Les nombres rationnels
Chapitre 01
Fait par : AHMED Barahna
Activité 1
1) Exprimer par une fraction la partie de la figure qui a été coloriée :
...
...
...
...
...
...
Solution : 5 16
3 8
4 6
1)
16 5
numérateur
dénominateur
Un nombre rationnel
Définition 1 :
a et b deux nombres entiers relatifs avec b ≠ 0,
Le quotient de a par b est le nombre c tel que ,
: est appelé un nombre rationnel b
c a
b a
b
a a : Le numérateur b : Le dénominateur
Exemple :
3 5
Sont des nombres rationnels 10
7
2 3
13
11
, , et
Remarque 1 :
3 5
13 11
et : Sont des nombres rationnels positifs
10
7
2 3
et
: Sont des nombres rationnels négatifsActivité 2:
Écrire les nombres suivants sous la forme d’une fraction a) 0 ; - 5 ; 12
b) -3,4 ; 0,25
Solution :
a) On a
1 0 0
1 5 5
1 12 12
Règle 1:
Tous les nombres entiers sont des nombres rationnels dont le dénominateur est égal à 1 .
Exemple:
1
115 115
10 4 34
,
3
100 25 25
,
0
Règle 2:
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels dont le dénominateur est égal à 10,100,1000 …….
1000 125 125
,
0
Exemple :
Remarque2:
• Il existe des nombres rationnels non entiers .
• Il existe des nombres rationnels non décimaux . Exemple :
5 , 2 2
5
0,33333333...3 1
2,5 : n’est pas un entier
0,3333 : n’est pas un nombre décimal
b)
Activité 3:
Calculer et comparer les fractions suivantes :
a) et
b) et
Solution:
a)
b)
5 10
5 10
4
; 20 4
20
4 20
5 2 10
4 5
20
5 2 10
4 5
20
5 10 5
10
4 20 4
20 4
20
4 5
20
Règle 3:
a et b sont des nombres entiers relatifs tel que ( b≠0)
et
Exemple:
b a b
a
b a b
a b
a
5 7 5
7
10 3 10
3 10
3
Activité 4:
Calculer et comparer les fractions suivantes :
2 5
2 10
5
10
4
20
2 4
2 20
a) et
b) et
Solution:
a)
b)
5 2 10
2 5 10 2
4 2
20
10 2 20 2
5 2
10
4 5 20
5 10 2
5
2
10
4 20 2
4
2 20
Règle 3:
a, b et k des nombres entiers relatifs tel que ( b≠0) et (k≠0).
b
a k
b
k
a
b a k
b
k
a
Exemple :
2 3 4
2
4 3
8
12
2
3 4
8
4 12
8
12
Exercice d’application :
1) Réduire les fractions suivantes :
30
; 54 35
20
Solution:
7 4
5 7
4 5 35
20
7 4
5 35
5 20
35 20
5 9
5 6
9 6 30
54
5 9
6 30
6 54
30 54
forme irréductible
Activité 3:
1) Comparer les rationnels suivants :
5 10 2
; 7 6
5 2
; 3 10
3 10
5
et et et
Solution:
5 3
10 , 5 10
3
car
Règle 4:
• Si deux nombres rationnels ont le même dénominateur (dénominateur positif) ,alors le rationnel qui a le plus grand numérateur est le plus grande des deux rationnels :
c a
b si c b
a ,
Exemple
:20 10
3 , 20 3
10
4 2
5 , 4 5
2
car car
• Pour comparer les deux nombres :
6
5 2
3
et
• Rendre au même dénominateur positifs les deux fractions :
6 9
3 2
3 3 2
3
a
on
6
5 et
Ensuite On compare les nombres
6
9
6
5 et
donc
5 9
6 9 6
5
car
Alors
2 3 6
5
Règle 5:
Pour comparer deux nombres rationnels de
dénominateurs différents , on réduit au même dénominateur (positif) les deux fractions. Ensuite, on applique la règle 3.
Exemple :
Pour comparer les fractions suivantes : 3 2 5
1 et
On réduit au même dénominateur les deux fractions :
15 3
3 5
3 1 5
1
a
on
15 10
5 3
5 2 3
2
et
3 10
15 , 3 15
10 car
Donc
5 1 3
2
Alors
Règle 6:
• Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif
Exemple :
21 100 10
7
Activité 6:
1) Résoudre les équations suivantes .
18 2
7
5x et x
5 10 2
7
Solution :
5 7
7 5
x
x a
on
Donc la solution de cette équation est égal à 57
6 2 12
12 2
x x
x a
on
Donc la solution de cette équation est égal à -6
Règle 7:
La solution de l’ équation de premier degré a un seule inconnu sous la forme ax = b est le nombre rationnel
Exemple:
3 11
3 11
11 3
x x
x a
on
a b
Donc est la solution de cette équation 3
11
Règle 8:(la règle de trois)
Si alors
d
c b
a a d b c et a bd c
Les opérations sur les fractions L’addition et la soustraction
Partie 2
Activité 5
1) Calculer les expressions suivantes :
b)
5 2 4
; 3 4
5 4
1
a)
10 8 10
; 8 5 0
1
Solution
1 4
4
4 ) 5 ( 1 4
5 4
1
10 3 5
; 8 7
9 7
) 5
c
Règle 1:
Pour additionner deux fractions ayant le même dénominateur : on additionne les deux numérateurs et on conserve leur
dénominateur commun:
b c a b
c b
a
13 9
13 2 7
13 2 13
7
7 8
7 ) 2 ( 10 7
2 7
10
Exemple
20 7
20 8 20
15
4 5
4 2
5 4
5 3
5 2 4
3
Règle 2:
Pour additionner deux fractions avec des dénominateurs différents , on réduit d’ abord au même dénominateur les deux fractions , puis on applique la règle 1 .
et
k b
c ak k
b c b
a
d
b
cb ad
d c b
a
Exemple :
b)
15 38
15 35 15
3
5 3
5 7 3
5 3 1 3
7 5
1
5 2 10
4
10 4 10
8
2 5
2 2 10
8 5
2 10
8
5 0 1
5
1
propriété 1:
La somme d’un nombre rationnel et zéro est égal à ce nombre rationnel lui-même
b
a b
a 0
exemple:
2 0 13
2
13
0
10 8 8
10 8 10
) 8
b
propriété 1:
La somme de deux nombres rationnels opposés est égal à 0
0
b
a b
a
exemple:
7 0 1 7
) 1
b
Règle 3:
la différence de deux nombres rationnels est égale à la
somme de premier nombre et l’opposé il rationnel fraction et l’opposé
et
d b
cb ad
d c b
a
b d
cb ad
d c b
a
7 4 9 5
7 9 7
) 5
c
10 3
10 19 2 5
2 8
10 3 5
) 8
c
3 4 21
28
21 49 21
21
7 3
7 7
3 7
3 5
3 7 7
5
14 31 28 62
28 8 28
70
4 7
4 2 7
4
7 10 7
2 4
10
Exemple :
Activité 6 :
1) Calculer les opérations suivantes :
15 2
5 3
2 1
5 2 3
1
Solution :
Règle 4:
La multiplication de deux fractions est égale au produit des numérateurs sur le produit des dénominateurs.
d b
c a d
c b
a
exemple:
3 10
30 2 5
3 10
2 3 5
10
7 4 3
; 2 5
2 3
1
6 7
12 14
4 7 3
2 7
4 3
2
Résultat 1 :
Soient a , b et c des nombres décimaux tel que b ≠ 0 :
b a a b1
Exemple:
3 5 3
5 1 1)
Règle 5:
La division d'une fraction par une fraction est égale à la multiplication de la fraction par l'inverse de la fraction :
b a
d c
b a
d c
c b
d a
c d b
a d
c b
a
L’inverse de dc
Exemple :
9 10
18 20
9 4 2
5 4
9 2
5
