P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON
D ANIEL P ONASSE
Quelques remarques topologiques sur l’espace des interprétations
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1967, tome 4, fascicule 3 , p. 33-37
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Publications du Département de Mathématiques Lyon 1967 «L4-3 33
Q U E L Q U E S R E M A R Q U T G P O L G G I Q l J E S S U R L ' E S P A C E PA?_ J ^ l t ^ ^ ^
D a n i e l P O S A S S E
I n t r o d u c t i o n ,
Il c o n v i e n t t o u t d ' a b o r d d o s i g n a l e r q u e l e s q u e l q u e s r é s u l t a t s q u i
s u i v e n t o n t été d é m o n t r é s e n c o l l a b o r a t i o n a v e c deux d e m e s é l è v e s , nie A, P R E L L F R e t M . R . C U S I N .
N o u s nous p l a c e r o n s d a n s le c a d r e d u c a l c u l d e s p r é d i c a t s d u premier o r d r e , s a n s égalité. L e s n o t a t i o n s s u i v a n t e s s e r o n t u t i l i s é e s :
E : e n s e m b l e d o s é n o n c é s (sans v a r i a b l e libre) A , B , . . . , c o n s t r u i t s à p a r t i r d e l'ensemble d e s é n o n c é s é l é m e n t a i r e s A , d u type r^a ...a C r ^ p ^ é -
n 1 p n K
d i c a t d e p o i d s p, a , . . . , a indiv?dî.:cO , a u m e ^ c n d e s ccnnectOL'rs 1 A V <+ 3 KJ.
1 P
T : e n s e m b l e d e s énoncés d é m o n t r a b l e s , à p a r t i r d o s s c h é m a s d ' a x i e n c s et de r è g l e s de d é t a c h e m e n t c l a s s i q u e s .
E / R : anneau b - o l é i e n q u o t i e n t de E p a r la r e l a t i o n d ' é q u i v a l e n c e R : A ^ B c - T (ou A > B et D H A ) , <j> d é s i g n e r a l ' a p p l i c a t i o n c a n o n i q u e E ~ > E / R . S i a * <}>(A) , g = é ( 3 ) , les o p é r a t i o n s dans E / R sent d é f i n i e s p a r :
n a = <j>( A) , a. e = 4>tAAï3),...,(a/b)a = 4>fta/b3Al, 3 a a = *î3x [fx/a^A"])
= S-jr. (h/aîcu X : e s p a c e b c o l é i e n d u a l de F/R, c'est-à-dire l'ensemble d e s u I t r a f i l ^ r e s U . S i a est l'an-licat? en d o S t o n ee: o(aî » {Il : a e U } , la t o e o l c r i e d e X e s t c e l l e e n p e n d r é e p a r les a(a) q u i sont a l o r s les o^s de X.
L'espace de* interprétations.
34
U L : e n s e m b l e d e s u l t r a f i l t r e s v a l i d a n t s de E / R , c ' e s t - à - d i r e l e s u l t r a - f i l t r e s U t e l s q u e : 3 aa e U i l e x i s t e b t e l q u e ( b / a )a €• U .
Les u l t r a f l l t r e s v a l i d a n t s s o n t d i r e c t e m e n t r a t t a c h é s a u x s y s t è m e s d e
v a l e u r s d e v é r i t é h : A — O U • a n n e a u b o o l é i e n Z / ( 2 ) ) d e la f a ç o n s u i v a n t e . : une a p p l i c a t i o n q u e l c o n q u e h se p r o l o n g e e n h s u r E , t e l l e q u e h ( i A ) * n h ( A ) , ÎICAAB) = h ( A ) . h ( B ) , . . . , h ( 3 x [ fX] ) « S u p ^ h C ( a / x ) fX) . E n s u i t e h d o n n e a u q u o t i e n t
un h o m o m c r p h i s m e Cvalidant) h : E/R-* HJ s h e s t a l o r s la f o n c t i o n c a r a c t é r i s t i q u e d'un u l t r a f i l t r e v a l i d a n t e t r é c i p r o q u e m e n t .
C'est c e s o u s - e s p a c e U d e X q u e n o u s c o n s i d é r o n s i c i C O T W Q e s p a c e d e s i n t e r p r é t a t i o n s .
F o r m e t o p o l o g i q u e d u t h é o r è m e d e c o m p l è t u d e . Le t h é o r è m e d e c o m p l è t u d e c l a s s i q u e :
"Tout é n o n c é u n i v e r s e l l e m e n t v a l i d e e s t u n é n o n c é d é m o n t r a b l e " , e s t é q u i v a l e n t à :
• U e s t p a r t o u t d e n s e d a n s X " . E n e f f e t :
- D ' a p r è s le t h é o r è m e d e c c m p l è t u d e , soit c ( a ) u n of n o n v i d e , a « 4>(A]# d o n c T A ^ T, T A n'est p a s u n i v e r s e l l e m e n t v a l i d e , d o n c i l e x i s t e u n s y s t è m e d e v a l e u r s d e v é r i t é h t e l q u e h H A ) 9 o, s o i t h ( A ) « 1 * h ( a j , d o n c a a p p a r t i e n t à a u m o i n s u n u l t r a f i l t r e v a l i d a n t U , s o i t U é o ( a ) , d ' o ù a ( a ) f l U ¿ 0.
• R é c i p r o q u e m e n t , s i U e s t p a r t o u t d e n s e : soit A u n é n o n c é u n i v e r s e l l e m e n t v a l i d e e t a « <1>(A). S i o n s u p p o s e a / 1, a l o r s T a / 0, d o n c a ( l a ) n ( 1 ^ 0 , d o n c
/ V A /
il e x i s t e h t e l q u e h ( t A ) « 1, soit h ( A ) » o c e q u i e s t c o n t r a d i c t o i r e . D o n c a « 1, c ' e s t - à - d i r e A « T .
L'espace de* interprétations 35
E t u d e d e l'Intérieur d o » .
On a les r é s u l t a t s s u i v a n t s :
o l°î S ' i l y a u n e i n f i n i t é d e p r é d i c a t s d e p e i d s n o n n u l s , a l o r s U = B . C e l a r e v i e n t à p r o u v e r : s i a / 0 a l o r s a Cet) fi> il
En e f f e t :
S c i t a « (J)(A) ï 0, d o n c i l e x i s t e h t e l q u e hCa) = hCA) = 1
S o i e n t r^ u n p r é d i c a t d e poi^îs n o n n u l n e f i g u r a n t p a s d a n s A e t a u n i n d i v i d u n ' a y a n t a u c u n e o c c u r r e n c e dans A. D é f i n i s s o n s le s y s t è m e d e v a l e u r s d e v é r i t é
g p a r :
rgCu) = h t u ) p o u r t o u t é n o n c é é l é m e n t a i r e u n o n d o m i n é p a r r ^
\ g C r ^ a a . . . . a ) = 1 q u e l s q u e s o i e n t a „ , . . . , a n 2 p ^ 2 p
> g ( r ^ b a0. . . a ) = o si b / a , q u e l s q u e s o i e n t a . . . .fa
n £- p C. p
g â é f i n i t a l o r s u n u l t r a f i l t r e v a l i d a n t U e t a £ U c a r gCA) = h(AÎ » 1.
S o i t B l'énonce : 3 x ...3x f rPa x0. . . x ] (B = r * a s i p = 1)
2 p * - n 2 p J n
et B s <f>(B). On a g(B) = 1 d o n c 6 « U et a f o r t i o r i 3 a B € U , m a i s p a i r t o u t b ^ a g [ ( b / a ) B ) = o donc ( b / a ) B f U , s o i t itb/aîB € U .
Soit i(eî le s o u s - a n n e a u de E/R c o n s t i t u é p a r les é l é m e n t s i n d é p e n d a n t s de a, Uni(a) e s t u n u l t r a f i l t r e de i(a) q u i c o n t i e n t a e t 3 a 3 e t tous les ~i(b/a)B p e u r b ^ a .
W = ( Uni (a 3) u n &} e s t u n e p a r t i e c o m p a t i b l e d e E/R, e n e f f e t si on avait : Y. 1 8= o p o u r Y É U A iia)
a l o r s y^g d o n c (b/a)y = y < (b/a)B p o u r tout b , e n p a r t i c u l i e r p o u r b / a o n a u r a i t ( b / a ) B £ U n i ( a ) , c e q u i e s t c o n t r a d i c t o i r e .
W é t a n t c o m p a t i b l e , e s t c o n t e n u e d a n s u n u l t r a f i l t n e V d e E/R. On a : a e V , d o n c V e a ( a )
L'espace des interprétations
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3 a B é V , m a i s g fÉV ( c a r l g É V ) e t p o u r t o u t b / a : ( b / a ) B ^ V , c a r l ( ( b / a ) B e V . D o n c V n'est p a s v a l i d e n t .
D o n c a ( a ) ^ U .
2°) S ' i l n'y a q u ' u n n o m b r e f i n i d e p r é d i c a t s , a l o r s 0 .
P l Pa
E n e f f e t : soient r ,...,r H t o u s les p r é d i c a t s , p o s o n s : n-i n
P q pn
1 P l P l 1 PX J 1 Pq Pq 1 Pq J e t a = <|>(A).
On v é r i f i e i m m é d i a t e m e n t q u e a e s t u n a t o m e d e E / R , d o n c a (a) e s t r é d u i t à u n p o i n t { U } (point isolé de X ) , L) e s t n é c e s s a i r e m e n t u n u l t r a f i l t r e v a l i d a n t car a Ie o, d o n c cr(a)c U.
N . B . Ceci p r o u v e q u e d a n s le c a s 1 ° ) , E/R ne p o s s è d e a u c u n a t o m e ( c e s t - à - d i r e X n'a a u c u n p o i n t i s o l é ) .
R a p p o r t s e n t r e Cl e t l'espace de Cantor U ^ A S o i t T l ' a p p l i c a t i o n : U IL)*
U h t e l q u e h s o i t la f o n c t i o n c a r a c t é r i s t i q u e de U.
T e s t b i j e c t i v e .
T e s t c o n t i n u e s u r 14 e n e f f e t :
si G * TT fi e s t u n e n s e m b l e é l é m e n t a i r e n o n v i d e d e U € a u
fi * 1} sauf un n o m b r e f i n i d ' i n d i c e s U i , . . . , u . P o s o n s a l o r s :
u n Ai * u± s i fiu * { 1 }
= l u . si fiu = {o>
et A • Ai A . . «A A ^ e t <x = cf>(A). O n v é r i f i e a l o r s : r (fi) = a ( a ) o M : of d e U.
H a i s F n'est c e r t a i n e m e n t p a s b i c o n t i n u e c a r s i n o n U s e r a i t c o m p a c t e t p a r suite U = x, c e q u i e s t i n e x a c t . O n p e u t a l o r s é t u d i e r les p o i n t s d e d i s c o n t i n u i t é de ? ^ . On a les r é s u l t a t s s u i v a n t s :
L'espaça des interprétations 37
1°) T o u t p o i n t h € l i ' \ p o s s é d a n t l a p r o p r i é t é s u i v a n t e :
)
I1 e x i s t e u n é n o n c é é l é m e n t a i r e v d e p o i d s n o n n u l e t u n i n d i v i d u a f i g u r a n t dans v t e l q u e h ( ( b / a ) v ) * h(v) p o u r t o u t i n d i v i d u b . e s t u n p o i n t d e d i s c o n t i n u i t é d e r \En e f f e t :
soit p a r e x e m p l e h(v) = o, p o s o n s A = 3 x [ ( x / a î v j a l o r s hCA) = o. Soit a » <J>(A), d o n c n a 6 U si U = F*(h), d o n c a h a ) f \ U e s t v o i s i n a g e d e U .
S o i t a l o r s Çl * ïï^u u n v o i s i n a g e é l é m e n t a i r e q u e l c o n q u e d e h , Çl^ = UJ sauf p o u r u n n o m b r e fini d ' i n d i c e s , d o n c i l e x i s t e u n i n d i v i d u bx t e l q u e • QJ o ù vj * Cbi/a)v, d o n c o n p e u t t r o u v e r g « Œ t e l q u e g(vj) - 1, p a r s u i t e aeF'^g), d o n c ? \g) j ai a ) n U .
2°) S'il y a a u m o i n s u n p r é d i c a t de p o i d s > 2 , a l o r s ? * e s t d i s c o n t i n u e e n t o u t p o i n t h e U .
Il s u f f i t de c o n s i d é r e r h ne p o s s é d a n t p a s la p r o p r i é t é p r é c é d e n t , a l o r s s i v e s t u n é n o n c é é l é m e n t a i r e d e p o i d s ^ 2 e t a,b d e u x i n d i v i d u s d i f f é r e n t s f i g u r a n t dans v , e n p o s a n t A * V y 3 x H y / b ) ( x / a ) v ] , o n a n é c e s s a i r e m e n t h(A) * 1, d o n c a ( a ) n U e s t u n v o i s i n a g e d e m o n t r e c o m m e p r é c é d e m m e n t q u e d a n s t o u t v o i s i n a g e é l é m e n t a i r e d e h , il e x i s t e g t e l q u e g (A] s o.
N . B . La d i s c o n t i n u i t é d e F* e n t o u t p o i n t h s i g n i f i e :
P o u r tout s y s t è m e d e v a l e u r s d e v é r i t é h , i l e x i s t e u n é n o n c é A t e l
A*
h(A) - 1 e t p o u r t o u t e p a r t i e f i n i e A° d e A i l e x i s t e g c o ï n c i d a n t a v e c h s u r A° m a i s a v e c g ( A ) * o.
Manuscrit remis le 31 janvier 1967. Daniel PONASSE
Département de Mathématiques Faculté des Science* de Lyon.
