∈ A 4 B ⇐⇒ x ∈ A \ B ou x ∈ B \ A.

R´ eunion et intersection d’une famille de parties de E.

Soit E, I deux ensembles et { A i } i ∈ I une partie de P (E). Les deux ´el´ements S

i ∈ I A _i et T

i ∈ I A _i de P (E) sont d´efinies de la fa¸con suivante : pour tout x ∈ E,

x ∈ S

i∈I A _i ⇐⇒ ∃ i ∈ I x ∈ A _i , x ∈ T

i ∈ I A _i ⇐⇒ ∀ i ∈ I x ∈ A _i .

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Exercice 1. Pour chaque ´enonc´e, ´ecrire la n´egation, puis dire si l’´enonc´e original est vrai ou faux (en justifiant la r´eponse ` a l’aide d’une d´emonstration).

(1) ∀ x ∈ IR x > 1,

(2) ∀ n ∈ IN n ² + n + 1 ≤ n ³ , (3) ∀ x ∈ IR ∃ n ∈ IN n ≥ x,

(4) ∃ n ∈ IN ∀ p ∈ IN n > p = ⇒ n + p > 2p,

(5) ∀ n ∈ IN ^∗ ∃ p ∈ IN ^∗ ∀ x ∈ IR | x − 3 | < ¹ _p = ⇒ | x ² − 9 | < _n ¹ , (6) ∀ n ∈ IN ^∗ ∃ p ∈ IN ^∗ ∀ (x, y) ∈ IR ² | y − x | < ¹ _p = ⇒ | y ² − x ² | < _n ¹ , (7) ∃ x ∈ IR ∀ (n, p) ∈ IN ^∗ × IN ^∗ n > p ⇐⇒ ¹ _p > _n ¹ ,

(8) ∀ (x, y) ∈ IR ² (x, y) 6 = (0, 0) ⇐⇒ x ² + xy + y ² > 0,

(9) ∀ (x, s, p) ∈ IR ³ ∃ y ∈ IR x ² − sx + p = 0 ⇐⇒ x + y = s et xy = p , (10) ∃ a ∈ IR ∀ b ∈ IR b 6 = 1 = ⇒ a ∈ { a } ,

(11) ∃ n ∈ IN ∀ p ∈ IN ∃ q ∈ IN p = nq

= ⇒ ∃ q ⁰ ∈ IN p = 6q ⁰ , (12) ∃ n ∈ IN ∀ x ∈ IR x > 0 et x ³ > x ²

= ⇒ x > n, (13) ∀ (x, y) ∈ IR ² x ² + x ² y + x + y = 0 ⇐⇒ x = − y, (14) ∃ x ∈ IR ∃ n ∈ IN ∀ y ∈ IR n = 3,

(15) 1 > 2 = ⇒ 23 = 5.

Exercice 2. Expliciter les sous-ensembles suivants de la droite r´eelle.

[

x ∈ [0,1]

]x/2, 2x[ et \

x ∈ [0,1]

]x/2, 2x[

Exercice 3. Soit E, I, J trois ensembles et { A _i } i∈I et { B _j } j∈J deux parties de P (E ). Montrer que

[

i ∈ I

A i

∩

[

j ∈ J

B j

= [

(i,j) ∈ I × J

A i ∩ B j

Exercice 4. Soit E, I et J trois ensembles non vides. Soit { A i,j } (i,j) ∈ I × J

une partie de P (E). Montrer que [

i ∈ I

\

j ∈ J

A i,j

⊂ \

j ∈ J

[

i ∈ I

A i,j

,

puis comparer (en terme d’inclusion) [

p∈IN

^∗

\

q∈IN

^∗

0, p

q

et \

q∈IN

^∗

[

p∈IN

^∗

0, p

q

Exercice 5. Soit E un ensemble. Pour toute partie A de E , on note C

E

A :=

E \ A (le compl´ementaire de A dans E ). Soit F et G deux parties de E . Montrer que

1) C

_E

C

_E

F

= F et F ⊂ G ⇐⇒ C

_E

F ⊃ C

_E

G 2) C

_E

(F ∪ G) = C

_E

F

∩ C

_E

G

et C

_E

(F ∩ G) = C

_E

F

∪ C

_E

G Soit I un ensemble et { A } i ∈ I une partie de P (E). Montrer que

3) C

_E

[

i∈I

A _i

= \

i∈I

C

_E

A _i et C

_E

\

i∈I

A _i

= [

i∈I

C

_E

A _i .

Exercice 6. Soit E un ensemble et { A _n } n∈IN

^∗

une partie de P (E). Montrer que

[

n ∈ IN

^∗

A _n

\

\

n ∈ IN

^∗

A _n

= [

n ∈ IN

^∗

A _n 4 A _n+1

Exercice 7. Soit E un ensemble et { A _n } n∈IN une famille de parties de E.

On d´efinit une famille { B _n } n ∈ IN de parties de E en posant:

B ₀ = A ₀ et B _n+1 = A _n+1 \ n

[

k=0

A _k

si n ∈ IN.

Montrer que pour tout (p, q) ∈ IN ² , p 6 = q = ⇒ B p ∩ B q = ∅

et S n=p n=0 B n = S n=p

n=0 A _n .

Exercice 8. Soit E, I, J trois ensembles. On appelle recouvrement de E toute famille de parties de E dont la r´eunion est ´egale ` a E. Soit { A _i } i ∈ I et { B j } j ∈ J deux recouvrements de E. On dit { A i } i ∈ I est plus fin que { B j } j ∈ J

si et seulement si

∀ i ∈ I ∃ j ∈ J A _i ⊂ B _j .

Montrer que si { A i } i ∈ I et { B j } j ∈ J sont deux recouvrements de E alors il existe un recouvrement de E plus fin que chacun des recouvrements { A _i } i ∈ I

et { B j } j ∈ J .

Exercice 9. Soit E un ensemble non vide. Soit A et B deux parties de E . On s’int´eresse au probl`eme suivant:

( P ) trouver une partie X de E v´erifiant A ∪ X = B.

1) Montrer que ce probl`eme admet une solution si et seulement si A ⊂ B.

2) On suppose que A ⊂ B. Montrer qu’une partie X de E est solution du probl`eme ( P ) si et seulement si, il existe une partie C de E telle que C ⊂ A et X = C ∪ B \ A

.

Exercice 10. Soit E un ensemble.

1) Soit A, B, C trois parties de E. Montrer que (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C).

2) Soit { A _n } n ∈ IN une famille de parties de E. On d´efinit une famille { B _n } n ∈ IN

de parties de E en posant:

B 0 = A 0 et B n+1 = B n 4 A n+1 pour n ∈ IN.

Soit n ∈ IN et x ∈ E. Montrer que x ∈ B _n si et seulement si le nombre

d’entiers p ∈ IN v´erifiant p ≤ n et x ∈ A _p est un nombre impair.

III. Relation, fonction, application.

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Soit E et F deux ensembles.

Produit cart´ esien. E × F est l’ensemble des couples (x, y) o` u x est un ´el´ement de E et y un ´el´ement de F . L’´egalit´e dans E × F est d´efinie par : (x, y) = (x <sup>0</sup> , y <sup>0</sup> ) ⇐⇒ x = x <sup>0</sup> et y = y <sup>0</sup> . Relation binaire. Une relation binaire (ou correspondance) de E dans (ou vers) F est un triplet R = (E, F ; G) o` u G une partie de E × F . L’ensemble E est appel´e ensemble de d´ epart, l’ensemble F est appel´e ensemble d’arriv´ ee, L’ensemble G est appel´e graphe de R .

NOTATION. Pour tout (x,y) ∈ E × F , on ´ ecrit ”x R y” et on dit ”x est en relation avec y”, ssi ”(x,y) ∈ G”.

Fonction. Une fonction f de E dans F est une relation de E dans F v´erifiant : pour tout x ∈ E , il existe au plus un ´el´ement y ∈ F satisfaisant xf y. Le domaine de d´ efinition D f de f est l’ensemble des x ∈ E satisfaisant : il existe un et un seul y ∈ F tel que xf y.

NOTATION. Pour tout x ∈ D

f

, on note f(x) le seul point y ∈ F satisfaisant xf y. Donc pour tout (x,y) ∈ D

f

× F , xf y ⇐⇒ y=f(x). Si x ∈ D

f

alors f(x) est appel´ e ”l’image de x. Si y ∈ F alors tout point x ∈ D

f

satisfaisant y=f(x)”

est appel´ e ”un ant´ ec´ edent de x”.

Image directe. Soit f une fonction de E dans F et A une partie de E . L’image directe de A par f est la partie de F d´efinie par f (A) := { y ∈ F : ∃ x ∈ A ∩ D f y = f (x) } . Image r´ eciproque. Soit f une fonction de E dans F et B une partie de F . L’image r´eciproque de B par f est la partie de E d´efinie par f ^{− 1} (B) := { x ∈ D _f : f(x) ∈ B } .

Application. Une application f de E dans F est une fonction de E dans F dont le domaine de d´efinition est ´egal ` a E.

Injection. Une injection f de E dans F est une application de E dans F v´erifiant : ∀ (x, x ⁰ ) ∈ E × E f (x) = f (x ⁰ ) = ⇒ x = x ⁰ . Surjection. Une surjection f de E dans F est une application de E dans F v´erifiant : ∀ y ∈ F ∃ x ∈ E y = f (x).

Bijection. Une bijection f de E dans F est une application de E dans F qui est injective et surjective.

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Exercice 1.

Soit R une relation de E dans F telle que :

∀ (x, y) ∈ E × F x R y ⇐⇒ (1 + x ² )y = 1.

1) Montrer qur si E = C I et F = C I alors R est une fonction (on d´eterminera son domaine de d´efinition) mais n’est pas une application.

2) Montrer qur si E = IR et F = IR alors R est une application qui n’est ni injective, ni surjective.

3) Montrer qur si E = [0, ∞ [ et F = IR alors R est une application qui est injective mais non surjective.

4) Montrer qur si E = IR et F =]0, 1] alors R est une application qui est surjective mais non injective.

5) Montrer qur si E = [0, ∞ [ et F =]0, 1] alors R est une application qui est injective et surjective (c’est ` a dire bijective).

Exercice 2 (graphe).

1) On note E := { 1, 2, 3 } et F := { 1, 2, 3, 4 } . Tracer le graphe des six relations binaires de E dans F d´efinies ci-dessous.

(1) ∀ (x, y) ∈ E × F x R 1 y ⇐⇒ x − y + 3 ≥ 0, (2) ∀ (x, y) ∈ E × F x R 2 y ⇐⇒ x + 1 ≥ y, (3) ∀ (x, y) ∈ E × F x R 3 y ⇐⇒ x ≥ y,

(4) ∀ (x, y) ∈ E × F x R 4 y ⇐⇒ x − y + 2 = 0, (5) ∀ (x, y) ∈ E × F x R 5 y ⇐⇒ y est pair, (6) ∀ (x, y) ∈ E × F x R 6 y ⇐⇒ x = y.

2) Parmis les six relations ci-dessus, d´eterminer celles qui sont des fonctions, puis le domaine de d´efinition de chacune de ces fonctions. L’une de ces fonction est-elle une application?

Exercice 3.

Soit R 1 et R 2 deux relations de E dans F telles que :

x R 1 y ⇐⇒ x ² = y et x R 2 y ⇐⇒ x = y ² .

1) Montrer que si E = IN et F = IN alors R 1 et R 2 sont des fonctions dont on d´eterminera les domaines de d´efinition.

2) Montrer que si E = IR et F = IR alors R 1 est une application et R 2 n’est pas une fonction.

3) Montrer que si E = IR et F = [0, ∞ [ alors R 2 est une fonction dont on d´eterminera le domaine de d´efinition.

4) Montrer que si E = IR et F est l’ensemble des nombres complexes de

parties r´eelle et imaginaire positives, alors R 2 est une application.

Exercice 4 (relation,fonction).

1) Factoriser les trois fonctions polynˆ omiales a(x) := 4x ² + 4x + 1 puis b(x) := 2x ² + 5x + 2 et enfin c(x) := x ² + 4x + 4.

Soit la relation de IR vers IR d´efinie par: x R y ssi a(x)y ² + 2b(x)y + c(x) = 0.

2) Montrer que R n’est pas une application de IR vers IR.

3) Montrer que R est une fonction de IR vers IR et d´eterminer son domaine de d´efinition D.

4) Soit (x, y) ∈ D × IR tel que x R y. Expliciter y en fonction de x.

Exercice 5.

D´eterminer le nombre de fonctions (applications, injections, surjections, bi- jections) de E dans F dans chacun des cas suivants.

(1) E = { 1 } et F = { 1 } ,

(2) E = { 1, 2 } et F = { 1, 2, 3 } , (3) E = { 1, 2, 3 } et F = { 1, 2 } . (4) E = { 1, 2, 3 } et F = { 1, 2, 3 } .

Montrer que pour tout n ∈ IN ^∗ le nombre de bijection de { 1, ..., n } dans { 1, ..., n } est ´egal ` a n! (i.e. n! est la factorielle de n).

Exercice 6.

Soit E et F deux parties de IR et R la relation binaire de E dans F d´efinie par : x R y ⇐⇒ x ² + y ² = 1.

1) Montrer que si E = IR et F = IR alors R n’est pas une fonction.

2) Montrer que si E = IR et F = [ 0, + ∞ [ alors R est une fonction dont on d´eterminera le domaine de d´efinition D. Pour tout (x, y) ∈ D × F tel que x R y, expliciter y en fonction de x.

3) Montrer que si E = [ − 1, +1 ] et F = [ 0, + ∞ [ alors R est une application qui n’est ni injective ni surjective.

4) D´efinir E et F de telle sorte que R soit une injection mais pas une surjec- tion, puis une surjection mais pas une injection, et enfin une bijection.

Exercice 7 (injections et surjections de E dans P (E )).

Soit E un ensemble non vide. On note P (E) l’ensemble des parties de E.

1) Montrer qu’il existe une application injective de E dans P (E ).

2) Montrer qu’il n’existe pas d’application surjective de E dans P (E ).

Indication: on montrera que si f est une application de E dans P (E) alors il ne peut exister

d’´ el´ ement a de A v´ erifiant a ∈ f(a) o` u A:= { x ∈ E : x / ∈ f(x) } .

Exercice 8 (image r´ eciproque et image directe).

Soit f l’application de IR dans IR d´efinie par : f (x) = 1 + x ² . D´eterminer l’image directe et r´eciproque par f des ensembles suivants :

[ 0, 1 ] ] − 1, 4 [ [ 0, + ∞ [ ] − ∞ , 5].

Exercice 9 (image r´ eciproque et image directe).

Soit f l’application de IR dans IR d´efinie par : f (x) = x ² . Soient A := [ − 2, 1] et B := [ − 1, 4].

1) Calculer f ^{− 1} f (A)

et f f ^{− 1} (A)

puis comparer ces deux ensembles et A.

2) Comparer f (A ∩ B) et f (A) ∩ f(B).

2) Comparer f (A ∪ B) et f (A) ∪ f(B).

Exercice 10 (image r´ eciproque et image directe).

Soit E , F deux ensembles non vides et f une application de E dans F . 1) Soit { B _j } j ∈ J une famille de parties de F . Montrer que

f ^{− 1}

[

j ∈ J

B _j

= [

j ∈ J

f ^{− 1} B _j

et f ^{− 1}

\

j ∈ J

B _j

= \

j ∈ J

f ^{− 1} B _j

2) Soit { A _i } i ∈ I une famille de parties de E . Montrer que f

[

i ∈ I

A _i

= [

i ∈ I

f A _i

et f

\

i ∈ I

A _i

⊂ \

i ∈ I

f A _i

3) Soit { A i } i ∈ I une famille de parties de E. Montrer que si f est injective alors l’inclusion du 2)b) est une ´egalit´e mais que si f n’est pas suppos´ee injective alors cette inclusion peut ˆetre stricte.

Exercice 11 (image directe et r´ eciproque, injection, surjection).

Soit E et F deux ensembles non vides. Soit f une application de E dans F . 1) Montrer que: ∀ A ∈ P (E), f ^{− 1} f (A)

⊃ A.

2) Montrer que: ∀ B ∈ P (F ), f f ^{− 1} (B)

⊂ B.

3) Montrer que f est injective ssi ∀ A ∈ P (E), f ^{− 1} f (A)

= A.

4) Montrer que f est surjective ssi ∀ B ∈ P (F ), f f ^{− 1} (B)

= B.

Exercice 12.

Soit f l’application de IR dans IR d´efinie par : f (x) = 1 + x + x ² . 1) f est-elle injective? f est-elle surjective?

Soit g l’application de IR \ {− 2 } dans IR d´efinie par : g(x) = ^2x _x+2 ^{− 1} .

2) g est-elle injective? g est-elle surjective?

IV. Composition, r´ eciprocit´ e.

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Soit E ,F ,G, H quatre ensembles.

Composition. Si f est une application de E dans F et g une application de F dans G alors g ◦ f est l’application de E dans G d´efinie par : ∀ x ∈ E g ◦ f(x) = g f (x)

.

Th´ eor` eme (associativit´ e). Si f est une application de E dans F , g une application de F dans G et h une application de G dans H alors h ◦ g ◦ f

= h ◦ g) ◦ f .

Application r´ eciproque. Soit f une application de E dans F . On dit que f admet une r´eciproque (ou inverse) ssi il existe une application g de F dans E telle que :

∀ (x, y) ∈ E × F y = f (x) ⇐⇒ g(y) = x.

Si une telle application g existe, elle est unique et not´ee f ^{− 1} . Th´ eor` eme (r´ eciprocit´ e). Soit f une application de E dans F . Alors f admet une r´eciproque ssi f est bijective.

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Exercice 1 (composition, r´ eciprocit´ e).

Soient f ,g les deux applications de IR dans IR d´efinies par : f (x) = 2x + 1 et g(x) = 7x ² − 2.

Montrer que f admet une application r´eciproque (que l’on calculera), puis que g n’en admet pas. Calculer g ◦ f et f ◦ g.

Exercice 2 (composition, r´ eciprocit´ e).

Soient les applications f de IR ² dans IR et g de IR dans IR ² d´efinies par : f (x, y) = 2x + 3y + 1 et g(t) = (t, 2t − 1).

Calculer g ◦ f et f ◦ g. Montrer que f ◦ g admet une application r´eciproque (que l’on calculera), puis que g ◦ f n’en admet pas.

Exercice 3 (composition, associativit´ e).

Soient les applications f de IR ³ dans IR ² , g de IR ² dans IR et h de IR dans IR ² , d´efinies par :

f (x, y, z) = (2x, y + z) et g(u, v) = v − u et h(t) = (3t + 1, 2t) Calculer h ◦ g puis h ◦ g ◦ f

. Exercice 4 (r´ eciprocit´ e).

Soit l’application f de IR ² dans IR ² d´efinie par : f(x, y) = (2x + y, x − 2y)

D´emontrer que f admet une application r´eciproque (que l’on calculera).

Exercice 5 (r´ eciprocit´ e).

Soit l’application f de ] 1, + ∞ [ dans ] 0, + ∞ [ d´efinie par : f (x) = 1

√ x ³ − 1 .

D´emontrer que f admet une application r´eciproque (que l’on calculera).

Exercice 6 (r´ eciproque du sinus hyperbolique).

Soit l’application f de IR dans IR d´efinie par : f (x) = e ^x − e ^{− x}

2 .

D´emontrer que f admet une application r´eciproque (que l’on calculera).

Exercice 7 (r´ eciprocit´ e).

Soit les applications f de IR dans ] − 1, +1 [ et g de ] − 1, +1 [ dans IR d´efinies par :

f(x) = e ^2x − 1

e ^2x + 1 et g(y) = 1

2 ln 1 + y 1 − y .

Calculer f ◦ g et g ◦ f puis en d´eduire que f admet une application r´eciproque (que l’on calculera).

Exercice 8 (r´ eciprocit´ e).

L’application f de IR dans IR d´efinie par;

f(x) = 1 + x + x ² , admet-elle une application r´eciproque?

Exercice 9 (inverse ` a droite et inverse ` a gauche ).

Soient E, F deux ensembles non vides et f une application de E dans F . On dit que f admet un inverse ` a gauche ssi il existe une appli- cation g de F dans E satisfaisant :

∀ x ∈ E g ◦ f (x) = x.

On dit que f admet un inverse ` a droite ssi il existe une applica- tion h de F dans E satisfaisant :

∀ x ∈ E f ◦ h(y) = y.

1) A l’aide d’exemples, montrer qu’une application f peut avoir aucun ou plusieurs inverses ` a gauche.

2) A l’aide d’exemples, montrer qu’une application f peut avoir aucun ou

plusieurs inverses ` a droite.

3) V´erifier que si f admet un inverse ` a gauche alors f est injective.

4) D´emontrer que si f est injective alors f admet un inverse ` a gauche.

5) V´erifier que si f admet un inverse ` a droite alors f est surjective.

6) D´emontrer que si f est surjective alors f admet un inverse ` a droite.

Pour la question 6), on utilisera l’AXIOME DU CHOIX qui s’´ enonce ainsi :

Soit H une application de F dans P (E). Si

∀ y ∈ F H (y) 6 = ∅ ,

alors il existe une application h de F dans E satisfaisant :

∀ y ∈ F h(y) ∈ H (y).

Exercice 10 (composition, injection, surjection).

D´emontrer que la compos´ee de deux injections est une injection puis que la

compos´ee de deux surjections est une surjection.

V. Relation d’´ equivalence.

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Relation d’´ equivalence. Soit E un ensemble non vide. Une relation d’´equivalence sur E est une relation binaire R de E dans E satisfaisant :

(A ₁ ) ∀ x ∈ E x R x, (r´eflexivit´e)

(A ₂ ) ∀ (x, y) ∈ E ² x R y = ⇒ y R x, (sym´etrie) (A ₃ ) ∀ (x, y, z) ∈ E ³ , x R y et y R z = ⇒ x R z. (transitivit´e)

L’exemple le plus simple de relation d’´ equivalence sur E est l’´ egalit´ e dans E.

Classes et ensemble quotient. Soit E un ensemble non vide et R une relation d’´equivalence sur E. Soit x ∈ E. La classe de x modulo R est l’´el´ement de P (E) d´efini par

x := { y ∈ E : x R y } .

L’ensemble quotient E/ R est le sous ensemble de P (E ) constitu´e de toutes les classes modulo R . Ainsi, pour tout A ∈ P (E ),

A ∈ E/ R ⇐⇒ ∃ x ∈ E A = x .

L’application de E dans E/ R qui ` a tout ´el´ement x de E associe l’´el´ement x de E/ R est une surjection que l’on appelle surjection canonique.

Partition. Soit E un ensemble non vide et F une partie de P (E ). On dit que F est une partition de E si

E = [

F ∈F

F et ∀ (F, G) ∈ F ² F ∩ G = ∅ ou F = G . Th´ eor` eme.

1) Si R est une relation d’´equivalence sur E alors E/ R est une partition de E.

2) Si F est une partition de E alors il existe une unique relation d’´equivalence R sur E telle que F = E/ R . Celle-ci est d´ efinie par : pour tout (x,y) ∈ E

²

, x R y ⇐⇒ ( ∃ F ∈F x ∈ F et y ∈ F ).

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Exercice 1.

Soit E , F deux ensembles non vides et f une application de E dans F . 1) Montrer que { f ^{− 1} ( { y } ) } y ∈ f(E) est une partition de E .

2) Montrer que la famille {{ f (x) }} x ∈ E est une partition de F si et seulement si f est une bijection.

Exercice 2.

1) Soit R la relation binaire de IR dans IR d´efinie par : x R y ⇐⇒ x ² + y ² ≤ 1 ou x = y R est-elle une relation d’´equivalence sur IR?

2) Soit R la relation binaire de IR dans IR d´efinie par :

x R y ⇐⇒ max {| x | , | y |} ≤ 1 ou x = y

Montrer que R est une relation d’´equivalence sur IR. Pr´eciser autant que possible la classe de x modulo R .

3) Soit R la relation binaire de IR dans IR d´efinie par : x R y ⇐⇒ xe ^y = ye ^x .

Montrer que R est une relation d’equivalence sur IR. Pr´eciser autant que possible la classe de x modulo R .

Exercice 3.

Combien peut-on d´enombrer de relations d’´equivalence sur { 1, 2 } , puis sur { 1, 2, 3 } ?

Exercice 4 (Construction des entiers relatifs).

Dans cet exercice, on tient pour acquise l’existence de l’ensemble des entiers naturels IN, de l’addition et la multiplication des entiers naturels. Soit la relation binaire R de IN ² dans IN d´efinie par :

(p, q) R n ⇐⇒ q + n = p.

Cette relation n’est pas une application (car si q > p, l’´equation q + n = p n’a pas de solution n ∈ IN) mais une fonction dont le domaine de d´efinition est D := { (p, q) ∈ IN ² : p ≥ q } .

1) (question pr´eliminaire.) Soient (p, q) ∈ D, (p ⁰ , q ⁰ ) ∈ D et (n, n ⁰ ) ∈ IN ² satisfaisant ` a (p, q) R n et (p ⁰ , q ⁰ ) R n ⁰ . Montrer que

(1) n = n ⁰ ⇐⇒ p + q ⁰ = p ⁰ + q, (2) (p + p ⁰ , q + q ⁰ ) R (n + n ⁰ ), (3) (pp ⁰ + qq ⁰ , pq ⁰ + p ⁰ q) R (nn ⁰ ).

On d´emontrera les propri´et´es ci-dessus en prenant soin de ne pas utiliser la soustraction mais seulement la propri´et´e (a + n = b + n = ⇒ a = b). Nous allons d´efinir l’ensemble des entiers relatifs (` a l’aide de la notion de relation d’´equivalence) en classant les couples (p, q) ∈ IN ² .

2) (L’´egalit´e des entiers relatifs). Soit la relation binaire E de IN ² dans IN ² d´efinie par :

(p, q) E (p ⁰ , q ⁰ ) ⇐⇒ p + q ⁰ = p ⁰ + q.

V´erifier que E est une relation d’´equivalence sur IN ² . Pour tout (p, q) ∈ IN ² on note (p,q) la classe de (p, q) modulo E.

DEFINITION. L’ensemble quotient IN ² /E est appel´e ensemble des entiers relatifs et not´e Z .

l’ensemble des entiers relatifs positifs et celui des entiers relatifs n´egatifs sont respectivement d´efinis par

Z ⁺ := { (n, 0) : n ∈ IN } et Z ⁻ := { (0, n) : n ∈ IN } . Montrer que Z = Z ⁺ ∪ Z ⁻ et { (0, 0) } = Z ⁺ ∩ Z ⁻ .

2) (L’addition des entiers relatifs). Soit la relation binaire A de Z ² dans Z d´efinie par :

(z, z ⁰ ) A z ⁰⁰ ⇐⇒ ∀ (p, q) ∈ z ∀ (p ⁰ , q ⁰ ) ∈ z ⁰ (p + p ⁰ , q + q ⁰ ) ∈ z ⁰⁰ .

Montrer que la relation binaire A est une application. L’image d’un couple (z, z ⁰ ) ∈ Z ² par cette application est not´ee z + z ⁰ . V´erifier que si p, q sont des entiers naturels alors (p,p)=(0,0) et (p,q)+(q,p)=(0,0). En d´eduire que pour tout (z ₁ , z ₂ ) ∈ Z ² l’´equation z ₁ + z = z ₂ poss`ede une solution unique z ∈ Z.

3) (La multiplication des entiers relatifs). Soit la relation binaire M de Z ² dans Z d´efinie par :

(z, z ⁰ ) M z ⁰⁰ ⇐⇒ ∀ (p, q) ∈ z ∀ (p ⁰ , q ⁰ ) ∈ z ⁰ (pp ⁰ + qq ⁰ , pq ⁰ + p ⁰ q) ∈ z ⁰⁰ . Montrer que la relation binaire M est une application. L’image d’un couple (z, z ⁰ ) ∈ Z ² par cette application est not´ee zz ⁰ . V´erifier que si p et q sont des entiers naturels alors (1,0) (p,q)=(p,q) et (0,1) (p,q)=(q,p).

4) (L’injection de IN dans Z ). Montrer que l’application I de IN dans Z d´efinie par

∀ n ∈ IN I(n) := (n, 0) est une injection satisfaisant ` a : pour tout (n, n ⁰ ) ∈ IN ² ,

I(n + n ⁰ ) = I (n) + I (n ⁰ ) et I(nn ⁰ ) = I(n)I(n ⁰ ).

COMMENTAIRES. Pour retrouver les notations usuelles dans Z, il suffit de noter

n:=(n,0) et − n:=(0,n) .

Exercice 5 (Construction des nombres rationnels).

Dans cet exercice, on tient pour acquise l’existence de l’ensemble des entiers relatifs Z, de l’addition et la multiplication des entiers relatifs (en utilisant les notations commun´ement admises). Notons IN ^∗ l’ensemble des entiers relatifs positifs non nuls. Soit la relation binaire R de Z × IN ^∗ dans Z d´efinie par :

(p, q) R n ⇐⇒ qn = p.

Cette relation est une fonction et D := { (p, q) ∈ Z × IN ^∗ : q divise p } est son domaine de d´efinition. Rappelons que ” q divise p ” signifie que le reste de la division Euclidienne de p par q est nul.

1) (Question pr´eliminaire). Soient (p, q) ∈ D, (p ⁰ , q ⁰ ) ∈ D et (n, n ⁰ ) ∈ Z satisfaisant ` a (p, q) R n et (p ⁰ , q ⁰ ) R n ⁰ . Montrer que

(1) n = n ⁰ ⇐⇒ pq ⁰ = p ⁰ q, (2) (pq ⁰ + p ⁰ q, qq ⁰ ) R (n + n ⁰ ), (3) (pp ⁰ , qq ⁰ ) R (nn ⁰ ).

Nous allons d´efinir l’ensemble des nombres rationnels (` a l’aide de la notion de relation d’´equivalence) en classant les couples (p, q) ∈ Z × IN ^∗ .

2) (L’´egalit´e des nombres rationnels). Soit la relation binaire E de Z × IN ^∗ dans Z × IN ^∗ d´efinie par :

(p, q) E (p ⁰ , q ⁰ ) ⇐⇒ pq ⁰ = p ⁰ q.

V´erifier que E est une relation d’´equivalence sur Z × IN ^∗ . Pour tout (p, q) ∈ IN ^∗ × Z on note (p,q) la classe de (p, q) modulo E .

DEFINITION. L’ensemble quotient Z × IN ^∗ /E est appel´e ensemble des nombres rationnels et not´e I Q.

Pr´eciser autant que possible les trois classes (1, 1) et (1, 3) et (0, 1).

3) (L’addition des nombres rationnels). Soit la relation binaire A de I Q ² dans I

Q d´efinie par :

(r, r ⁰ ) A r ⁰⁰ ⇐⇒ ∀ (p, q) ∈ r ∀ (p ⁰ , q ⁰ ) ∈ r ⁰ (pq ⁰ + p ⁰ q, qq ⁰ ) ∈ r ⁰⁰ .

Montrer que la relation binaire A est une application, L’image d’un couple (r, r ⁰ ) ∈ Q I ² par cette application sera not´ee r + r ⁰ . Calculer (1,3)+(2,5) .

4) (La multiplication des nombres rationnels). Soit la relation binaire M de I

Q ² dans I Q d´efinie par :

(r, r ⁰ ) M r ⁰⁰ ⇐⇒ ∀ (p, q) ∈ r ∀ (p ⁰ , q ⁰ ) ∈ r ⁰ (pp ⁰ , qq ⁰ ) ∈ r ⁰⁰ .

Montrer que la relation binaire M est une application. L’image d’un couple (r, r ⁰ ) ∈ Q I ² par cette application sera not´ee rr ⁰ . Calculer (1,3) (2,5) . On note I

Q ^∗ := I Q \ { (0, 1) } . Montrer que pour tout (a, b, c) ∈ Q I ^∗ × Q I × Q, l’equation I ar + b = c poss`ede une solution unique r ∈ Q. I

5) (L’injection de Z dans Q ). Montrer que l’application I I de Z dans I Q d´efinie par

∀ z ∈ IN I(z) := (z, 1) est une injection satisfaisant ` a : pour tout (z, z ⁰ ) ∈ IN ² ,

I (z + z ⁰ ) = I(z) + I(z ⁰ ) et I(zz ⁰ ) = I (z)I(z ⁰ ).

6) (Fraction irr´eductible). Montrer que la relation binaire F de I Q ^∗ dans Z × IN ^∗ d´efinie par

rF (p, q) ⇐⇒ (p, q) ∈ r et ∀ (p ⁰ , q ⁰ ) ∈ Z × IN ^∗ (p ⁰ , q ⁰ ) ∈ r = ⇒ q ⁰ ≥ q est une application. Expliquer pourquoi l’intitul´e de cette question est ”frac- tion irr´eductible”.

Exercice 6 (Construction des nombres r´ eels).

Dans cet exercice, on tient pour acquise l’existence de l’ensemble des nombres rationnels I Q, de l’addition et la multiplication des nombres rationnels (en utilisant les notations commun´ement admises). Une suite rationnelle est (par d´efinition) une application de IN dans I Q. Une telle application sera not´ee (x _n ). On dit qu’une suite rationnelle (x _n ) v´erifie le crit`ere de Cauchy si pour tout q ∈ IN ^∗ il existe N ∈ IN tel que

∀ (n, m) ∈ IN ² n ≥ N et m ≥ N = ⇒ | x m − x n | < 1 q .

On note R l’ensemble des suites rationnelles satisfaisant au crit`ere de Cauchy.

On note Q l’ensemble des suites rationnelles stationnaires i.e. (x _n ) ∈ Q ssi x n = x n+1 pour tout n ∈ IN (on v´erifiera que Q ⊂ R).

1) (Question pr´eliminaire). Montrer que l’´equation x ² = 2 n’admet pas de solution x ∈ Q, puis montrer qu’il existe (x I _n ) ∈ R satisfaisant ` a : pour tout q ∈ IN ^∗ il existe N ∈ IN tel que

∀ n ∈ IN x _n ≥ 0 et n ≥ N = ⇒ | x ² _n − 2 | < 1 q

.

Indication. On pourra remarquer que pour tout n ∈ IN ^∗ , il existe p ∈ IN unique tel que p ² ≤ 2n ² < (p + 1) ² .

2) (L’´egalit´e des nombres r´eels). Soit la relation binaire E de R dans R d´efinie par : (x _n ) E (y _n ) si pour tout q ∈ IN ^∗ il existe N ∈ IN tel que

∀ n ∈ IN n ≥ N = ⇒ | y _n − x _n | < 1

q .

V´erifier que E est une relation d’´equivalence sur R. Pour tout (x n ) ∈ R, on note (x

n

) la classe de (x _n ) modulo E.

DEFINITION. L’ensemble quotient R/E est appel´e ensemble des nombres r´eels et not´e IR.

3) (L’injection de Q I dans IR ). Montrer que l’application I de I Q dans IR d´efinie par

∀ r ∈ Q I I(r) := (x _n ) o` u ∀ n ∈ IN x _n := r

est une injection. D´efinir l’addition et la multiplication dans IR afin que l’injection I satisfasse ` a : pour tout (r, r ⁰ ) ∈ Q I ² ,

I (r + r ⁰ ) = I(r) + I (r ⁰ ) et I(rr ⁰ ) = I (r)I (r ⁰ ).

4) Montrer que l’´equation x ² = I(2) poss`ede au moins une solution x ∈ IR.

Exercice 7 (Construction des nombres complexes).

Dans cet exercice, on tient pour acquise l’existence de l’ensemble des nombres r´eels IR, de l’addition et la multiplication des nombres r´eels (en utilisant les notations commun´ement admises). Soit la relation d´equivalence E sur IR ² d´efinie par : (a, b) E (a ⁰ , b ⁰ ) ⇐⇒ a = a ⁰ et b = b ⁰ . La classe de (a, b) modulo E est donc le singleton { (a, b) } .

DEFINITION. L’ensemble quotient IR ² /E est appel´e ensemble des nombres complexes et not´e C.

1) (L’addition des nombres complexes). Soit la relation binaire A de C ² dans C d´efinie par :

( { (a, b) } , { (a ⁰ , b ⁰ ) } ) A { (a ⁰⁰ , b ⁰⁰ ) } ⇐⇒ a + a ⁰ = a ⁰⁰ et b + b ⁰ = b ⁰⁰ . Montrer que la relation binaire A est une application, L’image d’un couple (z, z ⁰ ) ∈ C ² par cette application sera not´ee z + z ⁰ .

2) (La multiplication des nombres complexes). Soit la relation binaire M de C ² dans C d´efinie par :

( { (a, b) } , { (a ⁰ , b ⁰ ) } ) M { (a ⁰⁰ , b ⁰⁰ ) } ⇐⇒ aa ⁰ − bb ⁰ = a ⁰⁰ et ab ⁰ + ba ⁰ = b ⁰⁰ . Montrer que la relation binaire M est une application. L’image d’un couple (z, z ⁰ ) ∈ C ² par cette application sera not´ee zz ⁰ . On note z ² := zz. V´erifier que

{ (0, 1) } ² = { ( − 1, 0) }

3) (L’injection des r´eels dans les complexes). Montrer que l’application I de IR dans C d´efinie par ∀ x ∈ IR I (x) := { (x, 0) } , est une injection qui satisfait

`

a : pour tout (x, x ⁰ ) ∈ IR ² ,

I(x + x ⁰ ) = I (x) + I(x ⁰ ) et I(xx ⁰ ) = I(x)I (x ⁰ ).

4) (L’´ecriture Cart´esienne d’un nombre complexe). La multiplication d’un nombre r´eel par un nombre complexe est l’aplication de IR × C dans C d´efinie par : t { (a, b) } := { (ta, tb) } . Notons

1 := { (1, 0) } et i := { (0, 1) } .

Montrer que pour tout nombre complexe z ∈ IR ² , il existe un couple de nombres r´eels unique (a, b) ∈ IR ² tel que

z = a1 + bi.

Exercice 8.

Soit E ₁ et E ₂ deux ensembles non vides, R 1 et R 2 deux relations d’equivalence sur E ₁ et E ₂ respectivement. On d´efinit une relation binaire sur E ₁ × E ₂ en posant:

(x ₁ , x ₂ ) R (y ₁ , y ₂ ) ⇐⇒ x ₁ R 1 y ₁ et x ₂ R 2 y ₂ .

Montrer que R est une relation d’equivalence sur E 1 × E 2 et qu’il existe une bijection de E ₁ × E ₂ / R sur E ₁ / R 1 × E ₂ / R 2 .

Exercice 9.

Soit E un ensemble non vide. Montrer que pour tout A, B, C, D ∈ P (E ), B \ C ⊂ A et C \ D ⊂ A = ⇒ B \ D ⊂ A.

A chaque partie A de E est associ´ee la relation binaire R A de P (E ) dans P (E ) par : B R A C ⇐⇒ B 4 C ⊂ A. Montrer que R A est une relation d’equivalence sur P (E). Pr´eciser autant que possible, la classe de B modulo R A .

Exercice 10 (d´ ecomposition canonique).

Soit E et F deux ensembles non vides et f une application de E dans F . Soit R la relation binaire d´efinie sur E par: pour tout (x, y) ∈ E × E,

x R y ⇐⇒ f (x) = f (y).

1) V´erifier que R est une relation d’equivalence sur E .

2) On note S l’application de E dans E/ R qui ` a tout x ∈ E associe la classe de x modulo R (S est la surjection canonique). Montrer qu’il existe une application g de E/ R dans F unique telle que f = g ◦ S.

3) On note ˆ f l’application de E/ R dans f (E ) d´efinie par: ˆ f (A) = g(A).

Montrer que ˆ f est bijective.

4) On note I l’application de f (E) dans F qui ` a y ∈ f(E ) associe y ∈ F (I

est l’injection canonique). Montrer que f = I ◦ f ˆ ◦ S.

VI. Relations d’ordre.

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Relation d’ordre. Soit E un ensemble non vide. Une relation d’ordre sur E est une relation binaire R de E dans E v´erifiant :

(A 1 ) ∀ x ∈ E x R x, (r´eflexivit´e)

(A ₂ ) ∀ (x, y) ∈ E ² x R y et y R x = ⇒ x = y. (antisym´etrie) (A ₃ ) ∀ (x, y, z) ∈ E ³ , x R y et y R z = ⇒ x R z. (transitivit´e)

L’exemple le plus usuel de relation d’ordre sur IR est la relation ≤ ^. On dit que l’ordre est total si

(A ₄ ) ∀ (x, y) ∈ E ² x R y ou y R x.

Majorant et minorant. Soit E un ensemble non vide, R une relation d’ordre sur E , A ∈ P (E ) et y ∈ E . On dit que y est un majorant de A si

∀ x ∈ A x R y.

Un ´el´ement maximal (ou plus grand ´el´ement) de A est un ma- jorant de A qui appartient ` a A. On dit que A est major´e s’il existe un majorant de A. On dit que y est un minorant de A si

∀ x ∈ A y R x.

Un ´el´ement minimal (ou plus petit ´el´ement) de A est un mino- rant de A qui appartient ` a A. On dit que A est minor´e s’il existe un minorant de A. On dit que A est born´e si A est major´e et minor´e.

Th´ eor` eme et d´ efinition. On suppose que E := IR et R := ≤ . 1) Si A est une partie non vide et major´ee de IR alors il existe un et un seul ´el´ement de IR qui est un ´el´ement minimal de l’ensemble des majorants de A. Cet ´el´ement est appel´e borne sup´ erieure de A et not´e sup A.

2) Si A est une partie non vide et minor´ee de IR alors il existe un et un seul ´el´ement de IR qui est un ´el´ement maximal de l’ensemble des minorants de A. Cet ´el´ement est appel´e borne inf´ erieure de A et not´e inf A.

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Exercice 1.

Soit R la relation binaire de IR dans IR d´efinie par : x R y ⇐⇒ x = y ou x = 0 et y = 1 .

Montrer que R est-elle une relation d’ordre sur IR. D´eterminer l’ensemble

des majorants d’un singleton { x } . L’ordre est-il total?

Exercice 2.

Soit R la relation binaire de { 1, 2, 3, 4 } ³ dans { 1, 2, 3, 4 } ³ d´efinie par : (x, y, z) R (x ⁰ , y ⁰ , z ⁰ )

si et seulement si (x < x ⁰ ) ou (x = x ⁰ et y < y ⁰ )

ou (x = x ⁰ et y = y ⁰ et z ≤ z ⁰ ).

Montrer que R est-elle une relation d’ordre sur { 1, 2, 3, 4 } ³ . D´eterminer l’ensemble des majorants du singleton { (3, 2, 1) } . L’ordre est-il total?

Exercice 3.

Combien peut-on d´enombrer de relations d’ordre sur { 1, 2 } , puis sur { 1, 2, 3 } ? Exercice 4.

Soit E un ensemble non vide. Montrer que la seule relation de E dans E qui est ` a la fois r´eflexive sym´etrique et antisym´etrique est l’´egalit´e.

Exercice 5.

Soit E un ensemble non vide. Soit R et S deux relations d’ordre total sur E . Montrer que les deux assertions suivantes sont ´equivalentes.

(1) ∀ (x, y) ∈ E × E x R y = ⇒ x S y, (2) ∀ (x, y) ∈ E × E x R y ⇐⇒ x S y.

Exercice 6.

Soit E un ensemble non vide, R une relation d’ordre sur E et A une partie non vide de E. Montrer que A est un singleton si et seulement si il existe un minorant m de A et un majorant M de A satisfaisant M R m.

Exercice 7.

Soit E un ensemble non vide et R une relation d’ordre sur E telle que toute partie non vide de E admet un plus petit ´el´ement et un plus grand ´el´ement.

Montrer que E est un ensemble fini.

Exercice 8 (relation ≤ dans IR).

Soient a et b deux nombres r´eels. Montrer que

a ≤ b ⇐⇒ ∀ ε > 0 a < b + ε .

Exercice 9 (relation ≤ dans IR. Caract´ erisation de la borne sup.).

Soit A une partie non vide major´ee de IR et soit M ∈ IR. Montrer que M := SupA si et seulement si

1) ∀ a ∈ A a ≤ M,

2) ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A a > − ε + SupA Exercice 10 (relation ≤ dans IR).

Montrer que les bornes sup´erieures et inf´erieures de l’intervalle [ 1, 2 [ sont re- spectivement ´egales ` a 2 et 1. Montrer que les bornes sup´erieures et inf´erieures de { <sup>1</sup> <sub>n</sub> : n ∈ IN <sup>∗</sup> } sont respectivement ´egales ` a 1 et 0.

Exercice 11 (relation ≤ dans IR).

Quelle est la borne sup´erieure de A := { x ∈ IR : x est rationnel et x ² ≤ 2 } ?

Montrer qu’il n’existe pas de plus grand ´el´ement de A.

Exercice 12 (relation ≤ dans IR).

Soient A et B deux parties non vides major´ees de IR.

1) V´erifier que A ∪ B est une partie non vide major´ee de IR puis d´emontrer que

SupA ∪ B = Max { SupA, SupB }

2) V´erifier que A + B := { a + b : (a, b) ∈ A × B } est une partie non vide major´ee de IR puis d´emontrer que

SupA + B = SupA + SupB.

Exercice 13 (relation ≤ dans IR).

Soit f une application de IR dans IR et A une partie non vide major´ee de IR.

Rappelons que f est croissante si ∀ (x, y) ∈ IR ² x ≤ y = ⇒ f (x) ≤ f (y).

1) Montrer que si f est croissante alors f SupA

≥ Supf (A),

puis donner l’exemple d’une fonction croissante f et d’une partie A pour lesquelles l’in´egalit´e ci-dessus est stricte.

2) Montrer que si f est croissante et surjective alors f SupA

= Supf (A), Exercice 14

On note E := { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } . Dans tout l’exercice, on suppose que R est une relation binaire de E vers E et on note A := { (x, y) ∈ E × E : x R y } . Pour tout ensemble fini F , on note card F le cardinal de l’ensemble F , c’est ` a dire le nombre d’ ´el´ements de F .

1) Montrer que si R est une relation d’ordre telle que 1 R 3 et 3 R 5 alors card A ≥ 9 et card A ≤ 21.

2) Montrer que si R est une relation d’´equivalence telle que 1 R 3 et 3 R 5 alors

card A ≥ 12 et card A ≤ 36.

3) Montrer qu’il existe une relation d’´equivalence R de E vers E telle que 1 R 3 et 3 R 5 et card A = 12.

4) On suppose que R est une relation d’´equivalence telle que 1 R 3 et 3 R 5.

Montrer que

card A = 12 si et seulement si card E/ R = 4.

VII. Fonctions polynˆ omiales.

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Fonctions polynˆ omiales. Une application P de C I dans C I est polynˆ omiale s’il existe une famille finie { a _n , ..., a ₁ , a ₀ } de nom- bres complexes telle que pour tout x ∈ C, I

P (x) = a ₀ + a ₁ x + ... + a _n x ⁿ .

Pour faire bref, nous ferons un abus de Langage en utilisant le terme ”polynˆ ome”

pour ”application polynˆ omiale”.

Th´ eor` eme et d´ efinition (degr´ e). Pour tout polynˆ ome non nul P , il existe un unique entier n ∈ IN et une unique famille { a _n , ..., a ₁ , a ₀ } de nombres complexes telle que :

a n 6 = 0 et ∀ x ∈ C I P (x) = a 0 + a 1 x + ... + a n x ⁿ . L’entier n est par d´efinition, le degr´e de P (on le note d ^o P ).

Le polynˆ ome nul n’a pas de degr´ e, mais par convention d

^o

0<d

^o

g pour tout polynˆ ome non nul g.

Th´ eor` eme (division euclidienne). Soient f et g deux polynˆ omes avec (g non nul). Alors il existe un unique couple (Q, R) de polynˆ omes v´erifiant :

∀ x ∈ C I f (x) = g(x)Q(x) + R(x)

et d ^o R < d ^o g Q s’appelle le quotient et R le reste. On dit que f est divisible par g si R = 0.

Racine, multiplicit´ e. Un nombre complexe a est racine d’un polynˆ ome P si P (a) = 0. On montre facilement (voir Ex.2)que a est racine de P si et seulement si P est divisible par ”x − a”. L’ordre de multiplicit´e d’une racine a de P est le plus grand entier n tel que ”(x − a) ⁿ ” divise P .

Th´ eor` eme (d´ ecomposition de D’Alembert). Soit P un polynˆ ome de degr´e sup´erieur ou ´egal ` a 1. Alors l’ensemble des racines de P est fini et non vide. Notons x 1 , ..., x k les k racines deux ` a deux distinctes de P et n _i l’ordre de de multiplicit´e de x i . Alors il existe un unique a ∈ C I \ { 0 } tel que pour tout x ∈ C, I

P (x) = a x − x ₁ n

1

... x − x _k n

k

. On a donc : n 1 + ... + n k = d ^o P .

Th´ eor` eme (Taylor). Soit P un polynˆ ome de degr´e n ≥ 1.

Pour tout x ₀ ∈ C I et tout x ∈ C, I P (x) = P n

k=0 P ^(k) (x ₀ ) ^{(x −} _k! ^x

⁰

⁾

^k

. o` u P ^(k) (x 0 ) est la d´eriv´ee d’ordre k en x 0 .

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Exercice 1 (division euclidienne).

Effectuer la division euclidienne de f par g dans les cas suivants : (1) f (x) = 7x ⁴ − x ³ + 2x − 4 et g(x) = x ² − 3x + 5,

(2) f (x) = x ⁵ − x ⁴ − x + 1 et g(x) = x ² − 2x + 1.

Exercice 2 (division euclidienne).

Soient a et b deux nombres complexes et n ∈ IN ^∗ . Montrer que dans la division euclidienne de f (x) := (x − a) ⁿ par g(x) := x − b, le reste est ´egal ` a (b − a) ⁿ .

Exercice 3 (r´ esolution d’´ equations polynˆ omiales).

Trouver toutes les solutions complexes des ´equations , (E ₁ ) z ² = 2,

(E ₂ ) z ² = 3i, (E ₃ ) z ² = 2 + 3i,

(E ₄ ) z ² = 1 + bi (b est un param`etre r´eel), (E 5 ) z <sup>2</sup> = a <sup>4</sup> (a est un param`etre complexe).

Exercice 4 (r´ esolution d’´ equations polynˆ omiales).

Trouver toutes les solutions complexes des ´equations , (E ₁ ) z ² + 2z + (1 − 2i) = 0,

(E 2 ) z ² + 2(1 + i)z − 5(1 + 2i) = 0, (E ₃ ) z ² + 2(1 − 2i)z − 8 + √

3 = 0, (E 4 ) z ² − (5 + 3i)z + 7i + 4 = 0,

(E ₅ ) z ⁶ + z ³ (z + 1) ³ + (z + 1) ⁶ = 0 (poser x := 1 + ¹ _z ).

Exercice 5 (question de cours).

1) Si a et b sont deux nombres complexes alors on a les deux identit´es remar- quables : a ² − b ² = (a − b)(a+b) et a ³ − b ³ = (a − b)(a ² +ab+b ² ). Ces iden- tit´es admettent la g´en´eralisation suivante : avec la convention a ⁰ = b ⁰ = 1,

∀ n ∈ IN ^∗ a ⁿ − b ⁿ = (a − b)

n − 1

X

k=0

a ^k b ^{n − k − 1} . D´emontrer cette formule par r´eccurence sur n.

2) En d´eduire qu’un nombre complexe a est racine d’un polynˆ ome P si et

seulement si le polynˆ ome g(x) := x − a divise le polynˆ ome P .

Exercice 6 (question de cours).

Soient x ₀ une racine d’un polynˆ ome P . Montrer ` a l’aide de la formule de Taylor que x ₀ est de multiplicit´e n si et seulement si

P ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) 6 = 0 et P ^(k) (x ₀ ) = 0 pour tout k ≤ n − 1.

Exercice 7 (factorisation).

Factoriser les polynˆ omes suivants en exploitant les informations donn´ees : (1) P (x) = 2x ³ − (5 + 6i)x ² + 9ix + 1 − 3i ( P poss`ede une racine r´eelle).

(2) P (x) = x ⁵ + 3x ⁴ + 4x ³ + 4x ² + 3x + 1 ( P poss`ede une racine ´evidente).

(3) P (x) = 2x ⁴ + x ³ − 6x ² + x + 2 ( poser u = x + _x ¹ ).

Exercice 8 (multiplicit´ e).

Calculer la multiplicit´e de la racine x ₀ de P dans les cas suivants : (1) x ₀ = 1 et P (x) = x ⁴ − x ³ − 3x ² + 5x − 2.

(2) x 0 = i et P (x) = x ³ − ix ² + x − i.

Exercice 9 (multiplicit´ e).

Montrer que pour tout n ∈ IN ^∗ le polynˆ ome P _n (x) := 1 + _1! ^x + ^x _2!

²

+ ... + ^x _n!

ⁿ

n’a pas de racines multiples. On pourra calculer P

⁰

et l’exprimer en fonction de P .

Exercice 10.

Soient a et b deux nombres complexes et P (x) := x ⁴ − 2ix ³ +3(1+ i)x ² +ax+b.

1) Calculer a et b pour que i soit une racine multiple de P . Dans toute la suite, on suppose que i est une racine multiple de P .

2) Quelle est la multiplicit´e de la racine i de P ? 3) Calculer les autres racines de P .

Exercice 11.

Montrer que le polynˆ ome P (x) := 2x ⁴ − 7x ³ + 9x ² − 5x + 1 admet une racine triple que l’on d´eterminera, puis factoriser P ` a l’aide de la formule de Taylor.

Exercice 12.

Soit x ₁ , x ₂ , x ₃ les trois racines du polynˆ ome P (x) := x ³ − 3x ² + 2x + 1. Sans calculer les racines de P , donner les valeurs

σ ₁ := x ₁ + x ₂ + x ₃

σ ₂ := x ₁ x ₂ + x ₂ x ₃ + x ₃ x ₁ σ 3 := x 1 x 2 x 3

A := x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ .

Exercice 13 (division par les puissances croissantes.

Effectuer la division de A(x) := 1 + x ² + x ⁴ par B(x) := 1 + x + x ³ suivant les puissances croissantes ` a l’ordre quatre.

Exercice 14.

Afin de calculer la valeur num´erique de P (x) := 2x ⁴ − 4x ³ − 7x − 14 pour x := 1 + √

3, effectuer la division de P par un polynˆ ome ` a coefficients entiers s’annulant en x := 1 + √

3.

Exercice 15.

Factoriser P (x) := x ⁸ + x ⁴ + 1 sur IR et sur I C. On remarquera pour commencer que que P (x)=(x

⁴

+1)

²

−x

⁴

.

Exercice 16.

Factoriser P (x) := x ⁶ − i sans utiliser la m´ethode trigonom´etrique. On remar- quera pour commencer que P (x)=(x

²

)

³

−(−i)

³

. En d´eduire sin ₁₂ ^π et cos ₁₂ ^π .

Exercice 17.

Soient a, b deux nombres complexes. Factoriser P (x) := (x + a)(x + b) − ab.

sans faire aucun calcul par ´ecrit.

Exercice 18.

Trouver deux racines ´evidentes de l’´equation (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40, puis factoriser le polynˆ ome P (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) − 40.

Exercice 19.

Trouver toutes les solutions complexes de chacune des deux ´equations

x ² + | x | − 2 = 0 et x ² + | x | + 2 = 0.

VIII. Suites num´ eriques et limites.

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Suites. Une suite num´erique est une application de IN dans IR.

La notation traditionnelle est : (x n ) n ∈ IN .

N.B. Dans ce qui suit (x

n

)

n∈IN

d´ esigne toujours une suite num´ erique.

Limite d’une suite. On dit qu’une suite (x _n ) _{n ∈ IN} converge vers x ∈ IR (on ´ecrit lim n x n = x) si

∀ ε > 0 ∃ N ∈ IN ∀ n ∈ IN n > N = ⇒ | x _n − x | < ε.

On dit qu’une suite (x _n ) _n∈IN diverge vers plus l’infini (on ´ecrit lim _n x _n = + ∞ ) si

∀ M ∈ IR ∃ N ∈ IN ∀ n ∈ IN n > N = ⇒ x _n > M.

On dit qu’une suite (x n ) n ∈ IN diverge vers moins l’infini (on ´ecrit lim _n x _n = −∞ ) si

∀ m ∈ IR ∃ N ∈ IN ∀ n ∈ IN n > N = ⇒ x _n < m.

Suite convergente et suite de Cauchy. Soit (x _n ) _{n ∈ IN} une suite. On dit que (x _n ) _{n ∈ IN} est convergente s’il existe x ∈ IR tel que lim n x n = x et divergente sinon. On dit que (x n ) n ∈ IN v´erifie le crit`ere de Cauchy si,

∀ ε > 0 ∃ N ∈ IN ∀ (p, q) ∈ IN ² p, q > N = ⇒ | x q − x p | < ε.

Th´ eor` eme de compl´ etude. Une suite est convergente si et seulement si elle v´erifie le crit`ere de Cauchy.

Th´ eor` eme (condition suffisante). Une suite (x n ) n ∈ IN qui est croissante et major´ee est convergente et lim _n x _n = sup _n x _n . Une suite (x n ) n ∈ IN qui est d´ecroissante et minor´ee est convergente et lim _n x _n = inf _n x _n .

Th´ eor` eme (condition suffisante). Soit (x _n ) _{n ∈ IN} une suite.

S’il existe deux suites convergentes (u _n ) _{n ∈ IN} et (v _n ) _{n ∈ IN} ayant une mˆeme limite x ∈ IR et satisfaisant

∃ N ∈ IN ∀ n ∈ IN n > N = ⇒ u n ≤ x n ≤ v n , alors lim _n x _n = x.

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Exercice 1 (question de cours : l’unicit´ e de la limite).

Soit (x _n ) _{n ∈ IN} une suite et x, y ∈ IR. Montrer que si

∀ ε > 0 ∃ N ∈ IN ∀ n ∈ IN n > N = ⇒ | x _n − x | < ε,

∀ ε > 0 ∃ N ∈ IN ∀ n ∈ IN n > N = ⇒ | x n − y | < ε,

alors x = y ( Ce r´ esultat autorise l’utilisation de la notation lim

n

x

n

)

Exercice 2 (d´ efinition du mot ”limite”).

Montrer ` a l’aide de la d´efinition de limite : lim n

2n

n + 3 = 2 lim

n

1

n − 3 = 0 lim

n

n + 1

√ n = + ∞ lim

n

5 − n ²

n + 2 = −∞

puis que lim

n

1 n ² 6 = 1.

Exercice 3 (d´ efinition du mot ”limite”).

Soit (u _n ) _{n ∈ IN} une suite de nombres r´eels positifs qui converge vers u ∈ IR ⁺ . Montrer ` a l’aide de la d´efinition d’une limite que :

lim n

√ u _n = √ u.

Exercice 4.

1) Montrer que la suite (x _n ) _{n ∈ IN}

^∗

o` u x _n := P n k=1 1

k − _1+k ¹

, est convergente.

2) Montrer que la suite (y _n ) _n∈IN

^∗

o` u y _n := P n k=1 1

k − _1+k ¹

sin kθ et θ ∈ IR, est convergente. On pourra utiliser le crit` ere de Cauchy.

Exercice 5 (S´ erie harmonique).

Montrer que la suite (x _n ) _n∈IN

^∗

o` u x _n := P n k=1 1

k , diverge vers + ∞ . Exercice 6 (Suite g´ eom´ etrique de raison λ ∈ IR).

Etudier la convergence de la suite (λ ⁿ ) n ∈ IN

^∗

suivant la valeur de λ ∈ IR.

Exercice 7 (S´ erie g´ eom´ etrique).

Soit λ ∈ IR et (x _n ) _{n ∈ IN} telle que x _n := P n k=0 λ ^k .

1) Montrer que si | λ | < 1 alors la suite (x _n ) _n∈IN converge vers _{1 −} ¹ _λ . 2) Montrer que si λ ≥ 1 alors la suite (x _n ) _{n ∈ IN} diverge vers + ∞ .

3) Montrer que si λ = − 1 alors la suite (x _n ) _{n ∈ IN} est born´ee et divergente.

4) Montrer que si λ < − 1 alors la suite (x n ) n ∈ IN est non born´ee.

Exercice 8.

Montrer que la suite ( _n ^n!

n

) _{n ∈ IN}

^∗

converge vers 0.

Exercice 9.

Montrer que la suite ((n!)

ⁿ¹

) n ∈ IN

^∗

diverge vers + ∞ . Exercice 10.

Quel lien y a t-il entre les deux r´esultats suivants : lim

n

lnn

n = 0 et lim

n n

ⁿ¹

= 1?