P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON
F. L ATREILLE
Nombres transfinis relatifs et rationnels
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1967, tome 4, fascicule 3 , p. 9-14
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Publications du g Département de
M athématfques Lyon 1967 t . 4 - 3
N O M B R E S TRA!S!SFINIS R E L A T I F S ET R A T I O N N E L S F . L A T R E I L L E
1°) I n t r o d u c t i o n » )
S i e r p i n s k i a m o n t r é q u e t o u t o r d i n a l Ç n o n n u l p e u t , e t c e l a d'une s e u l e m a n i è r e , se m e t t r e sous la f o r m e d'une somme f i n i e de p u i s s a n c e s d é c r o i s s a n t e s d e m n o u s é c r i r o n s :
a.
a-, K
Ç = n ^ w 1 n^a) (forme n o r m a l e )
nl ' '#,,l \ é t a n t d e s n o m b r e s n a t u r e l s n o n n u l s , e t a i , . . . , ^ u n e s u i t e s t r i c - t e m e n t d é c r o i s s a n t e d ' o r d i n a u x .
H e s s e n b e r g a d é f i n i s u r l e s ordinaux a i n s i é c r i t s d e s cpérations c c m m u t a t i v e s d o n t la d é f i n i t i o n e s t f o r m e l l e m e n t c e l l e d e s p o l y n ô m e s . C e s c p é r a t i o n s sont d i s t i n c t e s d e s o p é r a t i o n s o r d i n a l e s ; a i n s i :
( 3 w2+ l ) + (u>+3) = 3w2+u)+4 ( a d d i t i o n n a t u r e l l e ) a l o r s q u e (3u)2$l) $ (oo$3) = 3 u2j w $ 3 ( a d d i t i o n ordinale)
d e m ê m e , (3(o2+l) x (OH-3) s 3 W3+ 9 UJ2+U>+3 ( m u l t i p l i c a t i o n n a t u r e l l e ) a l o r s q u e (3u)2$l) g (o^3) * 3 w3$ 9 œ2$ l ( m u l t i p l i c a t i o n o r d i n a l e )
C e p e n d a n t i l y a i d e n t i t é p o u r les somme3 d e p u i s s a n c e s d é c r o i s s a n t e s ; a i n s i t o u t o r d i n a l e s t é g a l à la s o m m e , a u s e n s d e H e s s e n b e r g , d e s t e r m e s d e sa f o r m e n o r m a l e (l'ordre p e u t a l o r s ê t r e p r i s q u e l c o n q u e ) .
S i k o r s k i a d é f i n i , à p a r t i r d e c e r t a i n s e n s e m b l e s d ' o r d i n a u x s t a b l e s p o u r les o p é r a t i o n s n a t u r e l l e s , d e s e n s e m b l e s o r d o n n é s d e s t r u c t u r e a l g é b r i q u e s i m p l e (anneaux e t c o r p s ) m a i s d o n t l e s p r o p r i é t é s r e l a t i v e s à l'ordre sont
Cet exposé suppose connue, au moins sommairement, l'arithmétique classique des ordinaux ; le? autres notions seront introduites en temps utile.
Nombres transfînis relatifs et rationnels 10
i n t é r e s s a n t e s . A i n s i sous u n e c e r t a i n e r é s e r v e r e l a t i v e à l ' o r d i n a l y , o n d é m o n t r a :
1°) p o u r q u ' u n e p a r t i e X d e l'anneau C^ soit b o r n é e , i l f a u t e t i l s u f f i t q u e C a r d X < Card C .
2°) p o u r q u ' u n e p a r t i e b o r n é e X du c o r p s W a i t u n p o i n t d ' a c c u m u l a t i o n , i l f a u t e t i l s u f f i t q u e Card X = Card W .
Il s e m b l e e n o u t r e q u e les a n n e a u x (dont le type d'ordre e s t d i s p e r s é ) c o n t i e n n e n t tous les e n s e m b l e s t o t a l e m e n t ordonnés d e t y p e d i s p e r s é . C e t t e h y p o t h è s e a v a i t d é j à é t é f o r m u l é e p a r M . F R A I S S E m a i s n o u s n'en p o s s é d o n s p a s e n c o r e d e d é m o n s t r a t i o n d é f i n i t i v e . P a r c o n t r e nous a v o n s p u r é s o u d r e p l u s i e u r s q u e s t i o n s r e l a t i v e s soit aux o p é r a t i o n s soit à l'ordre ; p a r e x e m p l e :
1°) dans C^ , tout n o m b r e p o s s è d e u n e d é c o m p o s i t i o n e n p r o d u i t f i n i de n o m b r e s p r e m i e r s , u n i q u e à l'ordre p r è s ;
2°) dans , il n ' e x i s t e a u c u n n o m b r e e n t r e les e n t i e r s et les — (n£|\Q 2°) D é f i n i t i o n d e s n o m b r e s t r a n s f i n i s r c l a t i f s C * ) .
D'après le t h é o r è m e p r é c é d e m m e n t cité de S i e r p i n s k i , tout o r d i n a l a u t r e / c i . . .o.\
q u e 0 peut être i d e n t i f i é à la suite d o u b l e ( ( d e s e s e x p o s a n t s e t V nj...n|^y
d e s e s c o e f f i c i e n t s a v e c les c o n d i t i o n s cii>...>a. e t n i,..., n, £ N - { 0 } N o u s a p p e l l e r o n s t r a n s f i n i r e l a t i f t o u t e suite d o u b l e fa ï " * a M ^
* n i . . . n ^ / 00 a i# . . . f O ^ e s t u n e s u i t e s t r i c t e m e n t d é c r o i s s a n t e , d o n c f i n i e , d ' o r d i n a u x , e t n i , . . . , n ^ € Z-{0} la suite d o u b l e v i d e s e r a n o t é e 0. P o u r f a c i l i t e r c e r t a i n s c a l c u l s il p o u r r a n o u s a r r i v e r d e p e r m u t e r les t e r m e s ( c . à . d . l e s c o u p l e s
(ce^rij)) ou d ' a d j o i n d r e d e s t e r m e s nuls ( c . à . d . d e la f o r m e (a, C ) ) .
N o t o n s q u ' e n g r o u p a n t les t e r m e s d o n t les coefficients- ont m ê m e s i g n e on f a i t a p p a r a i t r e la p o s s i b i l i t é de c o n s i d é r e r un t r a n s f i n i r e l a t i f c o m m e c o u p l e d ' o r d i n a u x n ' a y a n t p a s d ' e x p o s a n t s c o m m u n s , ou e n c o r e c o m m e c l a s s e d e c o u p l e s d ' o r d i n a u x o b t e n u s à p a r t i r d u p r é c é d e n t p a r a d j o n c t i o n d e t e r m e s
. • •——— -~~— 1——
6*) Terminologie e t mode de définition de M. FRAISSE.
11 égaux q u e l c o n q u e s .
Nous i d e n t i f i e r o n s l e s ordinaux a u x t r a n s f i n i s r e l a t i f s à c o e f f i c i e n t s tous p o s i t i f s , [Mous a d d i t i o n n e r o n s les t r a n s f i n i s r e l a t i f s comme les p o l y n ô m e s : soit a = fai' "aK \ e t b ^1* " ^ k ) j si u n 3. ne f i g u r a p a s d a n s la sui^c
\ nl - - - nkU . \ m1. . . r rk/ J
des o u , le terme [ - j sera p l a c é d a n s la suite d o s t e r m e s d e a d e m i n i e r s
mj
à c o n s e r v e r la d é c r o i s s a n c e de la suite s u p é r i e u r e ; si u n 3^ e s t e n m ê m e t e m p s un a ^ , on a j o u t e r a nu à n ^ Cet on s u p p r i m e r a le t e r m e d a n s le c a s où
mj+ Pi = L GS Pr oPr :^ t ss de c e m m u t a t i v i t é e t d ' a s s o c i a tivité sont é v M e n t e s ;
• e s t n e u t r e ; tout n o m b r e a un opposé : les p r o p r i é t é s d e la loi d e jrro^ne sont s a t i s f a i t e s .
P r o p o s i t i o n 1 s p o u r tout ordinal y » l'ensemble d e s t r a n s f i m ' s r e l a t i f s d ' e x p o s a n t s <y e s t un g r o u p e . N o t o n s q u e tout; trans?:*ni r e l a t i f est é g a l à la s o m m e de s e s t e r m e s .
Mous c o n v i e n d r o n s de d e c l a r e r p o s i t i f tout n o m b r e d o n t le 1° c o e f f i c i e n t est u n e n t i e r p o s i t i f , e t de d é c l a r e r a s u p é r i p u r à b si a-b e s t p cri t i f .
NCL:S m u l t i p l i e r o n s les t r a n s f i n i s r e l a t i f s c o m m e les p c l y n o m ? s , on p r e n a n t soin d ' a p p l i q u e r a u x e x p e s a n t s l'addition c o m m u t a t i v e q u i v i e n t d'etre d é f i n i e (ce q u i i m p l i q u e de les c o n s i d é r e r eux-r.'mcs c o m m e d e s t r a n s f i n i s , ce q u i a é t é c o n v e n u D^ ^ - é d ^ m m e n t } . Nous n m i v o n s d ' a i l l e u r s r o u s c c n t ? n t e r de p o s e r Ca]c( ^ ) = [a*'J^ e t d e o o s l u l e r la dil>tr: b u t i v i t â •
n m :f7i-
L'i c e m m u t a t i v i t é e t 1' a s s o c i a t i v i t y é t a n t é v i d e n t e s , les p r o p r i é t é s d e la loi d'anneau sont s a t i s f a i t e s .
P^c?n?.ftior> 2 : p o u r t o u t o r d i n a l <)>, l'ensemble d e s t r e n s f i n i s r e l a t i f s
As
d ' e x p o s a n t s <u> e s t u n a n n e a u .
Cet a n n e a u , q u e n o u s n o t e r o n s , e s t u n i t a i r e e t i n t è ^ r c t * ) .
-lîkmrsWLs'étrdî.^-que Iz^casr oôi.xj><»«*r >m - o r d k ^ J r j 5 t i £ l , _ $ c \ t rf> **• ; 51 note* Ct pour . 7 ^ .
NomSrP!* t r s r s r e l a t i f s na.tin'mols
12
et o,
Nous c o n v i e n d r o n s e n f i n d e n o t e r w p o u r ( ^) ; a l c r s J 3 v i e n t :
Vni - - -nk / 1 K
3°] Prooriét.-ls d ^ tronn-P:: ni s r e l a t i f s ,
T'^n^rmo 1 : S c i t a u n t r a n s f i n i r e l a t i f q u e l c o n q u e d e dogrê A a ; s o i t l'ordinal O )CWY) :
(а) a a u n p r é c è d e n t e t un suivant i m m é d i a t s : c e sont a-1 e t a * l . (б) il existe d e s ordinaux $ t e l s q u e a € Z ^ .
(y) i l existe u n o r d i n a l <j>i t e l q u e a £2 +1 ot a J.Z. ; d e p l ^ s il e x i s t e d e s e n t i e r s s , r1, . . . r% et d e s t r a n s f i n i s ax, . . . , a
s t e l s q u e
s r.
a = Y1 e.î> x
i&) il e x i s t e u n e n t i e r t e t d e s ordinaux 4>y...<f>£ tels q u e a C 7 [ ^ - - - « i l
Ce] a e s t e^al a u p r o d u i t d'un n o m b r e f i n i d e t r a n s f i n i s r e l a t i f s pi-srnisrs, e t cette f a c t o r i s a t i o n e s t u n i q u e a u x s i g n e s p r è s et à l'ordre d o s f a c t e u r s p r è s .
Thgçr^.r.g 2 : Scit X un e n s e m b l e q u e l c o n q u e d e t r a n s f i n i s r e l a t i f s :
Ce] il e x i s t e d e ? hr^r.rrPiris r e l a t i f s q u i m a j o r e n t X e t d e s t r a n s f i r i s r e l a t i f s q u i le m i n o r e n t ,
(33 i l e x i s t e d e s ordinaux 4> tels q u e X C Z ^
(y) s u p p o s o n s X C Z . ; X e s t borné dans Z . si e t s e u l e m e n t si l'enr^nble dr js d e g r é s d a ses é l é m e n t s n o n n u l s e s t m a j o r é p a r
(f>
un ordinal <iù .
Nombre» tnuwfiot» relatifs e t rationnels
13
(ô) s u p p o s o n s X C Z ^ a v e c <J> r é g u l i e r s t i n f i n i • X e s t b o r n é d a n s ZA si e t s e u l e m e n t s i c a r d X < c a r d Z , .
9 <f>
te) s u p p o s o n s X C ZX a v e c <}> r é g u l i e r e t i n f i n i ; X e s t b o r n é d a n s
<P
(* *)
ZA s i e t s e u l e m e n t s i s o n c a r a c t è r e e s t « b .
T h é o r è m e 3 : S o i t <J> u n o r d i n a l r é g u l i e r , e t ( a ^ ) ^ r u n e <j>-suitG d e t r a n s - f i n i s r e l a t i f s .
(a) d e la <J)-suite ta^) o n p e u t e x t r a i r e u n e sous-<J>-suite c o n s t a n t e ou u n e sous-<j>-suite s t r i c t e m e n t m o n o t o n e .
(B) si la <{>-suite (a^) e s t s t r i c t e m e n t c r o i s s a n t e Cresp. d é c r o i s s a n t e ) il e x i s t e u n e <t>-suite (b^) s t r i c t e m e n t d é c r o i s s a n t e ( r e s p .
c r o i s s a n t e ) e t a d j a c e n t e à la p r é c é d e n t e .
T h é o r è m e 4 : tout a n n e a u c o m m u t a t i f t o t a l e m e n t ordonné d e c a r a c t è r e f c o n t i e n t un s o u s - a n n e a u i s o m o r p h e à Z,.
4°) N o m b r e s t r a n s f i n i s r a t i o n n e l s .
Les a n n e a u x Z^ é t a n t i n t é g r e s , c h a c u n p e u t être p l o n g é d a n s s o n c o r p s d e s f r a c t i o n s Q . N o u s a p p e l l e r o n s d o n c t r a n s f i n i s r a t i o n n e l s les c o u p l e s de t r a n s f i n i s r e l a t i f s é t r a n g e r s ( c . à . d . s a n s d i v i s e u r s c o m m u n s - c f . t he l e ) T o u t t r a n s f i n i r a t i o n n e l a p p a r t i e n t à u n c o r p s ; les opéretior.2 su** c e s n o m b r e s s o n t d o n c b i e n d é f i n i e s a i n s i q u e leur c o m p a r a i s o n
N o u s a p p e l l e r o n s d e g r é d u t r a n s f i n i r a t i o n n e l z = ~ le t r a n e f i n i r e l a t i f à = A x - A y .
T h é o r è m e 5 : a u c u n t r a n s f i n i r e l a t i f n'est c o m p r i s e n t r e les e n t i e r s e t l'ensemble d e s - C n £ N - { 0 } ) .
m n
(*) Un ordinal est dit régulier si toute partie non majorée de ^ ( c . à.d.tout ensemble d'ordinaux ayant <f pour borne supérieure stricte) est isomorphe à cp ; e x e m p l e : 6> est régulier.
On appelle caractère (final) d'an ensemble totalement ordonné A ls plus petit ordinal cp tel qu'il existe une cp -suite co-finale à A ( c . à . d , une partie son majorée de A Isomorphe à rs ) ; tout c a r - i c t ^ - e ost un ordinal régulier.
(**X) si Cp est régulier , <TvV « Cf donc <f = \Jf.
Nomhres transrfiiïJs rî»ls*iSi e* sationaels
14
]h (^ )
T h é o r è m e 6 : S o i t <j> e t 4, d e u x o r d i n a u x t e l s q u e $ » c / e t X \:r.e p a r t i e de Q : :
(a) X e s t borné dans 3 ^ si e t s e u l e m e n t s i l ' e n s e m b l p d e s d e g r é s de s e s é l é m e n t s n o n n u l s e s t m a j o r é d a n s Z, .
( 3 ) s i X e s t m i n o r é p a r 0 , X a d m e t 0 p e u r b o r n e i n f é r i e u r e s i e t s e u l e m e n t s i l'ensemble d e s d e g r é s d e s e s é l é m e n t s n ' e s t p a s m i n o r é d a n s Z, .
(y) s i <p e s t r é g u l i e r e t s u p é r i e u r à 03, a l o r s X b o r n é ,
c a r d X = c a r d Z ^ = ^ > X a a u n p o i n t d ' a c c u m u l a t i o n ( c . à . d . d e t o u t e f - s u i t e b o r n é e dans Z, o n p e u t e x t r a i r e u n e s o u s - 9 " s u i t e
c o n v e r g e n t e ) .
R e m a r q u e : (y) e s t f a u x p o u r <f> = • (pas d e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s d a n s Q 3 Q ) o T h é o r è m e 7 : t o u t c o r p s c o m m u t a t i f t o t a l e m e n t ordonné de c a r a c t è r e <J> c o n t i e n t
u n s o u s - c o r p s i s o m o r p h e à Z ^ ,
Manuscrit remis le 31 janvier 19*57. F , LATRETJLLE Faculté dos Sciences de MfcrœUle.
( * ) Sikorski note W„ pour Qco .
r ^
