Sur la génération

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P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON

A ^CHILLE A ^CHACHE

Sur la génération

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1968, tome 5, fascicule 2 , p. 57-72

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(2)

Mathématiques Lyon 1968 t. 5-3

S U R L A G E N E R A T I O N

p a r A c h i l l e A C H A C H E

C e t t e n o t e e s t u n e s s a i d e g é n é r a l i s a t i o n d e c e r t a i n e s d é f i n i t i o n s et c e r t a i n s r é s u l t a t s d e la t h é o r i e d e la g é n é r a t i o n . U n a x i o m e p l u s f a i b l e q u e l'axiome d ' é c h a n g e d e S t e i n i t z e s t i n t r o d u i t : i l e s t d i t " a x i o m e d ' é c h a n g e a f f a i b l i " . D e m ê m e , d e u x n i v e a u x d e l i b e r t é a p p a r a i s s e n t : l e p l u s f o r t e s t d é s i g n é p a r le m o t " i n d é p e n d a n c e " .

I - P r é l i m i n a i r e s .

L ' e n s e m b l e d e s m a j o r a n t s d ' u n é l é m e n t x d ' u n e n s e m b l e o r d o n n é (E^f) s e r a n o t é r ( x ) . L ' e n s e m b l e d e s m i n o r a n t s d e x s e r a n o t é s ( x ) . L ' e n s e m b l e d e s é l é m e n t s d e E q u i m a j o r e n t x e t m i n o r e n t y s e r a n o t é [x,y) L ' e n s e m b l e d e s é l é m e n t s d e E q u i m a j o r e n t s t r i c t e m e n t x e t m i n o r e n t y s e r a n o t é J x , y j .

U n e n s e m b l e o r d o n n é e s t d i t i n d u c t i f a u s e n s f o r t s i c h a c u n e d e s e s p a r t i e s t o t a l e m e n t o r d o n n é e s a u n s u p r e m u m . U n ensenrtole o r d o n n é e s t d i t i n d u c t i f s i c h a c u n e d e s e s p a r t i e s t o t a l e m e n t o r d o n n é e s e s t m a j o r é e . S i u n e n s e n b l e e s t i n d u c t i f a u s e n s f o r t , i l e s t é v i d e m m e n t i n d u c t i f . L ' e n s e m b l e d e s m a j o r a n t s d ' u n é l é m e n t d o n n é d ' u n e n s e m b l e i n d u c t i f e s t é v i d e m m e n t u n e n s e m b l e i n d u c t i f (pour l'ordre i n d u i t ) .

1. Lemme d e Z o r n : S i u n e n s e m b l e o r d o n n é e s t i n d u c t i f , il p o s s è d e a u m o i n s un é l é m e n t m a x i m a l .

2* C o r o l l a i r e : S i E e s t u n e n s e m b l e o r d o n n é i n d u c t i f , e t x u n é l é m e n t d o n n é d e E , l ' e n s e m b l e d e s é l é m e n t s d e E q u i m o j o r e n t x p o s s è d e a u m o i n s un é l é m e n t m a x i m a l .

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58 Sur la génération

U n e n s e m b l e o r d o n n é E e s t d i t r é t i c u l é s u p é r i e u r e m e n t s i t o u t e p a r t i e f i n i e d e E a u n s u p r e m u m . S i E e s t r é t i c u l é s u p é r i e u r e m e n t , s a p a r t i e v i d e a en p a r t i c u l i e r un s u p r e m u m ; c o m m e l'ensemble d e s m a j o r a n t s d e la p e r t i e v i d e e s t E , i l e n r é s u l t e que E a un m i n i m u m , qui s e r a n o t é 0.

3. D é f i n i t i o n : E t a n t d o n n é u n t r e i l l i s c o m p l e t E , un é l é m e n t a d e E s e r a d i t fin s i :

CX C E e t a * VX) ( j Y , f i n i e , Ç X , a v e c a^s< V Y ) ( x ) N o u s d é s i g n e r o n s le m i n i m u m d u t r e i l l i s c o m p l e t p a r o, e t s o n m a x i m u m p a r e. Le m i n i m u m d'un t r e i l l i s c o m p l e t est f i n , car il e s t é g a l a u s u p r e m u m de la p a r t i e v i d e .

4. P r o p o s i t i o n : L e s u p r e m u m d'un e n s e m b l e f i n i d ' é l é m e n t s f i n s d ' u n t r e i l l i s c o m p l e t e s t u n é l é m e n t f i n .

P r e u v e , S o i t A un e n s e m b l e f i n i d ' é l é m e n t s f i n s d u t r e i l l i s c o m p l e t E . S o i t V A » p . S u p p o s o n s p 4 V X . S i a e s t un é l é m e n t d e A , o n a : a ^ p ^ V X , d o n c a ^ VX. C o m m e a e s t f i n , o n e n d é d u i t l'existence d'une p a r t i e f i n i e X d e X

a t e l l e q u e : a £ vX^. Nous p o u v o n s a s s o c i e r à c h a q u e a £ A une t e l l e p a r t i e , n o t é e X . P o s o n s ^ X = Y. O n a d é j à Y £ - X . E n o u t r e : p = V A * V (VX )

3 a a . a £ A 3

M a i s V (VX ) = V ( U X ) = VY. O n a d o n c p u t r o u v e r u n e p a r t i e f i n i e Y d e X

ae/\^a a£A^a

t e l l e q u e p ^ VY. C e c i étant vrai q u e l l e q u e soit X t e l l e q u e p ^ V X , o n e n c o n c l u t que p e s t f i n .

5. D é f i n i t i o n : U n e p a r t i e A d u t r e i l l i s c o m p l e t E e s t d i t e à c a r a c t è r e f i n s i , p o u r q u ' u n é l é m e n t a p p a r t i e n n e à A , i l f a u t e t il s u f f i t que t o u t s e s m i n o r a n t s f i n s a p p a r t i e n n e n t à A.

Il e n r é s u l t e q u e , s i A e s t une p a r t i e n o n vide à c a r a c t è r e f i n , t o u t m i n o r a n t f i n d e A a p p a r t i e n t à A 5 e n p a r t i c u l i e r , 0 a p p a r t i e n t à A .

(*) Autrement dit si a est c o m p a c t pour la "topologie"dont les ouverts sont les éléments de E (topologie discrète)

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E n o n ç o n s le lemmQ é v i d e n t s u i v a n t .

6. Lemme : S i une p a r t i e X d u t r e i l l i s c o m p l e t E e s t t e l l e q u e , q u e l l e que s o i t la p a r t i e t o t a l e m e n t o r d o n n é e C d e X, on ait V C £ X i a l o r s X e s t un e n s e m b l e i n d u o t i f a u s e n s f o r t (pour l'ordre i n d u i t ) .

7. P r o p o s i t i o n : T o u t e p a r t i e n o n v i d e à c a r a c t è r e fin d ' u n t r e i l l i s c o m p l e t e s t i n d u c t i v e au sens f o r t (pour l'ordre i n d u i t ) .

P r e u v e . S o i t A une p a r t i e n o n vide d u t r e i l l i s c o m p l e t E , s u p p o s é e à c a r a c t è r e f i n . S o i t C une p a r t i e t o t a l e m e n t o r d o n n é e d e A . S o i t a un m i n o r a n t f i n n o n n u l d e V C . L ' é l é m e n t a é t a n t f i n , o n p e u t , d ' a p r è s la d é f i n i t i o n ( 3 ) , t r o u v e r u n e p a r t i e f i n i e • de C t e l l e que a ^ V D . S i D é t a i t v i d e , s o n s u p r e m u m s e r a i t 0, et a s e r a i t n u l , c e q u i n ' e s t p a s . D o n c D n ' e s t pas v i d e . P a r a i l l e u r s , D é t a n t u n e p a r t i e d e C , e s t , c o m m e C , t o t a l e m e n t o r d o n n é e . D é t a n t une c h a î n e f i n i e non v i d e , o n a d o n c j V D è D . L t é l é m e n t a e s t f i n e t m i n o r e l ' é l é m e n t V D d e A . D o n c , d ' a p r è s la d é f i n i t i o n ( 5 ) , a a p p a r t i e n t à A . En r é s u m é , t o u t m i n o r a n t f i n n o n n u l de V C a p p a r t i e n t à A . M a i s 0 a p p a r t i e n t a u s s i à A

(df a p r è s la r e m a r q u e q u i a s u i v i la d é f i n i t i o n ( 5 ) ) . D o n c , t o u t m i n o r a n t f i n d e V C a p p a r t i e n t à A . D o n c , d ' a p r è s la d é f i n i t i o n ( 5 ) , V C ^ A . E n u t i l i s a n t à

p r é s e n t le lemme ( 6 ) , on voit que A e s t un ensenrtble i n d u c t i f a u s e n s f o r t . 8. L e m m e : S i y e s t un é l é m e n t d u t r e i l l i s c o m p l e t E , l ' e n s e m b l e s(y) d e s

m i n o r a n t s de y e s t u n t r e i l l i s c o m p l e t ( p o u r l'ordre i n d u i t ) . P r e u v e . S i P e s t une p a r t i e n o n v i d e d e s ( y ) , l ' e n s e m b l e d e s m i n o r a n t s de P q u i a p p a r t i e n n e n t à s t y ) se c o n f o n d a v e c l ' e n s e m b l e d e s m i n o r a n t s de P , et a d o n c p o u r m a x i m u m A P . S i P e s t v i d e , l ' e n s e m b l e d e s m i n o r a n t s d e P q u i a p p a r t i e n n e n t à s(y) e s t s t y ) , e t a d o n c p o u r m a x i m u m y. E n f i n , q u e l l e q u e s o i t la p a r t i e P d e s t y ) , l ' e n s e m b l e d e s m a j o r a n t s d e P q u i a p p a r t i e n n e n t à sty) a p o u r m i n i m u m V P . *

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Sur la génération

9. L c m m e : S i A e s t une p a r t i e à c a r a c t è r o - f i n d u t r e i l l i s c o m n l e t . B ^ ^ t y un é l é m e n t d e E , l¹ e n s e m b l e A O ( s ( y ) ) e s t une p a r t i e à c a r a c t è r e f i n d u t r e i l l i s c o m p l e t s ( y ) .

P r e u v e , P o u r q u ' u n m i n o r a n t m d e y a p p a r t i e n n e à A , il faut et il s u f f i t , d ' a p r è s la d é f i n i t i o n (5) que tous ses m i n o r a n t s f i n s a p p a r t i e n n e n t à A. M a i s l'ensemble d e s m i n o r a n t s d e m e s t i d e n t i q u e à l'ensemble d e s m i n o r a n t s d e m q u i a p p a r t i e n n e n t è l'ensemble s [ y ) . D o n c , pour q u ' u n m i n o r a n t m d e y

a p p a r t i e n n e à A f M s ( y ) ) , il f a u t e t il s u f f i t que tous les é l é m e n t s d e s(y) qui s o n t d e s m i n o r a n t s fins d e m a p p a r t i e n n e n t à A O ( s t y ) ) . La d é f i n i t i o n

(5) p e r m e t d e c o n c l u r e .

10. P r o p o s i t i o n : S i A e s t une p a r t i e non v i d e à c a r a c t è r e f i n d u t r e i l l i s c o m p l e t E , s i y est un é l é m e n t d e E , s i e n f i n a e s t un é l é m e n t d s A q u i m i n o r e y ; a l o r s l'ensemble A O [a,y] p o s s é d a a u m o i n s u n é l é m e n t m a x i m a l .

P r e u v e . D'après ( 9 ) , A O ( s ( y ) } e s t une p a r t i e à c a r a c t è r e f i n d u t r e i l l i s c o m p l e t s C y ) . D o n c , d'après ( 7 ) , A O ( s { y ) ï e s t un e n s e m b l e i n d u c t i f . E n f i n , d ' a p r è s ( 2 ) , l'ensemble ( A 0 [ s ( y ) ) ) 0 r(a] p o s s è d e a u m o i n s un é l é m e n t m a x i m a l ,

11. G é n é r a t i o n d a n s un e n s e m b l e r é t i c u l é s u p é r i e u r e m e n t .

11. D é f i n i t i o n : On a p p e l l e f e r m e t u r e d'un e n s e m b l e o r d o n n é E u n e a p p l i c a t i o n f de E d a n s E t e l l e que :

n V / a - b C E o ^ b = ) f [ a )^x< f t b ) 2 ) V x £ E x < f(x) 3] fof • f.

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12- D é f i n i t i o n s : E t a n t d o n n é u n e f e r m e t u r s f d e l'ensemble r é t i c u l é s u p é - r i e u r e m e n t E

1) U n é l é m e n t d e E e s t d i t f - f e r m é (ou f e r m é s'il n'y a p a s r i s q u e d ' é q u i v o q u e ) s'il a p p a r t i e n t à f ( E ) ) .

2) On d i t q u e x f - e n g e n d r e y (ou est un f - g é n é r a t e u r d e y) si y * f ( x ) .

3) 1 e s t d i t f - l i b r e s i , q u e l que s o i t u ^ E : (u < U ) (f(u) < f ( l ) L

4) x e s t d i t une f b a s e d e y si x e s t un f - g é n é r a t e u r l i b r e d e y.

5) x e s t d i t f-lié s'il n ' e s t p a s f - l i b r e .

D a n s t o u t e la s u i t e d e c e t t e p a r t i e , il s e r a q u e s t i o n , c o m m e d a n s ( 1 2 ) , d ' u n e f e r m e t u r e f d ' u n e n s e m b l e r é t i c u l é s u p é r i e u r e m e n t . Il r é s u l t e d e (12) q u e , p o u r que x s o i t une b a s e d e y, il f a u t e t il s u f f i t que x s o i t un

é l é m e n t m i n i m a l d e l ' e n s e m b l e d e s g é n é r a t e u r s de y . Il en r é s u l t e q u e , si d e u x é l é m e n t s d i s t i n c t s s o n t b a s e s d ' u n m ê m e é l é m e n t , ils ne s o n t p a s c o m p a r a b l e s . On d é s i g n e r a p a r L l ' e n s e m b l e d e s l i b r e s .

13. Lemme : 1) S i a^x< b , on a : f(a) = f ( b ) £ = > b £ f ( a ) .

2) Q u e l s que s o i e n t a e t c , o n a : [f(a) « f ( a v c) j c= * > c $ f ( a ) . P r e u v e . S i a x< b Î f ( a ) = f(b)<K>f(b) >5 f ( a № * > b * f ( a ) .

La d e u x i è m e p a r t i e d u lemme r é s u l t e de la p r e m i è r e ,

14. P r o p o s i t i o n : Lss t r o i s a s s e r t i o n s s u i v a n t e s s o n t é q u i v a l e n t e s : (1) a e s t lié

(2)

5

u £ E t e l q u e u < a e t f(u) « f(a) (3) 3 u é E tel q u e a e ] u^ff ( u î ) P r e u v e , C e l a r é s u l t e d e la d é f i n i t i o n (12) e t d u lerroe ( 1 3 ) .

(7)

62

Sur la génération

15. P r o p o s i t i o n et d é f i n i t i o n : E t a n t d o n n é un élément u d e E , les d e u x s i t u a t i o n s s u i v a n t e s s o n t é q u i v a l e n t e s :

(1) u <: v

^ > 3

^b

*

^b^a ^s^G^d^G "FCvli a v e c b £ [u,v]

(2) u^N< f ( y H > 3 m , b s s e d e f t y î ^ a v G c m £ [ u , u V y ] .

On d i r a , p a r d é f i n i t i o n , d o n s c e c e s , que u e s t i n d é p e n d a n t . P r e u v e , (1) = > (2) : C o m m e u ^ u V y , on p e u t t r o u v e r b , b a s e d e f ( u V y ) , a v e c b £ [u,uVy] . M a i s ^ d ' a p r è s ( 1 3 ) , ftuVy) = f ( y ) . En r é s u m e , b e s t b a s e d e f ( y ) , et bé[u,uVy] .

(2) — > (1) : On a : u ^ v ^ f ( v ) . D o n c , on peut t r o u v e r une b a s e m d e f ( v ) , a v e c m £ ( u , u V v } , c ' e s t - è - d i r e m £ [ u , y ]

16. P r o p o s i t i o n ; T o u t é l é m e n t i n d é p e n d a n t e s t l i b r e .

P r e u v e . S u p p o s o n s u i n d é p e n d a n t . On a u < u. D o n c , d ' a p r è s ( 1 5 ) , o n p e u t t r o u v e r une b a s e b d e f(u) a v e c b ( [ u , u ) . D o n c u e s t une b a s e d e f ( u ) . D o n c u est libre.

17. P r o p o s i t i o n . S i b e s t une b a s e d e f ( q ) et que b £ [p,q] ; b est un é l é m e n t m a x i m a l d e L f i f p , q ] .

P r o u v e . S u p p o s o n s b ^ 1, a v e c 1 £ L f l [ p^#q } . D'après (12) o n a ; f(b) $ f(l) et a u s s i : fCl) f ( q ) . S o i t : f ( 1) é [f(b),f (q) |. M a i s fCb) = f ( q ) . D û n c f(l) » f ( q ) . 1 e s t d o n c une b a s e d e f ( q ) . b et 1 sont d o n c d e u x b a s e s c o m - p a r a b l e s d e f ( q ) . D o n c b « 1.

En e n v i s a g e a n t les cas p a r t i c u l i e r s ; p * o ; q f e r m é % q f e r m é e t p « o on a :

18. C o r o l l a i r e s : 1) s i b est une base d e f(q) e t m i n o r e q , b e s t un é l é m e n t m a x i m a l d e L O (s(q))

2) S i b e s t une b a s e d e l'élément f e r m é q , e t m a j o r e p j b e s t u n é l é m e n t m a x i m a l d é Lfi[p,q] .

3) T o u t e b a s e d e l'éiémont f e r m é q e s t un m a x i m a l d e l'ensarrible L O ( s t q ) ) .

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19. Proposf tion : Si & e s t une base d e fty) v é r i f i a n t : b £ [ p p V y ^

1) Los d e u x s i t u a t i o n s f(y) - f ( y V p ) et p^x< fty) s o n t é q u i v a l e n t e s .

2) D a n s ce c a s , b e s t m a x i m a l p o u r l'ensemble LPt[p,pVy) .

P r e u v e . On a , d'après ( 1 3 ) , (fty) * f C y V p ) î ^ = » i p * fCy) . P o s o n s alors q = p V y .

O n se t r o u v e d a n s les h y o o t h & s e s d e (173. Ce q u i p e r m e t de c o n c l u r e . En s u p p o s a n t y f e r r é , ont énervé d e v i e n t le s u i v a n t

2 U . C o r o l l a i r e : S i b e s t une b ^ c n rie l'élément f e r m é y, et q u e b |p,pVy| , a l o r s :

1) Les d e u x s i t u a t i o n s y = f ( y V p ) e t p^y s o n t é q u i v a l e n t e s . 2) D e n s ce c e s , b e s t m a x i m a l p o u r Lnfp,pVyj.

2 1 . Prcno3it1.cn et d é f i n i t i o n : Etant d o n n é une f e r m e t u r e f d e l'ensemble r é t i c u l é s u p é r i e u r e m e n t E , les deux a s s e r t i o n s s u i v a n t e s , où L d é s i g n e l'ensemble d e s é l é m e n t s f - l i b r e s d e E , s o n t é q u i v a l e n t e s :

1)

V l É U

V x £ E ( J l J v x j O L = 0)=s> (x.<f C D ) 2)

V l É L

(l$m et ] l , m j O L = B î ^ n t f f (1)

S i la f e r m e t u r e f v é r i f i e l'une o u l'autre d e c e s d e u x p r o p r i é t é s é q u i v a l e n t e s , e l l e est d i t e v é r i f i e r l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i . La p r o p o s i t i o n (21) e s t é v i d e n t e .

2 2 . T h é o r è m e : S i f e s t une f e r m e t u r e , v é r i f i a n t l'axiome d ' é c h a n g e affaibli,.

de l'ensemble r é t i c u l é s u p é r i e u r e m e n t E , e t s i p $ f ( y ) % a l o r s , p o u r b £ [p,pVy] , les d e u x s i t u a t i o n s s u i v a n t e s s o n t é q u i v a l e n t e s : 1 ) b e s t une b a s e d e f ( y ) .

(2) b e s t un é l é m e n t m a x i m a l p o u r l'ensemble L f l [ p , p V y ] ,

P r e u v e . E t a n t d o n n é f v é r i f i a n t l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i , f a i s o n s les

h y p o t h è s e s s u i v a n t e s : p ^ f ( y ) , e t m e s t un m a x i m a l d e L f \ [ p , p V y ] , y

(9)

64

Sur la génératirn

p e t y m i n o r e n t t o u s d e u x f ( y î . D o n c pVy<<f(y). D o n c m^v< p V y $ f ( y ) , y e t m m i n o r e n t t o u s d e u x pVy. D o n c yVm^pVy. D o n c Jm,mVyJ Ç ] m , p V y J ,

P a r s u i t e , d ' a p r è s l ' h y p o t h è s e de m a x i m a l i t é tous les é l é m e n t s d e ] m , m V y ] s o n t l i é s . D o n c ' ^ m . m V y ] f)l » 0 En i n v o q u a n t l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i , o n o b t i e n t y ^ f ( m ) .

O n a d o n c o b t e n u les 2 r e l a t i o n s m ^ f ( y ) e t y ^ f ( m ) , d ' o ù f C m ï ^ f t y ) e t f ( y ) ^ f ( m ) Dortc f ( m ) » f ( y ) . L ' é l é m e n t m e s t d o n c un g é n é r a t e u r libre d e f ( y ) , d o n c u n e

b a s e d e f ( y ) .

O n a d o n c é t a b l i j u s q u ' i c i q u e , s i p ^ f ( y ) , t o u t m a x i m a l d e Lf\[p.pVy2 e s t une b a s e d e f ( y ) . En j o i g n a n t c e r é s u l t a t à ( 1 9 ) , q u i en e s t u n e r é c i p r o q u e , o n o b t i e n t le r é s u l t a t a n n o n c é .

E n p r e n a n t c o m m e c a s p a r t i c u l i e r p • o i y f e r m é ; p • o e t y f e r m é , o n o b t i e n t les c o r o l l a i r e s s u i v a n t s :

2 3 . C o r o l l a i r e s : S i f e s t une f e r m e t u r e , v é r i f i a n t l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i ^ d e l ' e n s e m b l e r é t i c u l é s u p é r i e u r e m e n t E .

1) P o u r q u ' u n m i n o r a n t d e y tsoit une b a s e de f ( y ) , il f a u t e t il s u f f i t que ce s o i t un é l é m e n t m a x i m a l p o u r L C\ ( s ( y ) ) . 2) Si y e s t f e r m é e t que p ^ y, p o u r q u ' u n é l é m e n t de [p*y]

s o i t une b a s e d e y, il f a u t e t il s u f f i t q u ' i l s o i t m a x i m a l p o u r Lf\(p-y) •

3) P o u r q u ' u n m i n o r a n t d u f e r m é y s o i t u n e b a s e de y, il f a u t et il s u f f i t que ce s o i t un é l é m e n t m a x i m a l p o u r L f U s f y ) ) . I I I . G é n é r a t i o n d a n s un t r e i l l i s c o m p l e t .

2 4 . D é f i n i t i o n : S o i t un t r e i l l i s c o m p l e t E ^ e t s o i t T l'ensemble d e s t r i p l e t s (x,y,z) d ' é l é m e n t s d e E tels que x^z e t y ^ z .

Le t r e i l l i s c o m p l e t E s e r a dit,-vérifier l ' h y p o t h è s e (Hl) s i l ' o n p e u t

(10)

t r o u v e r a u m o i n s u n e a p p l i c a t i o n w d e T d a n s E t e l l e que : 1) V (x,y,z) £ T w(x,y,z) > y

2) V (x,y,z)<£ T (x(x,y,z))Vx = z.

3 ) V ( x , y , z ) 6 T (w(x,y,z) = z ) » > x $ y.

C o n s é q u e n c e s . V ( o , y , z ) £ T w(o,y,z) » z V (x,y,z) g T w(x,y,z) € [y,zj

2 5 . D é f i n i t i o n : U n t r e i l l i s c o m p l e t E e s t d i t v é r i f i e r l ' h y p o t h è s e (H2) s i , quels q u e s o i e n t s e s é l é m e n t s a e t x :

£3 < x 3 P> f i n , / o, t e l q u e pfta - 0 e t p V a ^ x .

2 6 . D é f i n i t i o n : U n t r e i l l i s c o m p l e t e s t d i t s p é c i a l s'il v é r i f i e à la fois l'hypothèse (Hl) e t l'hypothèse ( H 2 ) .

2 7 . D é f i n i t i o n : U n e f e r m e t u r e f d u t r e i l l i s c o m p l e t E e s t d i t e a l g é b r i q u e s i : Ca f i n et a$ f ( x ) ) — >( 3 b , f i n , tel q u e b^x e t a ^ f ( b ) ) .

28. P r o p o s i t i o n : E t a n t d o n n é u n t r e i l l i s c o m p l e t E v é r i f i a n t l'hypothèse ( H 2 ) ^ et une f e r m e t u r e f d e ce t r e i l l i s c o m p l e t , tout m a j o r a n t d'un é l é m e n t f-lié e s t f-lié (en d ' a u t r e s t e r m e s , t o u t m i n o r a n t d ' u n é l é m e n t f-

libre e s t f - l i b r e ) .

P r e u v e . S o i t p u n é l é m e n t l i é , et supposons p ^ q . L ' é l é m e n t p é t a n t l i é , o n p e u t d ' a p r è s ( 1 4 ) , t r o u v e r k t e l que : k < p ^ f ( k ) * f ( p ) . P o s o n s w ( k , o , p ) - a. O n a , d ' a p r è s la d é f i n i t i o n d e w : a V k = p. C o m m e a $ p ^ q e t k < p $ q , o n a : (e,k,q) £ T . O n p e u t d o n c p o s e r w( a, k , q ) » b, o n a , d'après la d é f i n i t i o n d e w , b V a « q e t b > k . S i o n a v a i t a^k, l'égalité a V k = p e n t r a î n e r a i t k * p , ce q u i n'est p a s . D o n c a$kj e t p a r s u i t e , d ' a p r è s ( 2 4 ) , b » w ( a , k , q ) K q . C ' e s t - à - d i r e b< q . D ' a u t r e p a r t , d'après ( 1 3 ) , f ( p ) = f Ck)<=:> f (k) * f (aVk)<=**>a<f Ck) =s> e*f (b)<==>

ftb) = f( a V b K —> f( b ) = f ( q ) . Les d e u x c o n d i t i o n s b< q e t f( b ) = f ( q ) m o n t r e n t a l o r s , d ' a p r è s ( 1 4 ) , q u e q e s t l i é .

(11)

66 Sur la générati >n

2 9 . P r o p o s i t i o n : € t a n t d o n n é un t r e i l l i s c o m p l e t E v é r i f i a n t l ' h y p o t h è s e (H2) e t une f e r m e t u r e a l g é b r i q u e f d e ce t r e i l l i s c o m p l e t , t o u t é l é m e n t

lié d e E p o s s è d e un m i n o r a n t f i n et lié (en d ' a u t r e s t e r m e s , s i t o u s les m i n o r a n t s f i n s d ' u n é l é m e n t s o n t l i b r e s , c e l u i - c i est l i b r e ) . P r e u v e . S o i t s un é l é m e n t lié. D ' a p r è s ( 1 4 ^ on p e u t t r o u v e r a t e l q u e

a < s * f ( a ) « f ( s ) . M a i s , E v é r i f i a n t ( H 2 ) , on p e u t t r o u v e r p f i n , n o n n u l , t e l que p,Aa = o e t p V a ^ s . On d é d u i t : p £ s < f ( a ) . D o n c p ^ f ( a ) . D o n c , d ' a p r è s la d é f i n i t i o n ( 2 7 ) , on peut t r o u v e r un m i n o r a n t f i n d e a , m , t e l que p $ f ( m ) . D ' o ù : p V m ^ f ( m ) . On a d e plus p ^ m ^ p A a^c o. D o n c p*\m = 0. Il en r é s u l t e q u e m < p V m , c a r si on a v a i t m⁵⁵ p V m , o n a u r a i t p $ m , d o n c p A m « p , d o n c p = o, c e q u i n'est p a s .

En r é s u m é m < p V m £ f ( m ) . D o n c , d'après ( 1 4 ) , p V m e s t lié.

P a r a i l l e u r s , c o m m e m £ a < s et p ^ s , en a : p V m $ s

M a i s , p et m é t a n t f i n s , l'élément p V m e s t fin d ' a p r è s ( 4 ) . E n r é s u m é p V m e s t un é l é m e n t f i n , l i é , qui m i n o r e s.

30. P r o p o s i t i o n . S i E e s t un t r e i l l i s c o m p l e t s p é c i a l , e t f une f e r m e t u r e a l g é b r i q u e d e E , l'ensemble L d e s é l é m e n t s f-libres e s t une p a r t i e i à c a r a c t è r e f i n d u t r e i l l i s c o m p l e t E .

P r e u v e . D ' a p r è s ( 2 9 ) , s i tous les m i n o r a n t s f i n s d'un é l é m e n t s o n t libres^, c e t é l é m e n t e s t libre. M a i s , d'après ( 2 8 ) , t o u t m i n o r a n t d'un libre e s t l i b r e .

D o n c , p o u r q u ' u n é l é m e n t soit l i b r e , il f a u t et il s u f f i t q u e t o u s ses m i n o r a n t s fins s o i e n t l i b r e s .

D G n c , d ' a p r è s ( 5 ) , L est une p a r t i e à c a r a c t è r e f i n .

31 : T h é o r è m e : s i E e s t un t r e i l l i s c o m p l e t s p é c i a l , f une f e r m e t u r e a l g é b r i q u 9 de E , y un é l é m e n t d e E , et 1 un m i n o r a n t libre d e y ; a l o r s Ifi [l,y]

p o s s è d e a u m o i n s un é l é m e n t m a x i m a l .

(12)

P r e u v e , C e r é s u l t a t r é s u l t e i m m é d i a t e m e n t d e la p r o p o s i t i o n C I O ) .

E n f a i s a n t 1 = о j y = e ; 1 5 о e t y = a , on a les c o r o l l a i r e s s u i v a n t s : 3 2 . C o r o l l a i r e s : S i f e s t une f e r m e t u r e a l g é b r i q u e d u t r e i l l i s c o m p l e t s p é c i a l

E ,

1! V y é E , L o s (y) p o s s è d e un m a x i m a l . 2) V l é L L O r ( l ) p o s s è d e un m a x i m a l . 3) L ' e n s e m b l e L p o s s è d e un m a x i m a l .

3 3 . T h é o r è m e : S i f e s t une f e m e t u r e a l g é b r i q u e , v é r i f i a n t l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i , d u t r e i l l i s c o m p l e t s p é c i a l E , l'ensemble des é l é m e n t s libres e s t i d e n t i q u e à l ' e n s e m b l e d e s é l é m e n t s i n d é p e n d a n t s . P r e u v e . Les t h é o r è m e s (22) e t (31) s ' a p p l i q u e n t t o u s d e u x i c i . S o i t p un é l é m e n t l i b r e , et y tel que p ^ f ( y ) . D ' a p r è s ( 3 1 ) , l'ensemble L O [ p , p V y ] p o s s è d e un m a x i m a l m. D ' a p r è s ( 2 2 ) , m e s t une b a s e d e f ( y ) . E n r é s u m é , à t o u t y t e l q u e p ^ f ( y ) , on p e u t a s s o c i e r m , b a s e d e f ( y ) , a v e c m £ [p.pVy] .

D ' a p r è s ( 1 5 ) , p e s t d o n c i n d é p e n d a n t . D o n c , t o u t é l é m e n t libre e s t i n d é p e n d a n t . M a i s , d ' a p r è s ( 1 6 ) , t o u t é l é m e n t i n d é p e n d a n t e s t l i b r e . C e q u i p e r m e t d e

c o n c l u r e .

En é c r i v a n t q u ' u n é l é m e n t libre p est i n d é p e n d a n t , e t en f a i s a n t d a n s

(15) s u c c e s s i v e m e n t y f e r m é : y = e % p = 0 % p = 0 e t y f o r m é ; p = о e t y^e e ; o n o b t i e n t les c o r c l l a i r e s s u i v a n t s :

34. C o r o l l a i r e s : S i f e s t une f e r m e t u r e a l g é b r i q u e , v é r i f i a n t l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i , d u t r e i l l i s c o m p l e t s p é c i a l E :

1) q u e l que s o i t l'émérnent f e r m é y, et le m i n o r a n t libre p d e y, on p e u t t r o u v e r a u m o i n s une b a s e m d e y t e l l e q u e : m £ [p»y] • 2) q u e l que s o i t l'élément libre p , il e x i s t e une b a s e d e e q u i

m a j o r e p .

3) q u e l que s o i t l ' é l é m e n t y de E , il e x i s t e u n e b a s e m d e f ( y ) t e l l e q u e m £ y.

(13)

68 Sur 1« génération

4) T o u t é l é m e n t f e r m é a une b a s e . 5) L'élément e a une b a s e .

R e m a r q u o n s e n f i n que (23) se p a r t i c u l a r i s e en p r e n a n t y = e:

3 5 . C o r o l l a i r e s de (23) : Si f e s t une f e r m e t u r e , v é r i f i a n t l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i , d'un t r e i l l i s c o m p l e t E :

1) Q u e l que s o i t l'élément p d e E„ l'ensemble d e s b a s e s de e q u i

m a j o r e n t p e s t i d e n t i q u e à l'ensemble des é l é m e n t s m a x i m a u x d e L O ( r ( p ) ) . 2) L'ensemble d e s b a s e s d e e e s t identique à l'ensemble d e s é l é m e n t s m a x i m a u x de L.

IV. G é n é r a t i o n d a n s le t r e i l l i s c o m p l e t d e s p a r t i e s d'un e n s e m b l e .

S o i t E le treillis c o m p l e t u\(e) des p a r t i e s d'un e n s e m b l e e. Le m a x i m u m de E e s t e. S o n m i n i m u m , qui s e r a t o u j o u r s noté 0, e s t la p a r t i e v i d e d e e. Le symbole 0 s e r a r é s e r v é à la p a r t i e v i d e de E .

3 6 . P r o p o s i t i o n : L'ensemble des é l é m e n t s f i n s du treillis c o m p l e t E^s ^ ( e ) d e s p a r t i e s d'un e n s e m b l e e e s t i d e n t i q u e à l'ensemble d e s p a r t i e s f i n i e s d e e.

P r e u v e . S o i t x un é l é m e n t f i n d e E . S o i t X l'ensemble d e s é l é m e n t s {X} d e E , où A p a r c o u r t x. O n a é v i d e m m e n t x^sxYx^*^{V X}" ^D'^a P^r ^è^{s f 3}^ *^{o n} p e u t t r o u v e r Y, f i n i , C X, a v e c x * VY. Comme V Y ^ V X = x, on a : x = V Y . Mais V Y e s t u n s p a r t i e f i n i e de e. D o n c x e s t une p a r t i e f i n i e d e e.

I n v e r s e m e n t , si x est une p a r t i e f i n i e de e, il e s t é v i d e n t q u e e e s t un é l é m e n t f i n d e E .

37. P r o p o s i t i o n : Le t r e i l l i s c o m p l e t d e s p a r t i e s d'un e n s e m b l e e s t s p é c i a l . P r e u v e . Il r é s u l t e d e (25) e t (36) que E * £P(e) v é r i f i e l'hypothèse ( H 2 ) . P a r a i l l e u r s , il s u f f i t d e p r e n d r e W ( x , y , z ) = z - (x-y) p o u r c o n s t a t e r q u e l ' h y p o t h è s e (Hl) e s t é g a l e m e n t v é r i f i é e .

(14)

38« P r o p o s i t i o n :

1) P o u r q u ' u n e p a r t i e x d ' u n e n s e m b l e e s o i t liée (par r a p p o r t à u n e f e r m e t u r e d o n n é e | d e ^ ? ( e ) ) , il f a u t e t il s u f f i t q u e :

3 ^V ^ ^X^t^e^l 3^U⁹ v £ f ( x - v ) .

2) P o u r q u ' u n e p a r t i e x d e e s o i t l i b r e , il f a u t e t i l s u f f i t q u e : V v é x , o n a i t : v ^ - f ( x - v ) .

P r e u v e , Il s u f f i t d e d é m o n t r e r l ) . S o i t x u n e p a r t i e liée d e e . D ' a p r è s ( 1 4 ) , o n p e u t t r o u v e r une p a r t i e k d e e t e l l e q u e : k < x <? f ( k ) . S o i t v 6 x - k . O n a : v € x $ f ( k ) $ f ( x - v ) . D o n c v é f ( x - v ) .

I n v e r s e m e n t , s o i t x u n e p a r t i e d e e t e l l e q u e :

3

^V

£

^X

*

^a^v ^G ^C v é - f ( x - v ) . P o s o n s a l o r s a « x-v . O n a : a < x, e t , p u i s q u e v £ f ( a ) , e t x » a v v : x $ f ( a ) . E n résumé : a < x £ f t a ) . D o n c x e s t l i é e .

39. P r o p o s i t i o n : P o u r q u ' u n e f e r m e t u r e f d e ^ e ) v é r i f i e l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i , il f a u t e t il s u f f i t q u e :

\ / l € L ; V c t é e (IVa liée ^ a £ f ( l ) ) . P r e u v e . S u p p o s o n s q u e la f e r m e t u r e f v é l i f i e l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i .

S u p p o s o n s a l o r s 1 l i b r e , a C e , e t I V a l i é e . P o s o n s a » { a } . O n a n é c e s s a i r e m e n t a^.1 (sans q u o i , o n a u r a i t 1 * I V a , e t 1 s e r a i t d o n c l i é e ) . D o n c ] l , l V a ] »

« { I V a } . Il e n r é s u l t e q u e ] l , l V a ] f*\ L * 0. d o n c , d ' a p r è s ( 2 1 ) , a * f(l).

S o i t : a £ f ( l ) .

I n v e r s e m e n t , soit f u n e f e r m e t u r e t e l l e q u e , V l £ L , V a £ e , o n a i t : ( I V a liée

=i>a g f C i n .

S o i e n t a l o r s 1 6 L e t x £ E tels q u e ] l , L v x ] 0 L « 0.

S i a Ç x - 1 , o n a : I V a € Jl,lVx] , d o n c I V a e s t l i é e , d o n c , d ' a p r è s l ' h y p o t h è s e f a i t e , a £ f ( l ) . P a r s u i t e , p u i s q u e , V a G x - 1 , a É f ( l ) , o n a : x « f ( l ) . O n a d o n c é t a b l i , d ' a p r è s ( 2 1 ) , q u e f v é r i f i e l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i .

(15)

40. P r o p o s i t i o n : P o u r q u ' u n e f e r m e t u r e f d e ^ C e ) s o i t a l g é b r i q u e , il f a u t et il s u f f i t q u e , q u e l l e q u e s o i t la p a r t i e x d e e, à t o u t X £ f ( x ) , on s a c h e a s s o c i e r une p a r t i e f i n i e y d e x t e l l e q u e X £ f ( y ) .

P r e u v e . S o i t f u n e f e r m e t u r e a l g é b r i q u e . S o i t a l o r s x une p a r t i e d e e , e t X £ ~ f ( x ) , c ' e s t - à - d i r e {X} ^ f ( x ) . { X } é t a n t f i n i e , on p e u t t r o u v e r , d ' a p r è s

(27) e t ( 3 6 ) , une p a r t i e f i n i e b d e x. t e l l e que {X} £ f ( b ) , c ' e s t - à - d i r e X Ç . f ( b ) . I n v e r s e m e n t , s o i t f une f e r m e t u r e d e <J (e) t e l l e q u e , q u e l s que s o i e n t

x £ E e t X C e , l ' a p p a r t e n a n c e x£ f ( x ) i m p l i q u e l'existence d ' u n e p a r t i e f i n i e y d e x t e l l e q u e X £ f ( y ) . S o i t a l o r s x u n e p a r t i e q u e l c o n q u e d e e , e t a u n e

p a r t i e f i n i e d e f ( x ) . A c h a q u e X(£ a , on p e u t , d ' a p r è s l ' h y p o t h è s e f a i t e , a s s o c i e r une p a r t i e f i n i e b. d e x t e l l e q u e X 6 f ( b . ). O n a : a = V {\}^N< V f ( b ),

A A X £ a X £ a^X

M a i s c o m m e b < V ( b , ) , o n a , quel que s o i t a é a : f ( b ) £ f( V ( b , ) ) , d e

a Xéa^{X a} X c a^X

s o r t e q u e : a « V f ( bx) s< f( V (bx).3. D o n c a 4 f( V ( b^x) J . M a i s , a é t a n t f i n i , X € a XCa X £ a

l'ensemble V (b ) e s t une p a r t i e f i n i e d e x. D o n c , d ' a p r è s ( 2 7 ) , la f e r m e t u r e X 6 a^A

f e s t a l g é b r i q u e .

41. D é f i n i t i o n : U n e f e r m e t u r e f d e O i e ) e s t d i t e v é r i f i e r l'axiome d ' é c h a n g e s i , q u e l s que s o i e n t x « e , • a £ e e t $£e :

Cctef(xVB) et a ^ f ( x ) — > ( B é f ( x V a ) )

42. P r o p o s i t i o n •; T o u t e f e r m e t u r e u (G) v é r i f i a n t l'axiome d ' é c h a n g e v é r i f i e l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i .

P r e u v e . S o i e n t u n e p a r t i e libre 1 d e e, e t un é l é m e n t y d e x tels q u e lVy s o i t l i é e . A l o r s , d ' a p r è s ( 3 8 ) , il e x i s t e v £ lVy tel q u e v 6 f (ÇlA/y)-v). O u b i e n v = y, e t a l o r s u é . f d ) . O u b i e n v £ l . A l o r s , c o m m e 1 e s t l i b r e , o n a , d ' a p r è s (38) : v ^ f ( l - v ) . D ' a p r è s l'axiome d ' é c h a n g e : (v € f ( (l-v)Vy) e t v ^ f ( l - v ) ) ~ > y £ f U l - v ) V v ) . En r é s u m é , (1 l i b r e , lVu liée) ^ > y é f ( l ) . D o n c , d ' a p r è s ( 3 9 ) , f v é r i f i e l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i .

(16)

4 3 . D é f i n i t i o n : Une f e r m e t u r e f d e 0 (e) e s t d i t © v é r i f i e r l'axiome de liberté s i : q u e l l e que s o i t la p a r t i e x d e e. o n p e u t , q u e l q u e s o i t X C f ( x ) , t r o u v e r u n e p a r t i e libre 1 d e x t e l l e que X C f t l ) . 44. P r o p o s i t i o n ; S i une f e r m e t u r e d e o Ce] v é r i f i e l'axiome d e l i b e r t é , e l l e

v é r i f i e l'axiome d ' é c h a n g e s i et s e u l e m e n t s i elle v é r i f i e l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i .

P r e u v e . S o i t f u n e f e r m e t u r e d e

cP(e),

s u p p o s é e v é r i f i e r l'axiome d e l i b e r t é e t l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i . S u p p o s o n s que l'on a i t : a^-ftx) et a d f f x V B ) . D ' a p r è s ( 4 3 ) , on p e u t t r o u v e r u n s p a r t i e libre 1 d e xVg telle que a £ . f ( l ) . L ' é l é m e n t 6 a p p a r t i e n t à 1 (car s i n o n , on a u r a i t 1 ^ x, et p a r s u i t e , a £ f ( x ) , c e q u i e s t c o n t r a i r e à l ' h y p o t h è s e ) . P o s o n s lAx - m . O n a : o ^ £ f ( m ) ( c a r , s i n o n , a a p p a r t i e n d r a i t à f ( x ) ) . D ' a p r è s ( 2 8 ) , m e s t l i b r e . D o n c , d ' a p r è s ( 3 9 ) , p u i s q u e a ^ f t m ) , on p e u t c o n c l u r e que m V a e s t l i b r e . S i a n ' a p p a r t i e n t pas à 1 , IVa est

l i é e ( p u i s q u e a è f ( l ) )^; mais IVa = (mVa)VB ; corrme m V a est libre et (mVa)VB l i é e , on c o n c l u t , d'après (39)^ que B ë f t m V a ) , d o n c a u s s i BCftxVot). S i a £ 1, c'est que a = B (car a ne peut a p p a r t e n i r à x p u i s q u e a^-'f(x)), d o n c on a e n c o r e

B £ f t m V a ) . On a d o n c p r o u v é q u p : ( a ^ f ( x ) et a é f CxV3))*=» B<£ f C x V a ) . D o n c f

v é r i f i e l'axiome d ' é c h a n g e . Le r é s u l t a t (-2) p e r m e t d e t e r m i n e r la d é m o n s t r a t i o n . 4 5 . L e m m e : T o u t e f e r m e t u r e a l g é b r i q u e v é r i f i e l'axiome d e l i b e r t é . P r e u v e . S o i t f une f e r m e t u r e a l g é b r i q u e de^li ( e ) , x une p a r t i e d e e , e t X un é l é m e n t d e f(x). D ' a p r è s ( 4 0 ) , on p e u t t r o u v e r une p a r t i e f i n i e y d e x t e l l e q u e A ^ f t y î . L ' e n s e m b l e d e s p a r t i e s d e y q u i e n g e n d r e n t f(y) e s t f i n i , d o n c p o s s è d e un é l é m e n t m i n i m a l 1. C e l u i - c i e s t v i s i b l e m e n t u n g é n é r a t e u r m i n i m a l d e f t y ) , c ' e s t - à - d i r e une L a s p , o u e n c o r e un g é n é r a t e u r )ihi\; d e f t y ) . L a p a r t i e 1 est d o n c l i b r e , e t o n a : X d f t l ) .

(17)

4 6 . P r o p o s i t i o n : P o u r q u ' u n e f e r m e t u r e a l g é b r i q u e d e <) (e) v é r i f i e l ' a x i o m e d ' é c h a n g e , i l f a u t e t il s u f f i t q u ' e l l e v é r i f i e l'axiome d ' é c h a n g e a f f a i b l i .

P r e u v e . C e r é s u l t a t e s t une c o n s é q u e n c e d e (44) et ( 4 5 ) .

B I B L I O G R A P H I E

P.M. C O H N : U n i v e r s a l a l g e b r a (London) 1 9 6 5 .

Manuscrit remis en octobre 1968. M . A . ACHACHE Maître-assistant

Département de mathématiques 43, bd du 11 novembre 1918 VILLEURBANNE

Sur la génération

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON

A CHILLE A CHACHE