Surl’ellipticitédumodèlelinéairedecoquesdeW.T.Koiter P.G.C M.B

P UBLICATIONS MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUES DE R ^ENNES

M. B ERNADOU

P. G. C IARLET

Sur l’ellipticité du modèle linéaire de coques de W.T. Koiter

Publications des séminaires de mathématiques et informatique de Rennes, 1976, fasci- cule S5

« Journées « éléments finis » », , p. 1-47

< http://www.numdam.org/item?id=PSMIR_1976___S5_A2_0 >

© Département de mathématiques et informatique, université de Rennes, 1976, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la série « Publications mathématiques et informa- tiques de Rennes » implique l’accord avec les conditions générales d’utili- sation ( http://www.numdam.org/conditions ). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

Pe^suïïie. L ' o b j e t de ce t r a v a i l e s t de d é m o n t r e r , dans l e cas du modèle l i n é a i r e de W . T . KOITER, 1¹e l l i p t i c i t é de l ' é n e r g i e de d é f o r m a t i o n d'une coque a s s u j e t t i e à des c o n d i t i o n s aux l i m i t e s c o n v e n a b l e s . Une é t a p e e s s e n t i e l l e c o n s i s t e à démontrer que s i l e s t e n s e u r s de d é f o r m a t i o n e t de changement de c o u r b u r e de l a s u r f a c e moyenne de l a coque sont n u l s au s e n s d e s d i s t r i b u t i o n s , l e champ de déplacement e s t n é c e s - sairement un mouvement r i g i d e .

A b j ^ r a c j b . The p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o show, in the c a s e o f W . T . KOITER' s l i n e a r m o d e l , t h a t t h e s t r a i n e n e r g y o f a s h e l l i s e l l i p t i c , when i t i s s u b j e c t e d t o a p p r o p H a t e boundary c o n d i t i o n s . An e s s e n t i a l s t e p c o n s i s t s i n showing t h a t i f t h e s t r a i n t e n s o r and change o f c u r v a t u r e t e n s o r v a n i s h in the s e n s é o f d i s t r i b u t i o n s a l o n g the m i d d l e s u r f a c e o f t h e s h e l l , t h e d i s p l a c e m e n t f i e l d i s n e c e s s a r i l y t h a t o f a r i g i d body m o t i o n .

* I . R . I . A . - L A B O R I A .

* * U n i v e r s i t é P i e r r e et M a r i e C u r i e , P a r i s

A p a r a î t r e dans l e s Comptes-Rendus du Deuxième C o l l o q u e I n t e r n a t i o n a l sur l e s Méthodes de C a l c u l S c i e n t i f i q u e et Technique (15-19 Décembre 1975, I R I A , V e r s a i l l e s ) .

- 1 -

INTROPUCTIOJÎ.

I l e x i s t e deux f a m i l l e s p r i n c i p a l e s de m o d é l i s a t i o n des coques m i n c e s . La p r e - m i è r e f a m i l l e se r a t t a c h e à l a t h é o r i e de KIRCHHOFF-LOVE. E l l e a é t é r e p r i s e et d é v e l o p p é e p a r de nombreux a u t e u r s , notamment p a r KOITER [ l l [ 2 1 , KOITER-SIMMONDS [ 1 1 . La seconde f a m i l l e f a i t a p p e l à l a t h é o r i e des s u r f a c e s de COSSERAT f i l e t a é t é d é v e l o p p é e notamment p a r NAGHDI f l ] [ 2 ] . P o u r l e s c a l c u l s e f f e c t i f s i l semble que l a m o d é l i s a t i o n de KOITER [ H [ 2] r é p o n d e aux b e s o i n s des I n g é n i e u r s e t c ' e s t a i n s i que ARGYRIS-HAASE-MALEJANNAKIS [ 1 ] l ' u t i l i s e n t p o u r l a r é s o l u t i o n numérique de problèmes de c o q u e s , a p r è s d i s c r é t i s a t i o n p a r l a Méthode d e s Eléments F i n i s . Une étude de l ' a p p r o x i m a t i o n de l a s o l u t i o n p o u r des Méthodes d ' E l é m e n t s F i n i s e s t f a i t e p a r CTARLET [ 3] , où l ' o n t r o u v e r a une b i b l i o g r a p h i e s u r ce s u j e t . C e t t e é t u d e e s t p o u r - s u i v i e dans BERNADOU [ I l .

L ' o b j e t de ce t r a v a i l e s t l ' é t u d e de l ' e l l i p t i c i t é du modèle l i n é a i r e de coques de W . T . KOITER [ U [ 2 J . De c e t t e é t u d e on d é d u i t un théorème d ' e x i s t e n c e e t d ' u n i c i t é de l a s o l u t i o n du p r o b l è m e .

On u t i l i s e r a constamment l e s p r o p r i é t é s des e s p a c e s de S o b o l e v pour l e s q u e l l e s on r e n v o i e à ADAMS [ I l , LIONS-MAGENES [ 1J , NECAS [ 1 1 .

L ' e l l i p t i c i t é d ' a u t r e s modèles l i n é a i r e s de c o q u e s a é t é é t u d i é e p a r d i f f é r e n t s a u t e u r s . On p o u r r a notamment s e r a p p o r t e r à ROUGEE [ 1 ] pour d e s coques c y l i n d r i q u e s , à COUTRIS [ I l pour l e modèle de NAGHDI [ I l , à GORDEZIANI [ I l pour l e modèle de VEKUA [ 1 ] , à SHOIKHET [ I l pour l e modèle de NOVOZHILOV [ 1 1 .

Au C h a p i t r e 1 nous r a p p e l o n s l e s r é s u l t a t s de g é o m é t r i e d i f f é r e n t i e l l e des s u r - f a c e s n é c e s s a i r e s pour l a m o d é l i s a t i o n d ' u n e coque m i n c e . Pour des e x p o s é s de C a l c u l T e n s o r i e l on p o u r r a c o n s u l t e r GOUYON [ I l , LICHNEROWICZ [ I l e t p o u r des exposés de G é o m é t r i e D i f f é r e n t i e l l e à LELONG-FERRAND [ I l , VALIRON [ 1 1 . Pour l a r é d a c t i o n de ee C h a p i t r e nous nous sommes i n s p i r é s d e s o u v r a g e s de GREEN-ZERNA [ I l et de NAGHDI [21 r e s p e c t i v e m e n t o r i e n t é s v e r s l e s t h é o r i e s de l ' é l a s t i c i t é e t de c o q u e s .

L ' e s s e n t i e l de l a m o d é l i s a t i o n l i n é a i r e de KOITER [ I l e s t r a p p e l é au C h a p i t r e 2.

On montre notamment comment d e s h y p o t h è s e s c o n v e n a b l e s p e r m e t t e n t de ramener l ' é t u d e d ' u n p r o b l è m e t r i - d i m e n s i o n n e l à l ' é t u d e d ' u n nouveau problème b i - d i m e n s i o n n e l . L a c a r t e % d é f i n i s s a n t l a s u r f a c e moyenne de l a coque e s t supposée "assez" r é g u l i è r e . I l e s t a l o r s p o s s i b l e d ' é t a b l i r des normes é q u i v a l e n t e s p o u r l e s t e n s e u r s de s u r f a c e e t de s u b s t i t u e r des d é r i v a t i o n s c o v a r i a n t e s aux d é r i v a t i o n s u s u e l l e s . C ' e s t l ' o b j e t du C h a p i t r e 3»

Dans l e C h a p i t r e U nous d é f i n i s s o n s l ' e s p a c e d e s f o n c t i o n s a d m i s s i b l e s AT p i i s nous donnons une f o r m u l a t i o n v a r i â t i o n n e l l e du p r o b l è m e .

Nous montrons d a n s l e c h a p i t r e 5 que s i l e s t e n s e u r s de d é f o r m a t i o n e t de changement de c o u r b u r e s o n t n u l s pour un champ d e d é p l a c e m e n t s v G

- 2 -

a l o r s ce champ de déplacement e s t un mouvement r i g i d e ou s o l i d i f i a n t . L ' a d j o n c t i o n de c o n d i t i o n s d ' e n c a s t r e m e n t e n t r a î n e v = (5.

Au C h a p i t r e 6 on é t a b l i t l ' e l l i p t i c i t é du modèle l i n é a i r e de KOITER [ 1 ] [ 2 ] p o u r une coque mince de forme quelconque e t on en d é d u i t un théorème d ' e x i s t e n c e e t d ' u n i - c i t é de l a s o l u t i o n . Nous s u i v o n s pour c e l a une méthode de d é m o n s t r a t i o n u t i l i s é e p a r l e second a u t e u r pour é t a b l i r l ' e l l i p t i c i t é d ' u n modèle d ' a r c ; c f . CIARLET [11 [ 2 ] .

En c o n c l u s i o n , r e t e n o n s que l e théorème du mouvement r i g i d e j o u e un r ô l e e s s e n - t i e l dans l a d é m o n s t r a t i o n de l a ) T - e l l i p t i c i t é . C e t t e c o n d i t i o n de mouvement r i g i d e » également d é s i g n é e p a r c o n d i t i o n de mouvement s o l i d i f i a n t s e r e t r o u v e dans l a p l u p a r t d e s modèles d é c l a r é s s a t i s f a i s a n t s p a r l e s M é c a n i c i e n s . A c e t i t r e nous p e n s o n s que ce t y p e de d é m o n s t r a t i o n s ' a d a p t e aux d i f f é r e n t e s m o d é l i s a t i o n s e x i s t a n t e s .

- 3 -

CHAPITRE 1 : P r é l i m i n a i r e s g é o m é t r i q u e s . 1.1. D é f i n i t i o n de l a s u r f a c e .

1.2. Les t r o i s formes fondamentales fie ] B s u r f a ^ * - T . * » . D é r i v a t i o n c o v a r i o r * t e .

CHAPITRE 2 : M o d é l i s a t i o n d'une c o q u e .

2.1. D é f i n i t i o n de l a g é o m é t r i e de l a c o q u e .

2.2. E v a l u a t i o n des d é f o r m a t i o n s pour une coque m i n c e .

2.3. I n t e r p r é t a t i o n géométrique de l a d é f o r m a t i o n de l a s u r f a c e moyenne.

2 . U . E v a l u a t i o n des c o n t r a i n t e s p o u r une coque m i n c e . 2.5. L ' é n e r g i e de d é f o r m a t i o n ,

2.6. Le t r a v a i l des f o r c e s e x t é r i e u r e s .

CHAPITRE 3 : Coordonnées c u r v i l i g n e s e t normes é q u i v a l e n t e s . 3.1. Quelques i n é g a l i t é s d ' o r i g i n e g é o m é t r i q u e .

3.2. Normes é q u i v a l e n t e s dans L²( f l ) . 3.3. Normes é q u i v a l e n t e s dans H¹ ( f t ) .

3.U. Nonnes é q u i v a l e n t e s s u r ( H¹( f î ) )² * H²( f l ) .

CHAPITRE h : Le problème v a r i â t i o n n e l .

U . l . L ' e s p a c e des f o n c t i o n s a d m i s s i b l e s $ . h.2. F o r m u l a t i o n s du p r o b l è m e .

CHAPITRE 5 : Le théorème du mouvement r i g i d e . 5.1. Le théorème du mouvement r i g i d e .

5.2. Conséquence du théorème du mouvement r i g i d e .

CHAPITRE 6 : v ' - e l l i p t i c i t é du modèle l i n é a i r e de W . T . KOITER.

6.1. ^ - e l l i p t i c i t é de l a forme a ( - , » ) .

6.2. L a forme b i l i n é a i r e a { » , * ) e s t c o n t i n u e s u r v ^ ? . 6.3. L a forme l i n é a i r e f ( - ) e s t c o n t i n u e s u r V . 6 . U . Théorème d ' e x i s t e n c e e t d ' u n i c i t é .

- 4 -

CHAPITRE 1 - PRELIMINAIRES GEOMETRIQUES

ORIENTATION : Nous r a p p e l o n s dans ce p a r a g r a p h e l e s r é s u l t a t s de g é o m é t r i e d i f f é r e n - t i e l l e d e s s u r f a c e s q u i s o n t n é c e s s a i r e s pour l a m o d é l i s a t i o n d ' u n e coque mince ( c f . C h a p i t r e 2) e t p o u r l a d é m o n s t r a t i o n du Théorème du mouvement r i g i d e ( c f . C h a p i t r e 5 ) . Ces r é s u l t a t s s o n t é t a b l i s p o u r des coques dont l a s u r f a c e moyenne peut ê t r e r e p r é - s e n t é e à l ' a i d e d ' u n e s e u l e c a r t e e t p o u r d e s coordonnées c u r v i l i g n e s q u e l c o n q u e s .

DEFINITION, PE LA SURFACE :

Nous d é s i g n o n s p a r 8³ l ' e s p a c e a f f i n e e u c l i d i e n e t par ( 0 , e i , e^{2 >}e 3 ) un r e p è r e f i x e de g3, orthonormé p o u r s i m p l i f i e r . Un p o i n t quelconque M de S3 s e r a r e p é r é p a r

(1.1-1) 0 $ « x1 ^ = x1^ + x2e ^ • x3e ^ .

D'une f a ç o n g é n é r a l e , t o u t i n d i c e l a t i n ( r e s p . g r e c ) p r e n d s e s v a l e u r s dans l ' e n s e m b l e ( 1 , 2 , 3 ) ( r e s p . { 1 , 2 } ) e t , s a u f i n d i c a t i o n c o n t r a i r e , l a r é p é t i t i o n de un ( o u p l u s i e u r s ) i n d i c e , l ' u n en p o s i t i o n s u p é r i e u r e , l ' a u t r e en p o s i t i o n i n f é r i e u r e , e n t r a î n e s e l o n l a c o n v e n t i o n d ' E i n s t e i n , l a sommation s u r t o u t e s l e s v a l e u r s p o s s i b l e s de l ' i n d i c e . De p l u s , nous convenons de n o t e r l e s d é r i v é e s p a r t i e l l e s à l ' a i d e d ' u n e v i r g u l e , p a r exemple

^ -

.

S o i t un o u v e r t b o r n é d ' u n p l a n 6², de f r o n t i è r e I*. A l o r s une s u r f a c e S de l ' e s p a c e e u c l i d i e n S3 e s t l ' i m a g e de p a r une c a r t e « i . e . , une a p p l i c a t i o n (1.1-2) • : (C¹,?²) € n e 82 _ £3 .

Les p a r a m è t r e s ǹ , £² forment un système de coordonnées c u r v i l i g n e s de l a s u r f a c e S . B i e n entendu l a donnée d ' u n e s u r f a c e ne détermine p a s d'une f a ç o n u n i q u e l ' a p p l i c a - t i o n % n i l ' e n s e m b l e ft»

P a r l a s u i t e , nous s u p p o s o n s l a f r o n t i è r e V e t l ' a p p l i c a t i o n t suffisamment r é g u l i è r e s . En p a r t i c u l i e r nous s u p p o s o n s que t o u s l e s p o i n t s de l a s u r f a c e S = ? ( f î ) s o n t r é g u l i e r s , en ce s e n s que l e s deux v e c t e u r s

(1.1-3) êC * 1 « » a a 1»2'

s o n t l i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t s en t o u t p o i n t Ç « ( ǹ , Dz) € ïï. Ces deux v e c t e u r s sont t a n g e n t s aux l i g n e s c o o r d o n n é e s $ ( Ç^a » c^te) e t i l s d é f i n i s s e n t l e p l a n t a n g e n t à l a s u r f a c e S a u p o i n t f ( ç ) . On i n t r o d u i t e n s u i t e l e v e c t e u r

a i * a²

(i.i-u) ^3 - —r=rr »

| « | d é s i g n a n t l a norme e u c l i d i e n n e dans S3 « u n i de son p r o d u i t s c a l a i r e h a b i t u e l

- 5 -

( a , b ) a . b . Le p o i n t <f>(ç)et l e s t r o i s v e c t e u r s a . d é f i n i s s e n t a l o r s un r e p è r e l o c a l de l a s u r f a c e ( c f . F i g u r e l . l - l ) .

4 •{-'J ^{( / S i} \w

L _ ^

X ^€

F j g u r e 1.1-1

1.2. L £ S j n j O I S ^ ^ : L a p r e m i è r e forme f o n d a m e n t a l e de l a s u r f a c e ( a ) , ou t e n s e u r m é t r i q u e de l a

ci P

s u r f a c e , e s t d é f i n i e p a r

(1.2-1) a . = a = a^.âT =

T~*-T~*

.

aB Ba a 6 , a , 8

Grâce à e l l e on e x p r i m e notamment l ' é l é m e n t l i n é a i r e e t l ' é l é m e n t d ' a i r e de l a s u r f a c e , d ' o ù l a seconde a p p e l l a t i o n . S o i t une c o u r b e t r a c é e s u r l a surfpn*» S , d~rî~

n i e p a r l e s a p p l i c a t i o n s

t G l a , b f C R —• f^a = f^a( t ) , a = 1,2.

L ' é l é m e n t l i n é a i r e ds de c e t t e c o u r b e e s t donné p a r

(1.2-2) d s = [ a ^fl(f^a)'(f^B)'l² d t .

B

A— ~t~ - . « « . / N M- : ^ i «c» onfraa voofnnrq n d u ni fin tancent d é f i n i e

- 6 -

p a r

a . a • 5 ( p a s de sommation s i a = $).

Ces v e c t e u r s s o n t l i é s aux v e c t e u r s a p a r l e s r e l a t i o n s a

{l.d-ï) a^ - a ^ a , a « a ag > a « a . a = a ,

l a m a t r i c e ( aaB) ç t a n t l ' i n v e r s e de l a m a t r i c e ( a ) , qui e s t t o u j o u r s i n v e r s i b l e p u i s q u e t o u s l e s p o i n t s s o n t r é g u l i e r s .

R e m a r q u e ^ K 2 ~ l . On o b t i e n d r a i t des e x p r e s s i o n s p l u s s i m p l e s en supposant ( c e q u i e s t t o u j o u r s l o i s i b l e t h é o r i q u e m e n t . . . ) que l e s l i g n e s c o o r d o n n é e s sont l e s l i g n e s de c o u r b u r e de l a s u r f a c e : l e s v e c t e u r s a j e t &2 sont a l o r s o r t h o g o n a u x , m a i s non n é c e s - s a i r e m e n t o r t h o n o r m é s , en t o u t p o i n t de l a s u r f a c e e t l e s m a t r i c e s ( a „ ) et ( aaB)

a8

sont d i a g o n a l e s . g | Remarque^\r»^-^ : I l n ' e s t p a s n é c e s s a i r e de s u p p o s e r l e s v e c t e u r s de b a s e e1 de S3

orthonormés mais c ' e s t commode p o u r c a l c u l e r d e s p r o d u i t s s c a l a i r e s t e l s que ceux

de ( 1 . 2 - 1 ) . g

I l e s t u t i l e de n o t e r l e s e x p r e s s i o n s de c e r t a i n s d e s p r o d u i t s v e c t o r i e l s des des v e c t e u r s de b a s e :

!

a *^a « B E « a » o 8 a8 -•a a8 **

a x a = c a3,

a3 x aB ' E6 X a • avec

aJ " a3

_ \ r a8 1 a 8

^ •2-5) ca 8 e« 8 ' e •

a [ 0 1

(1.2-6) (e . ) - ( ea B) -

a6 [-1 0,

( 1 . 2 - 7 ) a = aL 1a 2 2 - ( * 1 2 )2 * ° ( p o i n t s r é g u l i e r s ) . L ' é l é m e n t d ' a i r e dS e s t donné p a r l a r e l a t i o n

(1.2-8) dS » | ^1x ^2| d Ç1d Ç2 - VÊ d ^ d Ç2, dont l ' i n t e r p r é t a t i o n g é o m é t r i q u e e s t é v i d e n t e .

La seconde forme f o n d a m e n t a l e de l a s u r f a c e ( b ) e s t d é f i n i e p a r

• afs ( 1 . 3 - 9 ) ^ba 6 " ^b8 a " " V * 3 ,B * V * « . B * W « '

Aux composantes c o v a r i a n t e s b • on a s s o c i e p a r l e s o p é r a t i o n s t e n s o r i e l l e s

——————— ap

u s u e l l e s l e s composantes m i x t e s e t c o n t r a v a r i a n t e s s u i v a n t e s / b#B - b6 « b3 » a0 X b , ,

I a *a a Xa

(1.2-10) { 0 \ a

I . a8 aX 8v ,

l b • a a b% ,

Xv' e t i n v e r s e m e n t

* *

S o i t P un point quelconque de l a s u r f a c e S e t t une d i r e c t i o n donnée du p l a n t a n g e n t en P à l a s u r f a c e S . L ' i n t e r s e c t i o n de S a v e c l e p l a n ( P , t , a 3 ) e s t une c o u r b e (c ) d é f i n i e p a r deux a p p l i c a t i o n s

t e ]a, b [ C R —*• £a =s fa( t ) , a = 1,2,

e t dont l e c e n t r e de c o u r b u r e Q v é r i f i e • R.. a * . L a c o u r b u r e normale — de l a s u r f a c e S au point P , p o u r l a d i r e c t i o n t donnée p a r l e r a p p o r t ( f1),/ ( f2)1* v a u t

t ( fa) ' ( fe) ' ( 1 . 2 - 1 1 ) i r — .

RN a „ ( fa) ' ( f8) '

A chaque d i r e c t i o n t on a s s o c i e de l a s o r t e une c o u r b u r e normale de S. On montre que

•* . 1

l o r s q u e t b a l a y e l e p l a n t a n g e n t l e s c o u r b u r e s n o r m a l e s admettent un maximum — — e t un minimum i — , a p p e l é e s c o u r b u r e s p r i n c i p a l e s , r e s p e c t i v e m e n t a s s o c i é e s N* à des d i r e c t i o n s2 t \ e t t2 o r t h o g o n a l e s a p p e l é e s d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s de c o u r b u r e . Les c o u r b u r e s p r i n c i p a l e s l / R „ e t l / RM v é r i f i e n t l e s r e l a t i o n s

Ni N2

H » h [h~ ) * i 0° ( c o u r b u r e moyenne ) ,

I N_ N2

(1.2-12) ,

K « 2__ i - - fclfc2 - b2bJ ( c o u r b u r e t o t a l e ) .

\ V

Ces c o n s i d é r a t i o n s sont i l l u s t r é e s p a r l a F i g u r e 1.2-1.

La t r o i s i è m e forme fondamentale de l a s u r f a c e ( c ) e s t d é f i n i e p a r _______________________________———________________________ otn

(1-2"13) Ca B - ba bX B " \x bfi " <W

^.^AV-^S^^^ÂZ^ 1 ^n procédé commode p o u r r e t r o u v e r l a d é f i n i t i o n de ces t r o i s formes e s t de n o t e r q u ' e l l e s sont r e s p e c t i v e m e n t a s s o c i é e s aux t r o i s p r o d u i t s s c a l a i r e s p o s s i b l e s des d i f f é r e n t i e l l e s d j , d a3 :

/ d j . d j • a . d £a d ÇB, l a p

| - d î . d a3 = baB d Ça d ÇB,

\ d a3. d a3 • d £ ° d ÇB. |

- 8 -

F i g u r e 1 . 2 - 1 i

1 . 3 . D ^ K A T I O N ^ C O y ^ ^ g :

La b a s e l o c a l e ( a ^ - a ^ , ^ ) n ' e s t n i normée, n i o r t h o g o n a l e . Le p r o b l è m e de l a d é r i v a t i o n d a n s une t e l l e b a s e e s t s i m p l i f i é p a r l ' i n t r o d u c t i o n d e s s y m b o l e s de C h r i s t o f f e l e t de l a n o t i o n de d é r i v é e c o v a r i a n t e .

Les s y m b o l e s d e C h r i s t o f f e l r n , de l a s u r f a c e s o n t d é f i n i ? p a r

rn f t r " fa r B ' W y " i(a« 8 . Y+B« T , B - * B T . «>' ( 1 . 3 - 2 ) r^By . r YB - a r^X6y - » . ay>6 - a . a6)Y.

Remarque^^J^^. : Au l i e u d e c e r t a i n s a u t e u r s adoptent l e s n o t a t i o n s rgaY o u

rB v a - " 1

- 9 -

Les composantes d e s d é r i v é e s des v e c t e u r s de b a s e dans l e r e p è r e l o c a l sont données p a r l e s f o r m u l e s d e Gau^s e t d e W e i n g a r t e n :

[ -*> y

l

(a, B "S-rB Xa +bBa3 '

( 1 . 3 -1* ) ( W e i n g a r t e n ) *3 a * *3 a = ~b„

Les d é r i v é e s c o v a r i a n t e s d ' u n t e n s e u r de s u r f a c e s e r o n t notées à l ' a i d e d'une b a r r e v e r t i c a l e ( | ) ; pour l e s t e n s e u r s d ' o r d r e 1 e t 2 i l v i e n t p a r exemple :

!

T I « T - rx T , , a I y a ,Y a Y X T » | = T + r » tx ,

|Y , Y XY

/ t | = t - rx t - rx t

I aBJY a B , Y «Y >B BY a X '

(T« B |Y ,Ta8>Y + r «Y T « . r J v T » \

L ' o p é r a t i o n de d é r i v a t i o n c o v a r i a n t e n ' e s t pas en g é n é r a l commutative au c o n - t r a i r e des d é r i v é e s p a r t i e l l e s u s u e l l e s . On montre p a r exemple que

( 1 . 3 - 7 ) T I - T I = ( b b%û - b h ) TX,

O| BY «IYB O Y X6 a8 XY ' où

mX XB _ _ X

T = a T . , Tg - a0X T .

On n o t e r a que l e s t e n s e u r s ( a _ ) , ( a * *8) , ( e fl), ( eaP) r e s p e c t i v e m e n t d é f i n i s en dp oi p

( 1 . 2 - 1 ) ( 1 . 2 - 3 ) e t ( 1 . 2 - 5 ) v é r i f i e n t

( 1 . 3 - 8 ) a I » ao6| - e . I - e°6| = 0 .

« B | Y |Y <*B|Y IY

G r â c e à ( 1 . 3 - 5 ) l e s f o r m u l e s de Gauss s ' é c r i v e n t

(1-3"9) ^ | b = *0b V ^ l B ^ ê V

e t l ' o n c o n v i e n t de p o s e r d a n s l e s f o r m u l e s de W e i n g a r t e n :

- 10 -

Les c o e f f i c i e n t s de l a deuxième forme fondamentale v é r i f i e n t l e s r e l a t i o n s de M a i n a r d i - C o d a z z i :

(1-³"^{U) bal}| ²-^ba²| l •

ou e n c o r e g r â c e à ( 1 . 3 - 8 )

(1.3-X2) * ° |

- ^ .

En a p p l i q u a n t l e s f o r m u l e s de Gauss e t W e i n g a r t e n au c a l c u l des d é r i v é e s p a r - t i e l l e s d'un v e c t e u r q u e l c o n q u e

( 1 . 3 - 1 3 ) ? - $ ( £ ) - v " ^ • v%

de £³, i l v i e n t l ' é g a l i t é

( 1 . 3 - l U ) » ( v^X|

- b V ) a \

~b -v,)î

+b

,a | a a X |ct Xa 3 X | a Xa 3 3 | a a X

où l ' o n a convenu de p o s e r

11-*-1» V3 , a '^T3 | „ -

Dans ces c o n d i t i o n s v • e s t un t e n s e u r de s u r f a c e dont l e s d é r i v é e s c o v a r i a n t e s 3 | a

sont données p a r

(1.3-16) v I „ « Y , L * v , „ - r^x v ^ 3 | a B 3 | 0 a 3 , a 0 0 8 3,X •

CHAPITRE 2 - MODELISATION D ' U T I L COQUE

2 2 X ^ ^ X 1 0 5 : N n , i r> d é c r i v o n s i c i l a m o d é l i s a t i o n de KOITER [ 1 ] { ?} p u r 1 * c a s de p e t i t e s d é f o r m a t i o n s de 3a coque. C e t t e m o d é l i s a t i o n prt e s s e n t i e l l e m e n t obtenue d e l a f a ç o n s u i v a n t e : on c o n s i d è r e l a coque comme un m i l i e u c o n t i n u t r i - d i r n e n s i o n n e l , d ' é p a i s s e u r c o n s t a n t e e t " p e t i t e " , moyennant q u o i on peut r a i s o n n a b l e m e n t s u p p o s e r que l ' é t a t de c o n t r a i n t e e s t a p p r o x i m a t i v e m e n t p l a n e t q u e l a d i s t r i b u t i o n des c o n - t r a i n t e s p a r a l l è l e s à l a s u r f a c e moyenne de l a coque e s t a p p r o x i m a t i v e m e n t l i n é a i r e . Une f o i s ces hypothèses f a i t e s , on " i n t è g r e s u r l ' é p a i s s e u r " l ' é n e r g i e de l a coque exprimée en coordonnées c u r v i l i g n e s a p p r o p r i é e s , ce q u i c o n d u i t à u n p r o b l è m e o u l ' i n c o n n u e , i . e . , l e déplacement d ' u n p o i n t de l a s u r f a c e moyenne d e l a c o q u e , e s t une f o n c t i o n de deux v a r i a b l e s seulement : l e s deux c o o r d o n n é e s c u r v i l i g n e s de l a s u r f a c e moyenne de l a coque ( l ' o b t e n t i o n de l ' é n e r g i e d ' u n e p l a q u e mince e s t un cas p a r t i c u l i e r d e ce p r o c é d é ) .

2 . 1 . D E F ^ N J ^ T ^ ^

Nous d é f i n i s s o n s l a g é o m é t r i e de l a coque à p a r t i r de l a d é f i n i t i o n de sa s u r - f a c e moyenne. Par a n a l o g i e a v e c l e C h a p i t r e 1 nous d é s i g n o n s p a r Q un o u v e r t b o r n é d ' u n p l a n £², de f r o n t i è r e T, A l o r s l a s u r f a c e moyenne S de l a coque e s t l ' i m a g e d a n s 6³ de l ' e n s e m b l e ÏÏ p a r une c a r t e î :

( 2 . 1- D • : U ^2) e n c £ 2 £ ( 0 e S3.

On n o t e 9 S = $ ( r ) d'où S = S U JS, Tout comme au C h a p i t r e 1 n o u s supposons 4» et r suffisamment r é g u l i è r e s . En p a r t i c u l i e r t o u s l e s ' p o i n t s de S F o n t supposés r é g u l i e r s . Outre l e s deux coordonnées c u r v i l i g n e s q u i nous ont p e r m i s d e d é f i n i r l a s u r f a c e moyenne nous i n t r o d u i s o n s une t r o i s i è m e coordonnée c u r v i l i g n e ç³ q u i e s t l a c o t e mesurée s u r l a normale £ 3 à l a s u r f a c e S au p o i n t ^(Ç1 , £²) . Ce système de c o o r - données c u r v i l i g n e s ( ǹ, ^², ^³) e s t . au moins ¹ s a l e m e n t , un système d e coordonnées c u r v i l i g n e s de £³ généralement d é s i g n é p a r système de coordonnées n o r m a l e s .

L ' é p a i s s e u r de l a coque é t a n t d é f i n i e p a r une a p p l i c a t i o n ( 2 . 1 - 2 ) e : {Z^l,K2) e n -+ f* e R^{; X} > 0 ) , l a coque Q e s t a l o r s l e sous-ensemble fermé de 6³ d é f i n i p a r

r e = (M G g^{3 ;} ô$ = Î U¹, ?²) + Ç3a3, (ǹ,?²) e Çi,

(2#1~³⁾ f - | e ( ç l , Ç * ) < dz < £ e U V .²) } .

S i l a f o n c t i o n c e s t c o n s t a n t e on d i t que l a coque e s t d ' é p a i s s e u r c o n s t a n t e . Les M é c a n i c i e n s d i s e n t qu'une coque e s t mince s i , en t o u t p o i n t ${0 ^e S , l ' é p a i s s e u r e ( ^¹, Dz) e s t " p e t i t e " ( a u p l u s de l ' o r d r e du ~^Q- ) devant l e minimum du module du rayon de c o u r b u r e normal ( 1 . 2 - 1 1 ) . Dans l e cas c o n t r a i r e on p a r l e de

- 12 -

coque é p a i s s e .

Nous d é s i g n e r o n s p a r f a c e s u p é r i e u r e ( r e s p . i n f é r i e u r e ) l a s u r f a c e {M G 8 3 ; ÔM = Î Ul, l2) • § a3 , U\KZ) € «}

( r e s p . { M e S 3 . . J ( ç it Ç2 ) . | j 3 ^ ( ^ , c2) en} ) , e t on a p p e l l e r a b o r d de l a coque l a s u r f a c e

{ M € £3. g ) , î ( ç l , « 2 ) ⁺ Ç ^ , , ( Ç l , ç 2 ) 6 r . - | < ^ < | i .

P a r l a s u i t e l a coque é t u d i é e s e r a supposée mince e t d ' é p a i s s e u r c o n s t a n t e en vue de s i m p l i f i e r l e s c a l c u l s . M a i s i l n ' y a u r a i t aucune d i f f i c u l t é e s s e n t i e l l e à g é n é r a l i s e r ce q u i s u i t au c a s des coques d ' é p a i s s e u r v a r i a b l e . De même que nous a v i o n s d é f i n i au P a r a g r a p h e 1.1 un r e p è r e l o c a l en t o u t p o i n t de S nous u t i l i s o n s maintenant l e système d e s c o o r d o n n é e s c u r v i l i g n e s normales pour d é f i n i r un r e p è r e l o c a l en t o u t p o i n t M de l a coque C . En d é r i v a n t l a r e l a t i o n Ôîï = ^ ( ǹ , Dz) + dza 3 i l v i e n t avec ( 1 . 1 - 3 ) e t (1.3-1*)

« g3 » 0M^3 » a3.

A i n s i l e s v e c t e u r s g\ e t g 2 sont p a r a l l è l e s au p l a n t a n g e n t à l a coque en

%{Z^l,Z²). Pour m o n t r e r que l e s t r o i s v e c t e u r s g . forment une b a s e i l s u f f i t donc d ' é t a b l i r que gj*g2 * 0 en t o u s l e s p o i n t s de l a c o q u e . Les r e l a t i o n s ( 1 . 2 - U ) e t (1.2-12) e n t r a î n e n t

! l * g² » ( l - 2 dzh > U³)²K ) \ £ a³.

Comme l e s r a y o n s de c o u r b u r e p r i n c i p a u x sont des extrema des r a y o n s de c o u r b u r e normaux on a

| h | < — , | K | < , m i n | RN| ( m i n | RN| )2

où m i n | RN| e s t c a l c u l é au p o i n t ^ ( Ç1, ^2) pour t o u t e s l e s s e c t i o n s normales p o s s i b l e s . C e c i nous c o n d u i t à s u p p o s e r | R^N| # 0 en tou3 l e s p o i n t s de o u , comme ïl e s t c o m p a c t , q u ' i l e x i s t e nombre r é e l a > 0 t e l que m i n | R^N| > a > 0 pour t o u s l e s p o i n t s de S . C e t t e h y p o t h è s e , q u i e s t du r e s t e l a s e u l e hypothèse que nous f e r o n s s u r l a g é o m é t r i e de l a s u r f a c e moyenne, n ' e s t en p r a t i q u e nullement r e s t r i c t i v e . A l o r s l ' h y p o t h è s e de coque mince ( e ( £^l, Dz) < - j Q » i n | R^N| ) e n t r a î n e

P a r s u i t e

- 13 -

1 -^2Ç3 „^{+ ( £} 3^{) 2 K > 1} . | _ ⁺ _ l _ ⁼ _ B l^>0i d'où g i * g 2 * 0 . L a F i g u r e 2 . 3 - 1 i l l u s t r e ces c o n s i d é r a t i o n s .

^^^^^^^^^^

F i g u r e 2 . 1 - 1

La g é o m é t r i e de l a coque C a i n s i d é f i n i e s e r t constamment p a r l a s u i t e de c o n - f i g u r a t i o n de r é f é r e n c e . En e f f e t nous é t u d i o n s dans ce t r a v a i l l e s problèmes s t a t i o n - n a i r e s de coque r é p o n d a n t à l a d e s c r i p t i o n s u i v a n t e (une f o r m u l a t i o n p r é c i s e e s t donnée au C h a p i t r e 3 ) . S o i t C l a c o n f i g u r a t i o n de l a coque avant d é f o r m a t i o n . Nous supposons que l a coque e s t e n c a s t r é e s u r une p a r t i e de son b o r d e t soumise à une c e r t a i n e d i s t r i b u t i o n de f o r c e s de volume e t de f o r c e s de s u r f a c e s ' e x e r ç a n t s u r l e s f a c e s s u p é r i e u r e e t i n f é r i e u r e de l a c o q u e , a i n s i que mr l a p a r t i e du bord non e n c a s t r é e . Sous l ' a c t i o n de c e s f o r c e s l a coque se déforme et p r e n d une n o u v e l l e con- f i g u r a t i o n C * . C o n n a i s s a n t l e s c o n s t a n t e s p h y s i q u e s c a r a c t é r i s a n t l e matériau composant l a c o q u e , l a c o n f i g u r a t i o n i n i t i a l e Ç , l a d i s t r i b u t i o n des f o r c e s a p p l i - quées et l e s c o n d i t i o n s aux l i m i t e s l e problème c o n s i s t e à d é t e r m i n e r l e s d é p l a c e - ments des p o i n t s de C . On peut a l o r s en d é d u i r e l e s d é f o r m a t i o n s et l e s c o n t r a i n t e s

• en t o u t p o i n t de C .

- 14 -

S e l o n l ' u s a g e nous notons p a r l a suit*» à l'aid#> d'une m£me l e t t r e l e s v a r i a b l e s c o r r e s p o n d a n t e s avant e t a p r è s d é f o r m a t i o n , u n e b a r r e s u p é r i e u r e d i s t i n g u a n t l a v a r i a b l e de l a c o n f i g u r a t i o n déformée.

2 , 2 . g WJJATTQN D , g Sⁿ_ p j y g p y A T J g N S^{r i}g Q U Q l ^ J g Q Q U ^ ^ l B S ^ *

L ' é v a l u a t i o n des d é f o r m a t i o n s de l a coque e n g e n d r é e s p a r l e p a s s a g e de l a c o n f i - g u r a t i o n i n i t i a l e C à l a c o n f i g u r a t i o n f i n a l e C s u p p o s e , e n t r e a u t r e s , l a c o n - n a i s s a n c e des g é o m é t r i e s de c e s deux c o n f i g u r a t i o n s . Pans ] e C h a p i t r e 1 nous avons r a p p e l é t o u t e s l e s c a r a c t é r i s t i q u e s g é o m é t r i q u e s de l a s u r f a c e moyenne de l a coque non déformée p u i s dans l e P a r a g r a p h e 2 . 1 nous avons d é f i n i l a g é o m é t r i e de l a c o q u e C , I l nous r e s t e maintenant à e f f e c t u e r une démarche a n a l o g u e pour l a c o n f i g u r a t i o n C * de l a coque d é f o r m é e .

Géométrie de l a s u r f a c e moyenne déformée :

S o i t P l a p o s i t i o n d'une p a r t i c u l e quelconque de l a s u r f a c e moyenne de l a coque avant d é f o r m a t i o n ; a p r è s d é f o r m a t i o n c e t t e même p a r t i c u l e occupe l a p o s i t i o n P . Le v e c t e u r

3 = u ( Çl, Ç2) = PP e s t a p p e l é v e c t e u r déplacement du p o i n t P . On pose

. , -*• ->i i ( 2 . 2 - 1 ) u = u^ a » u a ^ .

Les t r o i s f o n c t i o n s u^ : ( Ç1, ^2) € Tï ~+ \x^(0 *ZZ) F R sont l e s i n c o n n u e s ( p r i n c i p a l e s ) du p r o b l è m e .

Lorsque (Ç*,Ç2) d é c r i t l ' e n s e m b l e ÎT • fl, U r l e p o i n t P d é c r i t l a s u r f a c e moyenne déformée. De l a r e l a t i o n

O P = Ô Î + u = } + u

on d é d u i t g r â c e aux r e l a t i o n s ( 1 . 1 - 3 ) e t ( 1 . 3 - 1 * » ) l ' e x p r e s s i o n des v e c t e u r s ( 2 . 2 - 2 ) ï - ( £ = ( 6 * + u^X| -bV ) a . • ( u³1 +bV ) a , .

o , a a Ia a 3 A | a a A 3

Nous v e r r o n s au P a r a g r a p h e 2.3 que c e s deux v e c t e u r s s o n t l i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t s . I l e s t a l o r s p o s s i b l e de d é f i n i r un v e c t e u r " 3 norme e t o r t h o g o n a l aux deux p r e m i e r s :

->

( 2 . 2 - 3 ) 7³ = .

| â " i * â²|

•+

Les t r o i s v e c t e u r s â \ forment donc une b a s e l o c a l e de £³, a n a l o g u e à l a b a s e a\ i n t r o d u i t e au C h a p i t r e 1 . De l a c o n n a i s s a n c e de c e t t e b a s e l o c a l e a^ on d é d u i t l e s c a r a c t é r i s t i q u e s g é o m é t r i q u e s de l a s u r f a c e moyenne déformée comme on l ' a f a i t au C h a p i t r e 1 .

- 15 -

Géométrie de l a coque déformée Ç * :

Pour d é f i n i r C on p o u r r a i t , p a r a n a l o g i e avec l a d é f i n i t i o n de l a s u r f a c e moyenne d é f o r m é e , i n t r o d u i r e l e champ des déplacements des p a r t i c u l e s de l a coque C au c o u r s de l a d é f o r m a t i o n . C ' e s t p a r exemple l a démarche r e t e n u e dans l a m o d é l i s a t i o n de l ' é l a s t i c i t é t r i d i m e n s i o n n e l l e . Les t h é o r i e s de coqu*> p r o p o s é e s p a r LOVE, KIRCHHOFF, KOITER r e p o s e n t sur une démarche fondamentalement d i f f é r e n t e : ces a u t e u r s d é d u i s e n t de l a c o n n a i s s a n c e du champ du déplacement de l a s e u l e s u r f a c e moyenne de l a coque une a p p r o x i m a t i o n s a t i s f a i s a n t e des d i v e r s e s c a r a c t é r i s t i q u e s de l a coque déformée : t o u t d ' a b o r d l a géométrie ( à p a r t i r du champ du d é p l a c e m e n t ) * l e s d é f o r m a t i o n s , l e s c o n t r a i n t e s . . . . L ' i n t é r ê t du p a s s a g e d'une t h é o r i e t r i d i m e n s i o n n e l l e à une t h é o r i e b i d i m e n s i o n n e l l e e s t é v i d e n t , ne s e r a i t - c e que du s e u l p o i n t de vue de l a r é s o l u t i o n numérique. Ces t h é o r i e s approchées r e p o s e n t sur un c e r t a i n nombre d ' h y p o t h è s e s . Nous r a p p e l o n s c i - d e s s o u s l e s deux f a m i l l e s d ' h y p o t h è s e s l e s p l u s r é p a n d u e s , renvoyant à KOITER [ 1 ] p p . 15-l6 pour une a n a l y s e a p p r o f o n d i e .

P r e m i è r e f a m i l l e d'hypothèses (LOVE-KIRCHHOFF) :

Les normales à l a s u r f a c e moyenne non d é f o r m é e , c o n s i d é r é e s comme des ensembles de p o i n t s de l a coque

( i ) r e s t e n t normales à l a s u r f a c e moyenne déformée ;

( i i ) ne changent pas de l o n g u e u r . |

P l u s précisément s i nous d é s i g n o n s p a r M l a p o s i t i o n d'une p a r t i c u l e quelconque de C » Par p l a p r o j e c t i o n de M s u r l a s u r f a c e moyenne de C , par M et P l e s p o s i - t i o n s r e s p e c t i v e s de ces mêmes p a r t i c u l e s a p r è s d é f o r m a t i o n , a l o r s l e s hypothèses de b a s e c i - d e s s u s é q u i v a l e n t à :

—+. — • — •

( 2 . 2 - U ) OM = OP + F,³ â³ ,

d'où p a r a n a l o g i e avec l e P a r a g r a p h e 2.1 :

( 2 . P - 5 ) g = OM «= ( *^V- F ,³b^V) â .

On montre au P a r a g r a p h e 2.3 que c e s deux v e c t e u r s sont l i n é a i r e m e n t indépendants ce qui permet de d é f i n i r

->

+ 5*1^x G2

(2.2-6) g3 = _ ^ .

181**2I

Les t r o i s v e c t e u r s g j , g"²» ^3 f o r e n t a l o r s une b a s e l o c a l e en chaque point de l a coque déformée C •

- 1 6 -

Deuxième f a m i l l e d ' h y p o t h è s e s ( h y p o t h è s e s t a t i q u e de c o n t r a i n t e s p l a n e s ) . ( i ) l e s n o r m a l e s à l a s u r f a c e moyenne non d é f o r m é e , c o n s i d é r é e s comme des ensembles de p o i n t s de l a c o q u e , r e s t e n t normales à l a s u r f a c e moyenne d é f o r m é e :

( i i ) au c o u r s de l a d é f o r m a t i o n l e s c o n t r a i n t e s sont approximativement p l a n e s

e t p a r a l l è l e s au p l a n t a n g e n t à l a s u r f a c e moyenne. g

En r a i s o n n a n t t o u j o u r s s u r l e s p o s i t i o n s M e t P ( r e s p . M e t P ) des deux p a r t i - c u l e s de l a c o n f i g u r a t i o n non déformée C ( r e s p . déformée C*) de l a coque l a p r e - m i è r e des deux h y p o t h è s e s c i - d e s s u s e n t r a î n e (comparer à ( 2 . 2 - U ) ) :

( 2 . 2 - 7 ) OM - OP + p a"³,

d e _ _ 1 #

où p e s t l a c o t e / M mesurée s u r ( P , a³) . C e c i r e v i e n t à d i r e que l a coque déformée C e s t r a p p o r t é e à un nouveau système de coordonnées c u r v i l i g n e s ( ǹ^2, ^3) d i f f é r a n t du système i n i t i a l ( Ç^{l f}£², dz) p a r l a t r o i s i è m e coordonnée. I l semble que l ' o n p u i s s e

s u p p o s e r , en p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n au m o i n s , que p ne dépend pas de ǹ et £²; on montre a l o r s ( c f . KOITER [ 1 ] page 1 5 ; on p o u r r a également c o n s u l t e r NAGHDI [ 1 ] §U)

que l ' h y p o t h è s e ( i i ) permet de d é t e r m i n e r P . L a r e l a t i o n ( 2 . 2 - 7 ) permet de d é f i n i r en chaque p o i n t R de C un r e p è r e l o c a l

( i =

rSa\,

l a a a

\ 83 ^Œ £ £ T a3 »

c a r l e s v e c t e u r s g i e t "£2sorrt l i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t s ( c f . P a r a g r a j h e 2 . 3 ) .

S u i v a n t KOITER [ 1 ] nous s u p p o s e r o n s p a r l a s u i t e que l e s h y p o t h è s e s de l a seconde f a m i l l e sont v é r i f i é e s .

Les g é o m é t r i e s de l a s u r f a c e moyenne e t de l a coque avant e t a p r è s d é f o r m a t i o n é t a n t p r é c i s é e s , nous sommes en mesure d ' é v a l u e r l e t e n s e u r de d é f o r m a t i o n de l a coque d a n s l a c o n f i g u r a t i o n C . N a t u r e l l e m e n t , dans l a c o n f i g u r a t i o n C» l a coque e s t au r e p o s e t l e s t e n s e u r s de d é f o r m a t i o n e t de c o n t r a i n t e s o n t n u l s .

Pour un m i l i e u c o n t i n u t r i d i m e n s i o n n e l l e t e n s e u r de d é f o r m a t i o n a p o u r e x p r e s - s i o n

(2.2-9) ^ - K j -⁸ i j ⁾

où g\ . ( r e s p . g ^ . ) e s t l e t e n s e u r m é t r i q u e du m i l i e u c o n t i n u dans l a c o n f i g u r a t i o n déformée ( r e s p . non d é f o r m é e ) , pour une même p a r s m é t r i s a t i o n ( ǹ, ^², ^³) . L ' e x p o s a n t * q u i a p p a r a î t en ( 2 . 2 - 9 ) d i s t i n g u e l e s t e n s e u r s d é f i n i s s u r £³ des t e n s e u r s de s u r f a c e .

L e s r e l a t i o n s ( 2 . 1 - U ) ( 2 , 2 - 3 ) (2.2-8) e t ( 1 . 2 - 1 2 ) e n t r a î n e n t en p a r t i c u l i e r

- 17 -

1 1

£ o ⁼ R * S „ ^{= a} « - 2 b J p + c ( E³) ,

aB a ^JB aB aB oB '

g , ^{5 5} g . = g" _ = g", = 0 . a3 3a a3 3a

d'hypothèse ( i m p l i c i t e dans t o u t e c e t t e t h é o r i e ) de " p e t i t e s " d é f o r m a t i o n s , j o i n t e 2 ' 2 i c e l l e de coque mince permet d'une p a r t , de n é g l i g e r l e s termes en ( p ) e t ( p ) l ' a u t r e p a r t de r e m p l a c e r P p a r C³ dans g a l o r s à p a r t i r de ( 2 . 2- 9 )

. aB

( 2 . 2 - 1 0 )

\ i - ^Y3 a ⁼ ° «

E n f i n pour un m a t é r i a u é l a s t i q u e homogène i s o t r o p e v é r i f i a n t l a l o i de Hooke i l e s t f a c i l e de v é r i f i e r que l ' h y p o t h è s e de c o n t r a i n t e s p l a n e s e n t r a î n e

( 2 . 2 - 1 1 ) Y33 Y „ = * V^BX ,

j d é s i g n a n t l e c o e f f i c i e n t de P o i s s o n du m a t é r i a u . En d ' a u t r e s t e r m e s , ces r e l a t i o nontrent que l ' é v a l u a t i o n du t e n s e u r des d é f o r m a t i o n s de l a coque C se ramène à l ' é v a l u a t i o n d e s deux t e n s e u r s de s u r f a c e s u i v a n t e :

(i ) Lr» t e n s e u r de d é f o r m a t i o n de l a s u r f a c e moyenne

( i i ) Le t e n s e u r de changement de c o u r b u r e

(2-²"¹³⁾ ' . B = \ ⁶ - ^b« B •

L ' o r i g i n e des a p p e l l a t i o n s de ces deux t e n s e u r s e s t é v i d e n t e pour l e p r e m i e r . Pour l e second e l l e p r o v i e n t de ce que l a seconde forme fondamentale de l a s u r f a c e permet d ' é v a l u e r l e s c o u r b u r e s n o r m a l e s . S i g n a l o n s que s i l a d é f i n i t i o n du tenseur Y . e s t commune à l a p l u p a r t des t h é o r i e s de c o q u e , i l n'en v a pas de même de l a

aB

s e c o n d e . A i n s i KOITER [ 1 ] s i g n a l e d ' a u t r e s c h o i x p o s s i b l e s pour l e t e n s e u r de chan cernent de c o u r b u r e ayant peu d ' i n c i d e n c e s u r l a v a l e u r de l ' i n t é g r a l e d ' é n e r g i e . Mentionnons e n f i n que l a n o t a t i o n o" n e s t c e l l e de KO T TER [ 1 1 .

Nous terminons ce p a r a g r a p h e en d é t e r m i n a n t l e s r e l a t i o n s e n t r e l e s t e n s e u r s Y g e t ô" g e t l e s composantes u^ du déplacement d é f i n i e s en (2 2 - 1 ) . Comme nous nous l i m i t o n s i c i au modèle l i n é a i r e t o u t e s ces r e l a t i o n s seront l i n é a r i s é e s . Nous r e n v o y o n s à KOITER ( I l pour l ' é t u d e du modèle non l i n é a i r e .

Les r e l a t i o n s ( 2 . 2 - 2 ) e t ( 2 . 2 - 1 2 ) donnent t o u t d ' a b o r d l ' e x p r e s s i o n suivante pour l e t e n s e u r l i n é a r i s é de d é f o r m a t i o n de l a s u r f a c e moyenne :

1 , X

- 18 -

Pour c a l c u l e r p » b ^ "b a B nous p a r t o n s de l a r e l a t i o n ( 1 . 2 - 9 ) , i . e . ,

^ - B " V * B , « '

En l i n é a r i s a n t l ' e x p r e s s i o n ( 2 . 2 - 3 ) dans l a q u e l l e l e s v e c t e u r s a \ e t s o n t c a l c u l é s g r â c e à ( 2 . 2 - 2 ) , on o b t i e n t

( 2 . 2 - 1 5 )

V -

3 | -

a V

Grâce aux f o r m u l e s de Gauss (1.3-3) e t de W e i n g a r t e n ( 1 . 3 - U ) on c a l c u l e , à p a r t i r de ( 2 . 2 - 2 ) , l ' e x p r e s s i o n de â", . 1 1 r e s t e a l o r s à f a i r e l e p r o d u i t s c a l a i r e donnant b e t à " l i n é a r i s e r " l e r é s u l t a t . C e c i c o n d u i t pour l e t e n s e u r ~ „ 3 b „ - b „ à op « B o6 08 l ' e x p r e s s i o n s u i v a n t e :

(2.2-16) J « « u . • b î , u , • b^X u . + b^X u , ,^a - c „ u „ . aB 3 | a 8 6 | a X B X | a a X j B a B 3

La s y m é t r i e du t e n s e u r o e s t une conséquence des r e l a t i o n s d e M a i n a r d i - C o d a z z i (1.3-12) e t des r e l a t i o n s ( 1 . 3 - 1 6 ) .

Avant de p a s s e r à l ' é v a l u a t i o n d e s c o n t r a i n t e s p o u r une coque mince i l e s t i n t é - r e s s a n t de donner une i n t e r p r é t a t i o n g é o m é t r i q u e de l a d é f o r m a t i o n de l a s u r f a c e moyen- n e . C e l l e - c i s ' a v é r e r a u t i l e dans l a d é m o n s t r a t i o n du Théorème du mouvement r i g i d e .

2.3. £E^raaftgQB,gBQW^?mPRPETO*^^

C e t t e i n t e r p r é t a t i o n p r é c i s e l e s t r a n s f o r m a t i o n s g é o m é t r i q u e s q u i p e r m e t t e n t de p a s s e r du r e p è r e l o c a l ( P , a . ) de l a s u r f a c e moyenne non déformée au r e p è r e l o c a l (P~,a". ) de l a s u r f a c e moyenne d é f o r m é e . I l e s t f a c i l e de v é r i f i e r que l e s r e l a t i o n s (2.2-2) e t (2.2-15) peuvent s ' é c r i r e :

(2.3-1) a^a« a^a * ^{Y j l} a⁰ • * * ^V

( 2 . 3 - 2 ) a³ - a³ • <P * a³ ,

avec

(2.3-3) Y* - a3X YXa, yXa donné p a r ( 2 . 2 - l U ) ,

(2.3-U) £ « eX e a . • na"3 , cX 0 e s t donné p a r ( 1 . 2 - 5 ) , P A

(2- * -5) • $ "U3 | B + ,' bu« '

( 2 . 3 - 6 )

Q - | c »

« ,

- i

u

,

( 2 . 3 - T ) "^{a B}4 ^{( U}B | - -^U- | B⁾ ' S B " '

Dans l e s f o r m u l e s ( 2 . 3 - U ) e t ( 2 . 3 - 5 ) nous avons u t i l i s é l e s n o t a t i o n s c c n s a c r é e s 4>0 q u i n ' o n t r i e n de commun a v e c l a c a r t e if.

P

- 1 9 -

A i n s i l e p a s s a g e de l a b a s e l o c a l e ( a , a . ) avant d é f o r m a t i o n à l a b a s e l o c a l e

"* et •'

( a^Œ, a ) a p r è s déformation s ' e f f e c t u e ( t o u j o u r s dans l ' h y p o t h è s e de " p e t i t e s " d é f o r - m a t i o n s ) en t r o i s é t a p e s .

( i ) Une t r a n s l a t i o n PP q u i n ' a p p a r a î t p a s d a n s l e s r e l a t i o n s ( 2 . 3 - 1 ) ( 2 . 3 - 2 ) . ( i i ) U"¹" déformation pure q u i se t r a d u i t p a r l ' a d d i t i o n du v e c t e u r y a au v e c -

-v ; — . ^ "

t e u r a^a» c e qui j u s t i f i e l ' a p p e l l a t i o n de t e n s e u r de d é f o r m a t i o n l i n é a r i s é de l a s u r f a c e moyenne pour y _.

oS ^ -v

( i i i ) Une r o t a t i o n d ' a n g l e y> , P l u s p r é c i s é m e n t <p admet l e s composantes s u i v a n t e s : D'une p a r t l a composante U ⁹ e**^ a dans l e p l a n t a n g e n t à l a s u r f a c e non déformée

n 8 ex-

ce q u i j u s t i f i e l ' a p p e l l a t i o n de r o t a t i o n de l a normale à l a s u r f a c e moyenne donnée au v e c t e u r de composantes <f» ; D ' a u t r e p a r t l a composante Ha 3 s u r l a normale à l a s u r -

a

f a c e moyenne non déformée. C e c i j u s t i f i e l e s a p p e l l a t i o n s de t e n s e u r de r o t a t i o n de l a s u r f a c e moyenne pour l e t e n s e u r e t de r o t a t i o n a u t o u r de l a normale p o u r l e s cal f**re n .

C e t t e i n t e r p r é t a t i o n géométrique e s t i l l u s t r é e p a r l a F i g u r e 2 . 3 - 1 .

Déformation Robabion

1

*ï ^MA

\ » ifa

\fi \Translabion

F i g u r e 2 . 3 - 1 .

Nous sommes maintenant eji mesure de démontrer l ' a s s e r t i o n du P a r a g r a p h e 2 . 2 s e l o n l a q u e l l e l e s v e c t e u r s â i , a² d ' u n e p a r t , l e s v e c t e u r s g j , f,2 d ' a u t r e p a r t sont