J ACQUES R OLLAND

(1)

J ACQUES R OLLAND

Hypoellipticité partielle pour des opérateurs elliptiques et dégénérés

Publications des séminaires de mathématiques et informatique de Rennes, 1976, fasci- cule 1

« Séminaires d’analyse fonctionnelle », , p. 1-29

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(2)

p a r

J a c q u e s R O L L A N D

O n se p r o p o s e d ' é t u d i e r 1 ' h y p o e l l i p t i c i t ê p a r t i e l l e (i.e 1¹h y p o e l l i p t i c i t é à p a r t i r d ' u n e s p a c e de d i s t r i b u t i o n s C ^ d a n s la d i r e c t i o n n o r m a l e ) d ' u n e c l a s s e d ' o p é r a t e u r s s a t i s f a i s a n t u n e c e r - t a i n e p r o p r i é t é d e q u a s i h o m o g é n é i t é .

S o i e n t L ( t , D , D ) les o p é r a t e u r s d é f i n i s sur IR x lRⁿ p a r t

L ( t, D , D J l a . t ^ q ' M + q J ^D« ^Dj

X ' | a | + j < m ^ X t

k + q j + q ' | a | e H

où : raêlN, q > 0 , q' ^ 0 , k € 2. a v e c k + q m € N et k + q'm € IN et a . £ <C. L e u r s s y m b o l e s L ( t , Ç , t ) v é r i f i e n t la p r o p r i é t é d e q u a s i h o m o g é n é i t é s u i v a n t e :

L < | ; Xq?Ç , Aqt ) « X ~k L ( t ; £ , r )

p o u r t o u t X > 0 , t € IR, Ç € (Rⁿ et t ^ IR.

P l u s i e u r s c a s o n t d é j à é t é t r a i t é s , en p a r t i c u l i e r p a r B o l l e y , C a m u s , H e l l f e r ( [l] , [ 2 ] ) , à s a v o i r :

1 ) q * 1, q ' ? 0 q u i e s t le c a s d e s o p é r a t e u r s d u t y p e de F u c h s ; si L ( t , D , D ) e s t e l l i p t i q u e p o u r t ^ 0 , il e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o -

(3)

e l l i p t i q u e si et s e u l e m e n t si l ' é q u a t i o n L ( t , ^ , D ) u ( t ) = 0 n ' a d m e t q u e la s o l u t i o n t r i v i a l e d a n s

D e p l u s si la v a r i é t é t » 0 n ' e s t p a s c a r a c t é r i s t i q u e p o u r l ' o p é r a t e u r L (i.e k = - m ) o n p e u t r e m p l a c e r " p a r t i e l l e m e n t hypo*- e l l i p t i q u e 1 1 p a r " h y p o e l l i p t i q u e 1 1 .

2 ) q ^ 1 q^f - 0 . S o u s d e s h y p o t h è s e s d ' é 1 1 i p t i c i t é o n o b t i e n t (cf [ X ] ) 11h y p o e l l i p t i c i t é p a r t i e l l e et o n m o n t r e q u e c e s o p é r a t e u r s ne s o n t p a s h y p o e l l i p t i q u e à p a r t i r d ' e s p a c e de d i s t r i b u t i o n s q u i n e

0 0

s o n t p a s C d a n s la d i r e c t i o n n o r m a l e .

L e s a u t r e s c a s , q u e l'on se p r o p o s e d ' é t u d i e r i c i , s o n t l e s s u i v a n t s :

1 ) 0 < q < 1 et q'^> 0 . O n u t i l i s e u n e m é t h o d e p e r m e t t a n t d e se

r a m e n e r au c a s q^s 1 et q'> 0 .

2 ) q > 1 et q'> 0 . O n i m p o s e u n e r e s t r i c t i o n sur la c l a s s e é t u -

d i é e de m a n i è r e à ce q u e la p a r t i e de l ' o p é r a t e u r la 1 1 m o i n s d é g é n é - r é e 1 1 v é r i f i e a u s s i u n e p r o p r i é t é de q u a s i h o m o g é n é i t é , o n é t u d i e d o n c

L ( t , D , D ) = l a . t ^k ⁺ ^⁺ ^ l ^a l ^D ^a DJ

x t | o | ï j < m ^a ^{j X c}

r r ' < r | a | + r¹j

et o n d i s t i n g u e d e u x c a s q u i c o r r e s p o n d e n t à d e u x f o r m e s de l ' o p é r a t e u r :

L , < t , D ^x , D^t) - l . . k . q i . q ' l a l ^Da ^D J

1 x c r | o | + r ' j - r r '^: * '

(4)

r 1

a) q- 0!1 ~ ^ 1 • S o u s d e s h y p o t h è s e s dT e l l i p t i c i té on m o n t r e q u e c e t o p é r a t e u r e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o e l l i p t i q u e et o n d é m o n t r e q u ' i l nTy a p a s h y p o e l l i p t i c i t é à p a r t i r d ' e s p a c e de d i s t r i b u t i o n s

0 0

q u i n e s o n t p a s C d a n s la d i r e c t i o n n o r m a l e . r '

b ) q - q ' - < 1 . S o u s l e s h y p o t h è s e s d ' e l l i p t i c i t é o n m o n t r e q u e L ( t , D ,D ) e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o e l l i p t i q u e si l ' é q u a t i o n

X w

L j ( t , Ç , Dt) u ( t ) • 0 n ' a d m e t q u e la s o l u t i o n t r i v i a l e d a n s ^f(lR).

Si k - m = - q r et si q'> 1 L ( t , D ,D ) e s t h y p o e l l i p t i q u e (cf

x t

G r u s i n [ 4 ] ) et si k * - q r L ( t , D ,D ) e s t é g a l e m e n t h y p o e l l i p t i q u e . x t

I. - N O T A T I O N S E T R E S U L T A T S .

O n c o n s i d è r e l e s o p é r a t e u r s d é f i n i s sur I x 8 o ù I e s t u n o u v e r t d e IR c o n t e n a n t 0 et ft u n o u v e r t de Rn, p a r :

L ( t , x , Dx, Dt) = Y a ( t ^ t ^ ^ ' M ^ D J

x c | a | + j < m a j x c

k + q j + q ' I a I £ IN

où t € I et x € fi, m G(N, q > o , q'>, o , k a v e c k + q m € IN et k + q 'm é iN .

O n s u p p o s e q u e l e s c o e f f i c i e n t s a . s o n t C d a n s I x ft et d 3

q u e l ' o p é r a t e u r L s a t i s f a i t la

C o n d i t i o n 1 L ' o p é r a t e u r L ( t , x , D , D . ) e s t e l l i p t i q u e p o u r t ¿ 0

• x c d a n s I x ftc'est à d i r e :

p o u r t o u t ( t , x ) Ql x ft, t ^ 0 , p o u r t o u t (x,£)<ciR x tR \ { 0 } o n a : l a . ( t , x ) t ^ i + l M a l ^ça TJ , Q

| a | + j « m

(5)

O n n o t e L ( x , D ,D ) l ' o p é r a t e u r d é f i n i p a r X v-

L ( x , D ,D,.) » I a . ( 0 , x ) t k+ q j+ q, , a| D a D j

O n s u p p o s e q u e c e t o p é r a t e u r s a t i s f a i t la

C o n d i t i o n 2 Lfo p é r a t e u r L ( x , Dx, Dt) e s t e l l i p t i q u e p o u r t ^ 0 d a n s I x fi cfe s t à d i r e : p o u r t o u t ( t , x ) € I x fi, t f 0 et p o u r t o u t ( T , £ ) £ I R X Rn \ { 0 } o n a :

I a . ( 0 , x ) tk +q J+ q, la l Ça T$ t 0

| o | + j - m a j

R e m a r q u e * L a c o n d i t i o n 2 e n t r a i n e la c o n d i t i o n 1 d a n s u n v o i s i n a g e de t - 0 é v e n t u e l l e m e n t p l u s p e t i t q u e I x fi.

(A) C a s 0 < q < 1 , q' >, 0

D a n s ce c a s n o u s f a i s o n s l ' h y p o t h è s e s u p p l é m e n t a i r e s u i v a n t e :

C o n d i t i o n 3 L ' o p é r a t e u r 7 a . ( 0 , x )^t^{k + (}"+q ' 'a' Da D j v é r i f i e

r i i ^ . ai x t

I a

I + j^{= m}^J

p o u r t o u t x £ f i et p o u r t o u t a) £ îRn a v e c | co | « 1 l ' é q u a t i o n I a . ( o , x ) tk+^+q' lal va Dtj v ( t ) = 0

| a | + j - m a j t

n ' a d m e t q u e la s o l u t i o n v * 0 d a n s ^f(iRn)

O n a a l o r s le r é s u l t a t s u i v a n t :

(6)

T h é o r è m e 1 -1 . Si l ' o p é r a t e u r L ( t , x , D ,D ) v é r i f i e l e s c o n d i t i o n s 1, 2 et 3 il e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o e l l i p t i q u e d a n s I x Q c ' e s t à

00

d i r e : p o u r t o u s o u v e r t s I ' c I et fl'Cfi , p o u r t o u t u é C ( I ; f f lf (fl) tel q u e L u e C U ^f x ^ ) o n a : u £ C°° ( t ' x fi1 ) .

P o u r q > 1 o n se l i m i t e a d e s o p é r a t e u r s de la f o r m e :

L ( t , x , Dx, Dt) - î a . ( t , x ) tk + ^ + q , l a l D t D j f | a | + r ' j > r r1

et ô n d i s t i n g u e d e u x c a s q u i c o r r e s p o n d e n t à d e u x t y p e s p o u r 1f o p é r a t e u r

L, ( x, D , D ) = I a . ( o , x ) tk + q j + q ' l a l D a D j

1 x Z r | a |+r ' j = r r ' a j x '

r ' c e s d e u x c a s é t a n t d é t e r m i n é s p a r la v a l e u r de q - q' -

D a n s l e s d e u x c a s o n f a i t l ' h y p o t h è s e d ' e l l i p t i c i t é g é n é r a l e sur L ( x , Dx, Dt) :

C o n d i t i o n 2 ' L ' o p é r a t e u r L ( x , D ,D ) v é r i f i e : p o u r t o u t ( t , x ) é l x Q

• x t

t ^ 0 et p o u r t o u t ( T , Ç ) € 1R x Rn\ { 0 } o n a :

I a , ( 0 . x ) tk+ «+*f ' lal ça Tj , Q

a +j<:m a j

r a + rfj > r r '

S u i v a n t l e s c a s o n f a i t d e s h y p o t h è s e s s u p p l é m e n t a i r e s :

(B) C a s q - q' - j> 1, q > 1 , q'> 0 .

D a n s ce c a s o n s u p p o s e q u e L . ( x , D ,D ) v é r i f i e : 1 X

C o n d i t i o n s 3 ' P o u r t o u t ( t , x ) € I x Œ , t ^ 0 e t p o u r t o u t (x

,1)

^{€ IR x IR}ⁿ^{f o l}^{o n a :}

(7)

L . ( x , Ç , T ) = I a . ( o ,X ) tk +^ +^ la l ça 0

1 r | a | + r ' j-rr» 3

T h é o r è m e .1.2. Si l ' o p é r a t e u r L ( t , x , D ,D ) v é r i f i e l e s c o n d i t i o n s 1 , 2 , 21 et 3f il e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o e l l i p t i q u e d a n s I x fi c ' e s t

CO

à d i r e : p o u r t o u s o u v e r t s 11 d I et fi 1 CL fi , p o u r t o u t u £ C ( I ; «£>'(fi ) ) tel q u e L u é C ^ C l ' x fi1) o n a : u £ C ° ° ( I ' x fi').

(C) C a s q - q ' j ^ < 1, qf> o , q>1

O n n o t e a = k + ( q - l ) r et ô = qT - £ , ( q - l ) .

Sur lfo p é r a t e u r L . ( x , D >V r) n o u s f a i s o n s l e s h y p o t h è s e s 1 x II

s u i v a n t e s :

C o n d i t i o n 3 " P o u r t o u t ( t , x ) € I x fi, t £ 0 et p o u r t o u t ( x , C ) € IR x IRn \ { 0 } o n a :

L . C x . Ç . x ) =*

7

a

. ( 0 , x ) t

^{a + 5}

I

^a

l

⁺

^ e ^ *

⁰

1 r | a | + r ' j = r r ' a j

C o n d i t i o n 3l f y P o u r t o u t U) £ ( Rn, a v e c 10) | = 1 , et p o u r t o u t x £ f i l ' é q u a t i o n L j ( x , 0 3 , Dt) u ( t ) » 0

n ' a d m e t d a n s (R) q u e la s o l u t i o n u = 0

T h é o r è m e 1-3 Si l ' o p é r a t e u r L ( t , x , D .D ) v é r i f i e les c o n d i t i o n s 1 , 2 , 2 ' , 3f l, 3f" il e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o e l l i p t i q u e d a n s I x fi

(8)

c ' e s t à d i r e : p o u r t o u s o u v e r t s IT C £2 et £2 ' C £2 , p o u r t o u t u c C°°(I,a)' (£2) tel q u e L u é C ° ° ( I^t x £ 2 ' ) a l o r s o n a : u € C ° ° ( I ' x £ 2 ' )

R e m a r q u e D a n s t o u s l e s c a s , il se p e u t q u e l e s c o n d i t i o n s i m p o s é e s n e s o i e n t v é r i f i é e s q u e p o u r t > 0 . S'il e n e s t a u s s i , en n o t a n t

I = { t € I ; t _ > 0 } o n o b t i e n t l e s r é s u l t a t s s u i v a n t s :

C D C a s 0 < g < 1 , g' » 0

T h é o r è m e 1 . 4 . Si l ' o p é r a t e u r L ( t , x , D ,D ) v é r i f i e les c o n d i t i o n s

—" —— ^—— —m —— ~— _ X t

1 , 2 et 3 a f f a i b l i e s , c ' e s t à d i r e p o u r t > 0 , a l o r s L ( t , x , D ,D ) x t e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o e l l i p t i q u e d a n s I x £2 .

r T

CD

C a s q - q^f - :> 1 , q ' > 0 , q> 1 •

T h é o r è m e 1 . 5 . Si l ' o p é r a t e u r L ( t , x , D ,D ) v é r i f i e les c o n d i t i o n s 1 , 2 , 2 ' , 3 ' a f f a i b l i e s , c ' e s t à d i r e p o u r t > 0 , a l o r s L ( t , x , D ,D ) e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o e l l i p t i q u e d a n s I x Q.

r '

Ce) C a s g - g' - < 1 , g'> 0 , g >1

T h é o r è m e 1.6. Si l ' o p é r a t e u r L ( t , x^fD , D^t) v é r i f i e les c o n d i t i o n s 1 , 2 , 2 ' , 3 " , 3^f" a f f a i b l i e s , c ' e s t à d i r e p o u r t > 0 , a l o r s L ( t , x , D ,D )

x t e s t p a r t i e l l e m e n t h y p o e l l i p t i g u e d a n s I x £ 2 .

Il e s t é v i d e n t g u e l e s t h é o r è m e s 1 . 1 , 1.2 et 1.3 s o n t d e s c o r o l l a i r e s d e s t h é o r è m e s 1 . 4 , 1 . 5 , 1*6, c ' e s t p o u r g u ô i n o u s n e d é m o n t r e r o n s g u e c e s t r o i s t h é o r è m e s .

(9)

I I . P R E L I M I N A I R E S .

I I . 1 . E s p a c e s d e d i s t r i b u t i o n s . P o u r sçtR, H (fR ) e s t l ' e s p a c e

H^S( J Rⁿ) =* {uC$'(fRⁿ) ; (1 + | Ç |²)^S ^/² u ( C ) ^ L²( f Rⁿ) }

P o u r s <£ 1R et r £ I R , H^S(TR, H^r (fRⁿ) ) e s t l ' e s p a c e s/

HS( / R , Hr( I Hn) ) = {u G-S1 (IR, Hr (lRn ) ( 1 + T2) 2£ Ft u'Ct) L2 ((R, Hr (tRn) ) }

P o u r s é/R et r<2ïR, H^{S , r}( ( R x / Rⁿ) e s t l ' e s p a c e

H^{S , r}< Î R x Rⁿ) = {u4^0ïbdRⁿ) ; +^{2 + T 2})^{3 / 2}( l + | Ç| V ^ ^ T U(T,Ç)L² 0RxRⁿ) } t ,x

N o u s a u r o n s b e s o i n d u l e m m e s u i v a n t :

i CD XI

L e m m e 2.1 P o u r t o u s y £ C^Q (JR x I R ) , s £ FR, x £ IR, il e x i s t e u n e c o n s t a n t e C ( s , r , ^ ) > 0 t e l l e q u e p o u r t o u t u £ HS , r( f R x Z Rn) o n a i t :

s r n 1 S ^ p U I .|| u|| + C t s , r & ||u|| , H ' (FRxiR ) H^S'^r( I R x Rⁿ) H^S'^r 0RxiRⁿ)

(si r = 0, on peut remplacer dans le second membre ||u|| . p a r H^S'^r ^_¹ ((R»Rⁿ)

il « M s - ,ⁿ • H^{S 1} (!RxlRⁿ)

s r n

P o u r s > _ 0 , H ([R, H (IR ) ) s ' i n j e c t e a l g é b r i q u e m e n t et t o p o - l o g i q u e m e n t d a n s H^{S , r}^^S( C R x I Rⁿ) .

N o u s u t i l i s e r o n s l e s e s p a c e s s u i v a n t s :

(A) C a s . o u 0 < q < 1 .

O n n o t e a = k + ( q - l ) m et i » q' - q + 1

Si p ÇïN et s € ( R o n n o t e W * j J,S (IR+ x f Rn) l ' e s p a c e

(10)

|a|+j £ m , а + ô |а{+ j € íN, О ^ h < p m u n i de la n o r m e c a n o n i q u e .

r¹

( J ) C a s où q - q¹- ^> 1 a v e c q > 1 et q^T> 0 .

Si s € JR o n n o t e W ^^,^q~^q (ÏR⁺ x î Rⁿ) l ' e s p a c e

W^r'^q-^{q f}( f R x.IRⁿ) = { u ^ L²( t R , H^{r l + S}( ( Rⁿ) ) ; t^q-^{q t}r^{f ) j D j}u € L²( I R H^{S +} Í ⁽ ^R ^ > (iRⁿ)

S + U + ' £ +

j = 0,...,r m u n i d e la n o r m e é v i d e n t e .

O n n o t e W^m^,^r'^q^,^q' ( I R⁺x I Rⁿ) l ' e s p a c e

wm , r , q , q ' x ^ = £ fi yr , q-q ' ^ qj 6 r . q - q ' ^ x Rn^}J s + *• s + t s + m u n i d e la n o r m e e v i d e n t e .

r¹

(£) C a s où q - q'- < 1 a v e c q > 1 et q'> 0 .

A v e c а • к + ( q - l ) r et ô « q¹ - ""iCq-l) si s é(R et p e (N o n n o t e W^r^,?^,^S0 R ^ x l Rⁿ) l ' e s p a c e :

0 , 0 +

£LZJl+ I q ¿ I +

W^r' P >^S< S R x í Rⁿ) - i u e í « e R⁺x l R ⁿ) ¡ t ^ H + J D *^{+ j} u « L²C f t , H * № ° )

а , о + u + t +

r | o | + r ' j $ r r ' , a + ô | a | + j € i N , 0 £ h < p m u n i d e la n o r m e é v i d e n t e .

O n n o t e W^m'^r;^p.^{i S}( Í R x C Rⁿ) l ' e s p a c e : q,q ,k +

wm , r , p s ^^я с^uⁱ,^уг , р ,⁸⁽-^х⁽^Rn⁾^tq J^D j ^u ^€ ^W r , P , s ⁽ ^x ^l ^R ⁿ ) <

q,q ,k + <- а,о + t a > 0 +^J

j = 0 , . . . , m - r m u n i de la n o r m e é v i d e n t e .

(11)

I I . 2 . S t r u c t u r e l o c a l e d e s é l é m e n t s d e 0°° (fR⁺, £t) ' ((Rⁿ) )

O n d é s i g n e p a r C (IR+, 2) 1 (IRn) ) l ' e s p a c e d e s f o n c t i o n s

i n d é f i n i m e n t d i f f ê r e n t i a b l e s sur IR+ à v a l e u r s d a n s 1 ' e s p a c e ^ (lRn) d e s d i s t r i b u t i o n s sur IRn.

O n d é m o n t r e l e s l e m m e s s u i v a n t s :

L e m m e 2 . 2 . E t a n t d o n n é s u é C°°(m ,&>f tfRn) ) ,4> £

C°°<m

^{x f R}ⁿ) m €(N, o < q < l , q ' > 0 a v e c m q € I N et m q ' € \ N , p Ê1N il e x i s t e s £ JR t e l q u e (j) u £ W ™ ' ^5 S (IR+x f Rn) a v e c O « k + ( q - l ) ? e t 5 » q^f - q+1 .

L e m m e 2.3 E t a n t d o n n é s u É C * (rtt ,S>^f (|Rn) ) , $ £ C°°(Œt x f Rn) m € Î N , r € W ,

— — — - + o +

r1 € IN, q > 1 , qf> 0 a v e c m q £ IN m q ' € IN , rq € IN, r ' q ' <: IN il e x i s t e s ^iR t e l q u e <{> u 6 Wm' r ' q 9 q ' (CR x ( Rn) .

s ^*

L e m m e 2 . 4 . E t a n t d o n n é s u € C°° (1R⁺ ' (tRn) , * € C ~ (lR⁺x I Rn) m € \ N , r £ IN , r'€ IN, k 2 , q > 1 , qf> 0 a v e c k + • m q €IN, k + m q1 € IN, k -+ rq € N ,

k + r ' q ' O N , p o u r t o u t p € H il e x i s t e s € IR t e l q u e <f> u € Wm 5 r J f 5 S (fR x î Rn) . q -, q , k- + L e s d é m o n s t r a t i o n s s o n t b a s é e s sur le f a i t q u e si p £ 1 N , il e x i s t e s € t R t e l q u e <f> u < S HP( R+, HSQ Rn) ) (cf .

I I I . D E M O N S T R A T I O N D E S R E S U L T A T S

C a s 0 < q < l , q y > 0 . D é m o n s t r a t i o n d u t h é o r è m e 1 . 4 . P o u r d é m o n t r e r ce t h é o r è m e o n u t i l i s e la m é t h o d e d e s

q u o t i e n t s d i f f é r e n t i e l s t a n g e n t i e l s à p a r t i r d ' u n e e s t i m a t i o n a p r i o r i .

(12)

I I I . A . l . Une e s t i m a t i o n a p r i o r i .

P r o p o s i t i o n 3.1. On suppose que l'opérateur L(t,x,D ,D ) v é r i f i e les h y p o t h è s e s 2 et 3. Pour tout X ^Q £ il existe un entier p^Q> 0 tel que pour tout entier P J ^ P^Q et pour tout sÇfR il existe deux c o n s t a n t e s C > 0 et e > 0 telles que si

p,s p

u ^ W ^^mi^{p , S}( ( R . x iRⁿ) avec supp u C { ( t , x ) £ l x Q; || (t,x) - (0,x ) ||< e }

Q j o * • o p

on ait :

(ici : O » k + (q-lOm, ô =* qT - q + 1 ) .

D é m o n s t r a t i o n . N o t o n s ) l^fo p é r a t e u r

4 ( t^fx , D^x, D^t) « ¡ a . í t . x ) ^ ' ! ^ ; D^tJ

X ' |o|+j-m ^a ^{2 X C}

En r e m a r q u a n t qu'il peut encore s'écrire

(a|+j*m

on o b t i e n t , d'après la p r o p o s i t i o n 3.1 de £ l j , que :

pour tout x^ Cs û , il existe un entier VQ^ 0 tel que pour tout entier p > p et pour tout s € (R il existe deux constantes C > 0

— o p , s et e > 0 telles que si u £ W^m ^, £ ^,^S (&_, x îRⁿ) avec

p^H 0,6 +

supp u C { (t ,x) <2 I x Q ; Il (t ,x) - (0,x ) Il < z } on ait :

• r 1 1 0 p

M u II < C S F | | D^h^ u | | p - h + l l u l l , 1

(13)

On achève alors la d é m o n s t r a t i o n de la p r o p o s i t i o n 3-1 en r e m a r q u a n t que pour tout n > 0 il existe C^-> 0 tel que si

est assez petit et si supp U C {(t,x)£I⁺ x Q; || ( t, x ) - (0 , X^q) ||< e } on a :

f | | D^{t h}U - £ ) u|| <n||u|| + C ||u||

h=° L²( R⁺, ^ T ^ f l R^{1 1}) ) W ° ; P '^S( t R⁺x Rⁿ) W ^ P '^{S _ 1}( ! R^{+ X}Rⁿ)

I I I . A- 2 . R é g u l a r i t é p a r t i e l l e .

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . Si u É W ™ ' £^{, s}( i R⁺ x !Rⁿ) avec supp u C{|| (t,x) - (0,x^ ) || <e ^

h 2 ² # ⁺ ^{s + 1}

et si D £ Lu <2L ( R⁺, H (tR^U)) pour 0 < h < p alors

u <c W ^ ' ^S ⁺ ¹ Q R ⁺ x ! Rⁿ) .

D é m o n s tration : On a p p l i q u e la m é t h o d e des q u o t i e n t s d i f f é r e n t i e l s tangentiels à partir de l'estimation a p r i o r i de la p r o p o s i t i o n 3 . 1 .

I I I . A . 3 . D é m o n s t r a t i o n du théorème 1.4.

Soit u ô C ^ C l ; ¿0» tel que L u £ C U ' x fi^f) et soit

(t ,x ) € I^f x fi^f. On doit m o n t r e r que u est i n d é f i n i m e n t d i f f é r e n t i a - o o

ble au point (^t⁰>^x^Q) *

Pour t- f 0 le r é s u l t a t est c l a s s i q u e p u i s q u e l'opérateur L est e l l i p t i q u e en tout point (t,x) pour lequel t ^ 0.

Si t * 0 soit V un v o i s i n a g e o u v e r t de (0,x ) avec

o o V C C I? x fî1 et soit <J> G ob ( If x ftf) avec * - 1 sur V. D'après le

(14)

l e m m e 2 . 2 , p o u r tout e n t i e r p ^ O il e x i s t e s € iR tel que

* u € ^ ' ô ' 3 ( f R+ x f Rn) . E n p a r t i c u l i e r , p o u r tout cp <2r <§D(V)

cpu^; - <j> u £ W ^ ' g *^S ( R⁺ x /Rⁿ) . C h o i s i s s o n s P il P^Q où p^Q est l ' e n t i e r a s s o c i e à X q d a n s la p r o p o s i t i o n 3.1 et c p € S > ( V ) de la f o r m e

<fj (t) f 2( x ) a v e c supp <f C { ( t ,x) / || ( t ,x) - ( 0 , x ) ||<e }. On v é r i f i e a l o r s que L u € L2( Œ t+ ^ " ^ T + s + 1 ((Rn) ) p o u r 0 < h < p .

Il en r é s u l t e : <p u € W ^,g,s+1( l R+ x I Rn) ; en i t é r a n t on a f u £ W £ ' £, S (IR+ x I Rn) p o u r tout s € R .

C o m m e H W ™ ' ^ 8 ^ x I Rn) C C°°(IR+ x IRn) en on d é d u i t

p>p 9

s£]R

que u est i n d é f i n i m e n t d i f f é r e n t i a b l e au p o i n t ( 0 , Xq) ; dTo ù le t h é o r è m e 1.4.

(B) C a s q > l , qf> 0 , q - q!- >\. D é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e 1.5.

P o u r d é m o n t r e r ce t h é o r è m e on u t i l i s e la m é t h o d e des q u o t i e n t s d i f f é r e n t i e l s à partir d ' u n e e s t i m a t i o n a p r i o r i .

I I I . B . 1 . U n e e s t i m a t i o n a p r i o r i

P r o p o s i t i o n 3 . 3 . P o u r tout XQÇ Q , il e x i s t e u n e c o n s t a n t e c > 0 et p o u r tout s € [ R , il e x i s t e u n e c o n s t a n t e C > 0 t e l l e que si

s , s

u € W ™ 'r , q'q' ( I R+ x f Rn) a v e c supp u C { ( t, x ) € I+x Q ; || ( t, x ) - (o , X q ) || < e }

on a i t :

wmfr , q , q ( j R ^ s ,Ê L 2 f Y i s ^ ) ) w* , r , q , q (R - ^ s + n + s-1 + (En f a i t , p o u r p l u s de s i m p l i c i t é o n a d i v i s é l ' o p é r a t e u r L par t ^+ q r

(15)

D é m o n s t r a t i o n « P a r t r a n s f o r m a t i o n de F o u r i e r t a n g e n t i e l l e on é t u d i e l ' o p é r a t e u r d i f f é r e n t i e l o r d i n a i r e , d é p e n d a n t du p a r a m è t r e Ç £ R R^N

|a|+j<m^J r | a | + r ' j s r r '

N o u s a v o n s d i v i s é l ' o p é r a t e u r L par t^q ce qui est p o s s i b l e car on é t u d i e 1 ' h y p o e l l i p l i c i t é p a r t i e l l e .

1 ° ) E t u d e p o u r | Ç | ^> A , (A s e r a fixé u l t é r i e u r e m e n t )

P o u r Ç f i x é d a n s îRⁿ n o u s étudierons L ( X^Q, Ç , D )

sur l ' i n t e r v a l l e £ o , ô £ et n o u s s o m m e s a m e n é s à r e c o u v r i r cet i n - t e r v a l l e p o u r les i n t e r v a l l e s [ o , x £ e t 3 ^T 2 > C ^A ^V ^E ^C^T^^{5 5} ^ J Ç ) * !¹

( P < Ô 2^<^ i s e r o n t c h o i s i s u l t é r i e u r e m e n t )

a) E t u d e sur Ç o , T ^] Q

Si L j ( x^Q, Ç , D^t) est l ' o p é r a t e u r

, , a a j ( o , V q i t q ' | a | - q ' r ' î a 4 r|

a I

+r j =rr ' J

on a, g r â c e a u x c o n d i t i o n s 2 , 2 ' et 3 ' , d ' a p r è s £2] : Il e x i s t e u n e c o n s t a n t e C > 0 t e l l e que ;

r ' r'

? s + - ( r - j ) (q-q'£ )j .⁰ „ ,

l O + H I ² ) lit * D j v | |² < C {(l + \ï\²)^S\\Lv\\².

0 < j < r L OV L $ 0

«, s-l+-'(r-j) ( q - q * - ' ) . „

• I

< H ? I

²

>

^r H T^R D J , | |²

r '

2 (q-q'i)j 1²

p o u r tout v é { v € : L ( Î R+) ; t r Dt Jv € l / ( R+) } telle que supp vc[p,T]

(16)

Si l'on n o t e M ( t , D^t) l ' o p é r a t e u r

m - r a . (o,x ) . .

2=o o, r o

on a, g r â c e a u x c o n d i t i o n s 2 , 2 ' et 3 ' , l ' e s t i m a t i o n a p r i o r i s u i v a n t e

O + U l V T

U t

^{q j} D J ( L , v) H² < C(1⁺ | Ç |²)^S| | M o L j v H²

j- o C L2( i R+) l/(fR+)

pour tout v tel q u e supp v

N o u s d e v o n s e s t i m e r la q u a n t i t é s + - ( r - * ) , , r \ £

r m - r - r (q-q - ) «<. o I I (1 + U I²) l i t ' ' ' D * { t ^ D ^ v } | |²

*-° J⁼° L²Q R⁺)

en s u p p o s a n t q u e supp vC[o,T j Q

D e s e s t i m a t i o n s p r é c é d e n t e s o n o b t i e n t :

j T ( . | î | 2 ) , + i , ( r " 1 > 1 | t ( , - , , ' , ) t D Î f « , J » i ' > l l î 2 a i )

< c { (i⁺ U I ² ) ^S ||L v | |2 2 • (i + l £| V I K L - M O L . H I \

'

^V^{( I R}⁺⁾¹

l / < &

⁺

)

r-1 , s-l+jj'(r-j) ( q - q ' ; )^£ , 2

+ I ( 1 - U I²) r l U^r D* v | |²^{2 +} }

*-o I» (IR )

O n m o n t r e a l o r s que pour tout f| > 0 il e x i s t e A > 0 , ô > 0 et ôj > 0 tels q u e si supp v C C°>^Ti C^{e t s} î I £ I 1.^A ^o ^{n a 2}

r' r' il

o⁰ r m-r⁰ s+-(r-A) (q-q^f- )⁰ • • o

( H d V l l (L-M o L,)v|p < T, X I 0 + U I²)^R HT^R D J t«D^{J t}v||²²

L²(tR⁺) il=o j- o^L ° V

(17)

Il est a l o r s f a c i l e de m o n t r e r q u e l ' o n a : r m - r⁹ s+ 5(^r~ ^ ) ( q - q^Tz ) ^A o « 4 4 ?

I I < i . | 5 l

²

)

^r

II t

^r

D * V||

²

j = ° L²( f R⁺)

r»

. , r-1 m-r , s-l+- Xr-l)

< C {(l + |ç| ) || L (x , Ç ,D ) v ||

²

+ 1 I ( H 5 I

²

) Il

° L^Z( I R⁺) -o j-o

|

^{l t}

( q - q i * )

^£

D* t ^ V | |

² ²

b ) E t u d e sur [ T , ô [ . _l

O n n o t e • 5^1^! a v e c ô2< «S j et on é t u d i e l ' o p é r a t e u r L ( xQ lÇ , D ) de Hm( T2, 6 ) d a n s L2( T2, 6 ) .

D a n s l ' é q u a t i o n h L ( x -,Ç,D ) v « h f f^tq ' r ' | C | r ' q'm, _.m -r 1,

où h ( Ç , t ) =

I

^{- i -}

L L L J / f c

on fait le c h a n g e m e n t d e - v a r i a b l e s d é f i n i par

h ( Ç^ft ) d t dy

et le c h a n g e m e n t de f o n c t i o n s

w ( y ) = h² t^q^m"^q^T^r^?v ( t ) f j (t) = h ~ ^ f ( t ) .

On est a l o r s r a m e n é à l'étude d'une é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e o r d i n a i r e à ^ c o e f f i c i e n t s peu v a r i a b l e s 11 (cf |[5j) et a i n s i o n o b t i e n t pour L ( x , Ç , D } l ' e s t i m a t i o n :

o t

, î ( H | Ç |2)S+l « l | | t ^,la| - "^{, r}V v | |^{2 2}l C(,.|C|2)a||L(x . C D J v H2,

|a|+jîm^c L °^c L (JR⁺)

(18)

c ) E t u d e sur [o , 6 Q .

On m u n i t l ' e s p a c e w m>r> < l ' < ï (0, 6 ) d e la n o r m e d é p e n d a n t de Ç s

r r m-r 9 s+^(r-il) ( q - qf5 ) \ • • , 2

[ i L j l ( H 5 | 2 ) I I .

^ W V ' W ; *

|a|+j<m 2 + ^

GO

Soient <{>j et 4> ^ deux fonctions de classe C sur R telles que : 2 2

<f>j + 4>2 » 1 a v e c <fr (y) 8 0 si y ^ 6] - p et <t>2(y) " ° s i y < ( 5 2 + P O Û 0 < p < 2

1 / , O n p o s e a l o r s , p o u r i = 1 , 2 , ¥ ¿ ( 0 - ^ ( t j ç l q ) .

S o i t a l o r s v £ wm 'r ,q'q ( 0 , 5 ) avec supp v c [0,ôQ o n a :

' M l ' m r o c ' < C{(l + |Ç|2)S(||L(«f,v)||2 2 +| | L ( ^2v ) | |2

s,t, + +

+ V> H2 r q q'

d'où

Hvl l m r a o ' i C < <1 + l5l V l|L(x Ç, Dt) v|| + ||v|| , W m ' r , q , q 0 ' L2( î R+) WM: 5 'q'q( 0 , 5 ) -

S , ç S 1 , q

2 ° ) E t u d e p o u r |g[ ^ A .

S o i t Çq & £Rn tel que | ^o) > _ A . P o u r tout £ € i Rn tel que

|Ç| < A o n a :

(19)

I I * Il \^{r a}^G. 1 C ||v | |2 m . < C { ( 1+| Ç |2)8 ||L(x Ço,D )v||2 W B ' ^r » ^q ^, ^q ( 0 , 6 )^wm , r , q , q⁽ l^{f i )} o o t ^L 2 ⁽ ^| ^{R }}

s,^{Ç S , Ç}^Q⁺

+

Il

^v

H

_»²

, )

wm , r , q , q ^ ^ !

. - i , ç^o J

d ' où :

M 'n, r q q' C { ( l⁺| C |²)^S| | L ( x^O, Ç , D^t) v | |^{2 2} . ||v||² l

wm , r , q , q ⁽ ⁰ ^j ^ô ⁾ o t ^L ^{z ( 1 R}

) w

^m

' ï '

^q

'

^q (0,5) >

3°) F i n dé la d é m o n s t r a t i o n de la p r o p o s i t i o n 3 . 3 .

S o i t u é W^m ^, ^r' ^q ^,^q ^, ( R x (Rⁿ) a v e c supp u C fo,ô[ x Ï Rⁿ.

S ' **

A

En a p p l i q u a n t les e s t i m a t i o n s p r é c é d e n t e s à u ( t , £ ) et en i n t é g r a n t par r a p p o r t à £ € J Rⁿ on o b t i e n t :

li

^u

II

^f < C { ||L(x ,D ,D JU||⁰ + Hu|| ,. I

"^wm , r , q , q ' ⁽ ^R n ^r o t L OR ,H^S<fRⁿ) w * *^{, q , q} <JR x IRⁿ) ' s + + s-l +

En utilisant le lemme 2-1 on atteint le cas des coefficients variables et a i n s i on a la p r o p o s i t i o n 3 - 3 .

I I I . B . 2 . R é g u l a r i t é p a r t i e l l e .

P r o p o s i t i o n 3 . 4 . O n s u p p o s e que l ' o p é r a t e u r L ( t , x ; D^x, D^t) v é r i f i e les c o n d i t i o n s 2 , 2 ' et 3 ' . P o u r tout x Q Q, il e x i s t e u n e c o n s t a n t e

o

e > 0 t e l l e que si u £ w ^ ' ^r ^, ^q ^, ^q (îR⁺ x ( Rⁿ) a v e c supp u c { ( t, x ) £ l⁺ x ft U ( t , x ) - ( 0 , X^q) | | < e } ) et L u £ L²( t R⁺, H^{S + 1}( I Rⁿ) ) p o u r s£iR a l o r s

u £ W ^M ! 5 ' ^Q ' ^Q V x l Rⁿ) . s+1 +

(20)

D é m o n s t r a t i o n . E l l e c o n s i s t e à a p p l i q u e r la m é t h o d e des q u o t i e n t s d i f f é r e n t i e l s t a n g e n t i e l s à p a r t i r de l ' e s t i m a t i o n a p r i o r i o b t e n u e à la p r o p o s i t i o n 3 . 3 .

I I I . A . 3 . U n r é s u l t a t de d é r i v é e s i n t e r m é d i a i r e s .

L e m m e 3 . 1 . S o i e n t s É I R , s ' € (R et p <c (N. Si u £ L²( i R , H^S( / Rⁿ) ) et si D^P u £ L²( J R⁺, H^S' ( l Rⁿ) ) a l o r s D J u € L²( t R⁺, H^SP^{( S} ' ~^{S }} ((Rⁿ) ) .

I I I . A . 4 . D é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e 1.5.

S o i t u €

c T l

+

,

2>^f (fi) tel que L u £ C ? I | x fi') et soit

( t^Q, x^Q) € 1^ x fi'. O n v e u t m o n t r e r que u est i n d é f i n i m e n t d é r i v a b l e au p o i n t ( t^Q, X^Q ) .

P o u r t é 0 le r é s u l t a t est c l a s s i q u e en u t i l i s a n t la o

c o n d i t i o n 1.

P o u r tQ =* 0 , soit V u n v o i s i n a g e o u v e r t de (0,x ) d a n s I' x fi' avec V C C I' x fi' et soit à C C°° ( I ' x fi') avec <f> * 1

+ + o sur V . D 1 a p r è s i e l e m m e 2-3 il e x i s t e s 6 (R tel que

* u € W ^m ^, ^r ^, ^q ^, ^q ^t Û R⁺ x I Rⁿ) . Soit a l o r s cp € C * ( V ) tel que q>(t,x) - iç} (t) <f 2( x ) avec suppcp C { ( t , x ) £ I' x fi' ; || ( t, x ) - (0 , XQ ) 11 < e } oû £ est d é f i n i à la p r o p o s i t i o n 3 . 3 .

O n a L<H>u) € L²( ( R⁺, H^S⁺¹C Rⁿ) ) d o n c ^ u £ W*;*>^{q 5 q ?} ((R⁺ x fcⁿ) . E n i t é r a n t ce p r o c é d é on a :

if u 6 ^w^^r» q » q^f (^{R +} x T Rⁿ) p o u r tout s € ( R .

Soit m a i n t e n a n t p £ N et s € (R et soit à m o n t r e r que

*o oⁿ

P 2

D t (cp u ) G L ' ((R⁺, H ° (fR ) ) . D ' a p r è s le l e m m e de s t r u c t u r e des é l é m e n t s

(21)

de C ° * ( ! R+, HS 9( i Rn) ) .il e x i s t e s 1 é îR tel que D ^0 + 1 (cp u ) £ L2 (\R+HS ' (iRn) ) ; on c h o i s i t sSÍR tel que s + — ( s ^ s . ) • s . C o m m e <f u £ L2 (fR • , HS QRn) )

p + 1 o +

r o

on a le r é s u l t a t a n n o n c é g r â c e au l e m m e 3 - 1 .

A i n s i o n a d é m o n t r é que a est i n d é f i n i m e n t d é r i v a b l e au p o i n t ( 0 , xQ) .

r '

((T) C a s qyl , q ' > 0 , q - q'- ¿ 1 . D é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e 1.6.

On u t i l i s e e n c o r e la m é t h o d e d e s q u o t i e n t s d i f f é r e n t i e l s à p a r t i r d ' u n e e s t i m a t i o n a p r i o r i .

I I I . c l . U n e e s t i m a t i o n a p r i o r i

P r o p o s i t i o n 3 . 5 . O n s u p p o s e que l ' o p é r a t e u r L ( t , x , D ,D ) v é r i f i e X t

les h y p o t h è s e s 2 , 3 " et 3 " ' . P o u r tout x € Í2 , il e x i s t e un e n t i e r o

PQ ? 0 tel que p o u r tout e n t i e r p ZVQ e t p o u r tout s G (R il e x i s t e d e u x c o n s t a n t e s C > 0 et £ > 0 t e l l e s que si

p , s p u 6 Wm'r f'p;S OR x f Rn) a v e c

p , q ' ,k

supp u C i < t , x ) £ I+ x ||(t,x) - ( 0 , Xq) | | < e p > on ait :

D é m o n s t r a t i o n . P a r t r a n s f o r m a t i o n de F o u r i e r t a n g e n t i e l l e on est r a m e n é à l'étude de l ' o p é r a t e u r d i f f é r e n t i e l o r d i n a i r e

| a | + j < m J

r|ct|+r'j>rr'

(22)

1°) E t u d e p o u r \Z\ > A (A > 0 sera f i x e u l t é r i e u r e m e n t ) .

P o u r Ç f i x e d a n s IRⁿ avec |ç| A on se p r o p o s e d ' é t u d i e r L ( xQ, Ç , Dt) sur l ' i n t e r v a l l e [o,6 £ .

P o u r c e l a on r e c o u v r e cet i n t e r v a l l e par Q ) , X £ et "JX , S T oû

Ti - 6i q a v e C 0 < S 2 * S l # (5 > °* 6 1 > 0 e t 62 > 0 S o n t

c h o i s i s u l t é r i e u r e m e n t au c o u r s d e s c a l c u l s ) •

a ) E t u d e sur [o,Xj £ .

D ' a p r è s £lj les c o n d i t i o n s 2 , 3 " et 3 " ' m o n t r a n t q u ' i l e x i s t e u n e n t i e r p^Q > 0 tel que p o u r tout P ^ P^Q> e n t i e r , il e x i s t e une c o n s t a n t e G > 0 t e l l e que si v € W^'?(IR⁽ x fRⁿ) on a :

p O, ô +

i Z _ ( . . m V ^ ' V ' i - i . V ' i . i i *

h-o r i a | + r ' j < r r ' L (TR⁺)

p-h ⁺ ^s

1 C f ( H S l

²

) ^ "

^S

**| | D * L v||**

²

P h = o^{11 1} l/(1R⁺)

E n r e m a r q u a n t que les c o n d i t i o n s 1 2 , 2 ' et 3 " i m p l i q u e n t des p r o p r i é t é s de r é g u l â t e s p o u r l ' o p é r a t e u r

m - r a . (0 , x ) j=*o o ,r^x ' o on a :

p m-r , £ Î + s . . . 2 P 0 . 2

l J

⁽¹⁺^{| Ç |}²^{) ^} | | D ^ ( t^{q j}D J ( L

v))|| <

C

ÎO

^{+ I Ç I}²) * I I d N O L . V H

h=o j=o c c !^L^(jR⁺)^{c 1} L^Z( Î R⁺)

E n r e g r o u p a n t ces i n é g a l i t é s o n o b t i e n t :

(23)

i i

Y ( i . i ï i

²

) ° '

^ i i t - ^{ i ^a i ^ D ^ ( t ^ S ) i i ² ²

h=o r|a|+r'j<rr' £=o L (JR+)

p-h⁺

< C{ f (1⁺ |C|²) *³ ( H D A V | |² H l D ^ a- M o L j v H² ) }

h=o C IT(fR+) C IT(IR+)

On m o n t r e a l o r s q u e , p o u r t o u t r\ > 0 il e x i s t e ôj> 0 et A > 0 t e l q u e si supp v C

C°»

^T

]C

^{o n a :}

P P ~h,c

I (i⁺ U I² ) | | D ; ( L - M O L . ) V | | ² ²

h = o C l/(!R+

* - F I T c.. I C 1 ² )¹ " ' ^ " l l ¹ ^B ¹ * ^J » R ^J «^Q* « »^E* * H^L2

h = o r | a | + r ' j < r r ' -o c e L (JR+*

O n en d é d u i t q u e si |ç|> A et si supp v C [o,Tj[_ : I I T D . U I 2 ) ^ 1 * 1 ! ! ^ 6 1 0 1 ^ » j+h T « * D Î v | |2,

h=o | a | + r ' j < r rf i-o L ( R+)

p_-_h^{+ s}

1^C

f

(1 + | Ç |2) * S l|Dj L v | |22 }.

h - o L (fR+)

b ) E t u d e sur J x^ , <5 [_

On n o t e T2 = 62| £ |q a v e c 0< <$2< ôj et o n é t u d i e l ' o p é r a t e u r L ( xQ, £ , Dt) de Hm + P( x2, ô ) d a n s HP( T2>6 )

(24)

- 1 / - 1 / D a n s l ' é q u a t i o n h 2 L v = 4 '2 f

t^q'^r' k l ^r ' + t^q^,^ml £ l^{m U}m où h ( Ç , t ) = — 1 ^ ' *^z LSJ__^m

tq m

on f a i t le c h a n g e m e n t de v a r i a b l e s d é f i n i par :

h ( £ , t ) d t « dy

m - I ^k ⁺

et le c h a n g e m e n t de f o n c t i o n s : W ( y ) * h t^q v ( t ) fjCy.) » h²f ( t ) .

O n e s t a l o r s r a m e n é à l ' é t u d e d ' u n e é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e o r d i n a i r e à c o e f f i c i e n t s p a r v a r i a b l e s " (cf 1 3 3 ) et o n o b t i e n t :

£ d

⁺

| c l

²

)

^{s + | a 1}

t

^{k + q}

J

^{+ q ?}

N

^{D t}

J | | v | |

^{2 2}

< c d

⁺

u i

²

)

^s

I N l ' 2

^{( R}

>

a | + j < m^t L²( E⁺)^L ⁽ ^R + ^}

r|a + r ' j > r r '

si supp v C x^ > 5 C

E n s u i t e p a r r é c u r r e n c e sur p £iN o n o b t i e n t : ,p-h

? r , / c „ k⁺q j⁺q « | a | j⁺h² h=o |a|+jim

r|a|+r'j^rr'^{s +}p - h

1 C l < l⁺| Ç |²) l|D^ L v | |^{2 2}

h«o^c l/(R⁺)

c) Etude sur D , ô [

E n u t i l i s a n t les f o n c t i o n s <(> j et (J) ^ d é f i n i e s au ( b ) et en u t i l i s a n t la m ê m e m é t h o d e o n a :

pour v € W ™ ' J ; £^{, S}( 0 , 6 ) a v e c supp v C Q ) , 6 [

(25)

2 ° ) E t u d e pour j ç U A .

Soit Ç € îRⁿ f i x é avec |£ |> A . P o u r t o u t £ Ç j Rⁿ tel q u e о о —

I

Ç | A o n a :

II v||² < ||v||² < C{ f(l⁺ |ç|²) ^^S| | D 4( xⁿ, Çⁿ, D j v | |^{2 9} }

^, RT, Pi % ( O , e T

V '

^r

' ? ' "

^(O.ôT h=o t о о t ^L2 d^fo ù , e n u t i l i s a n t d e s f o r m u l e s de T a y l o r ,

ii

^{r p s}

ⁱ

^c ^{^b^{+ i ç i} ² ⁾²^{^}

^ Л ч ^ ^ ^ п

²^{2 +}

ii-ii

²^{™ r p- s-i}^}

tf1'*'?'9 (0,6) .^H'-O L (jR ) < ^ , ' P 'S 40,6)

q,q',k,Ç q , q k '

3°) Fin de la démonstration de la proposition 3.5

Si l^fo n p r e n d u € Wm î r f , p.^{, s} ( R^A x l Rⁿ) a v e c supp u c | o, < 5 |^Xï Rⁿ, q , q , к +

Л

en a p p l i q u a n t les i n é g a l i t é s p r é c é d e n t e s à u ( t , Ç ) et en i n t é g r a n t par r a p p o r t à Ç С IR * o n a :

I M l

^r^P^s 1^{C {}

^ll

^D

Ï

^{L ( x}^o^{, t , D}^x^{, D}^t^{) v | | s}⁺^{£ - ^}

• m , r , p , s^{( щ} ^h ⁼ ^o t о x t ^L ^Z № ^A , H (TR )

q, q ' к⁴ + n^v + '

ч и п

q,q ,k +

O n p a s s e au cas d e s c o e f f i c i e n t s v a r i a b l e s en u t i l i s a n t

le l e m m e 2.1 et d e s i n é g a l i t é s de H a r d y et a i n s i on a la p r o p o s i t i o n 3 . 5 .

I I I . C . 2 . R é g u l a r i t é p a r t i e l l e

P r o p o s i t i o n 3 . 6 . Si и € Wm,rf,P'S (IR x CRn) a v e c h q 9 q 9 к +

supp и С { ( t , x ) € I + x Q ; ||(t,x) - ( 0 ,XQ) | | < *P ) CL" U

h 2 P ~h+ s + 1

D £ L u é l ( R⁺t Н""ЗГ (R )) p o u r O ^ h ^ p a l o r s :

(26)

q,q ,k +

D é m o n s t r a t i o n O n a p p l i q u e la m é t h o d e des q u o t i e n t s d i f f é r e n t i e l s t a n g e n t i e l s à p a r t i r de l ' e s t i m a t i o n a p r i o r i de la p r o p o s i t i o n 3 . 5 .

I I I . C . 3 . D é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e 1.6.

S o i t u C ° t l⁺, 2)^f (fi)) tel que L u e C°°(I⁺ x fi') et soit (t , x ) S I' x fi'. O n d o i t m o n t r e r que u est i n d é f i n i m e n t d i f f ê -

0 0 +

r e n t i a b l e au p o i n t ( t^Q> X ^Q) .

P o u r t f 0 le r é s u l t a t est c l a s s i q u e p u i s q u e l ' o p é r a t e u r L est e l l i p t i q u e en tout p o i n t ( t , x ) p o u r l e q u e l t é 0.

Si t⁹ 0 , soit V un v o i s i n a g e o u v e r t de ( 0 , X^q) avec V (t I '⁺ x fi' et soit 4 € 3> ( I | x fi') a v e c <j> * 1 sur V .

D ' a p r è s le l e m m e 2 . 4 , pour tout p e n t i e r > 0 il e x i s t e s é|R tel que <J> u € '^r \^P £ ^S (iR⁺ x iRⁿ) . E n p a r t i c u l i e r p o u r tout

C f € 2 > ( V ) «f u - ^ u € W ^m ' ^r ^P ' ^s (IR x I Rⁿ)

C h o i s i s s o n s p > p où p est l ' e n t i e r a s s o c i é à x d a n s la

r — ro *o o

p r o p o s i t i o n 3.6 et *P€«2)(v) de la f o r m e < f j ( t ) ^2( x ) avec

supp y C { ( t , x ) € IR x JRⁿ; || ( t, x ) - (0 , x ) 11 < e \ . On v é r i f i e a l o r s

+ ^¹ o p )

que D^ L(cpu) 6 L²( ( R⁺, H ^ " ⁺^S ⁺ ¹ (\Rⁿ) ) p o u r 0 < h < p .

Il en r é s u l t e : F u É W M , R ; P ' S + 1 (iR x &n) ; en i t é r a n t le p r o c è d e

q , q , K +

on a : tf u é W ^m^,^r J^p'^s ( E^x x !Rⁿ) pour tout s € ( R .

1 q,q',k +

C o m m e Q W^{m , r}J^{p , s}( î R^x Rⁿcc°°(iR x IRⁿ) on en d é d u i t

v^>v^r% q»q ,k + +

que u est i n d é f i n i m e n t d i f f é r e n t i a b l e au p o i n t (0,x ) ; d'où le t h é o - r è m e 1.6.