Demi-groupes dont le treillis des sous-demi-groupes est géométrique. Groupes dont le treillis des sous-groupes est géométrique. Propriétés annexes (thèse de 3ème cycle de la Faculté des Sciences de Lyon)

S. P ^ONTIER

Demi-groupes dont le treillis des sous-demi-groupes est géométrique.

Groupes dont le treillis des sous-groupes est géométrique. Propriétés annexes (thèse de 3ème cycle de la Faculté des Sciences de Lyon)

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1966, tome 3, fascicule 4 , p. 1-66

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I N T R O D U C T I O N

V o i c i u n e t r e n t a i n e d ' a n n é e s , l e s t r a v a u x de BAER ( 1 9 3 3 , 1 9 3 8 , 1 9 3 9 ) et de O R E ( 1 9 3 7 , 1 9 3 8 a , 1 9 3 8 b ) ont

fait r e s s o r t i r l ' e x i s t e n c e d u c h a m p d ' é t u d e s s u i v a n t : c e l u i des r e l a t i o n s e x i s t a n t e n t r e d ' u n e p a r t la s t r u c t u r e d'un g r o u p e G et d ' a u t r e p a r t l a s t r u c t u r e d u t r e i l l i s T ( G ) de ses s o u s - g r o u p e s .

Ce d o m a i n e c o m m u n à l a t h é o r i e des g r o u p e s et à la t h é o r i e des t r e i l l i s a d o n n é l i e u p a r la s u i t e à de n o m - b r e u x t r a v a u x dans d e u x d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s :

- d ' u n e p a r t , l ' é t u d e des r e l a t i o n s e n t r e l a s t r u c t u r e d'un g r o u p e et l a s t r u c t u r e d u t r e i l l i s de ses s o u s - g r o u p e s : s t r u c t u r e d e s g r o u p e s dont le t r e i l l i s d e s s o u s - g r o u p e s est d i s t r i b u t i f ( O R E , 1 9 3 8 a ) , m o d u l a i r e ( I K A S A W A , 19kl ; I W A S A W A , 1 9 ^ 3 ) , s e m i - m o d u l a i r e i n f é r i e u r e m e n t ou s u p é r i e u r e - m e n t ( J O N E S , 1 9 U 6 ; S A T O , 1 9 ^ 7 ; S A T O , 19U9 ; I T O , 1 9 5 1 ) , c o m p l e m e n t é o u r e l a t i v e m e n t c o m p l e m e n t é ( Z A C H E R , 1 9 5 2 ; Z A C E E R , 1953)« L ' e n s e m b l e de ces t r a v a u x est b r i è v e m e n t

r é s u m é p a r Z A P P A ( 1 9 5 6 ) , r e p r i s en d é t a i l p a r S U Z U K I ( 1 9 5 6 ) , et p l u s récemr.ont p a r K O N T O R O V I C , P E K E L I S et S T A R O S T I N ( l 9 6 l ) ( m é m o i r e i n t r o u v a b l e en F r a n c e ) .

- d ' a u t r e p a r t , l ' é t u d e de p r o b l è m e s d u t y p e s u i v a n t : les t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s de d e u x g r o u p e s n o n i s o m o r p h e s

( r e s p . n o n h o m o m o r p h e s ) p e u v e n t - i l s ê t r e i s o m o r p h e s ( r e s p . h o m o m o r p h e s ) . N o u s ne s i g n a l o n s ici ce t y p e de p r o b l è m e que p o u r m é m o i r e ; n o u s ne l ' e n v i s a g e o n s p a s dans n o t r e t r a v a i l . I n d i q u o n s s i m p l e m e n t que S U Z U K I (1956) s'y é t e n d a b o n d a m m e n t et r e p r e n d l ' e n s e m b l e d e s t r a v a u x e f f e c t u é s sur ce s u j e t ; Z A P P A (1956) r é s u m e ces t r a v a u x .

P l u s r é c e m m e n t , ce d o m a i n e de r e c h e r c h e s s'est t r o u v é g é n é r a l i s é p u i s q u e , ne se l i m i t a n t p a s aux g r o u p e s , c e r t a i n s a u t e u r s ont c h e r c h é l e s r e l a t i o n s e x i s t a n t e n t r e la s t r u c t u r e d'un d e m i - g r o u p e et l a s t r u c t u r e du t r e i l l i s de ses s o u s - d e m i - g r o u p e s ( S E V R I N , 196l ; E G O , 1 9 6 3 ) .

D a n s le p r é s e n t t r a v a i l , n o u s n o u s s o m m e s d o n n é c o m m e b u t l ' é t u d e de l a s t r u c t u r e des g r o u p e s ( r e s p . d e m i - g r o u p e s ) dont le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s ( r e s p . s o u s - d e m i - g r o u p e s ) est g é o m é t r i q u e . En ce qui c o n c e r n e la s t r u c t u r e d e s t r e i l l i s g é o m é t r i q u e s , n o u s nous s o m m e s a p p u y é s sur l ' o u v r a g e de b a s e de D U B R E I L - J A C O T I N , L E S I E U R et C R O I S O T (ly?3) ; p a r a i l l e u r s , n o u s a v o n s l a r g e m e n t u t i l i s é les t r a v a u x c i t é s

plus h a u t sur d i v e r s e s s t r u c t u r e s de t r e i l l i s de s o u s - g r o u p e s . N o u s a v o n s a u s s i e x a m i n e q u e l q u e s s t r u c t u r e s p l u s p a r t i c u -

l i è r e s : g é o m é t r i e s m o d u l a i r e s (= p r o j e c t i v e s ) , d i s t r i b u t i - v e s , a f f i n e s , a f f i n e s g é n é r a l i s é e s . S i g n a l o n s q u ' I W A S A W A avait s e u l e m e n t é t u d i é (19^1) l e s g r o u p e s t e l s que T ( G ) est u n t r e i l l i s de B O O L E o u u n e g é o m é t r i e p r o j e c t i v e i r r é d u c t i b l e .

P o u r les d e m i - g r o u p e s , l e s p r o b l è m e s que n o u s n o u s s o m m e s p o s é s sont f a c i l e m e n t r é s o l u s p a r l ' u t i l i s a t i o n p r i n - c i p a l e m e n t d'un t h é o r è m e de E G O (1963 ) : n o u s a v o n s d é c r i t la s t r u c t u r e des d e m i - g r c u p e s d o n t le t r e i l l i s d e s s o u s - d e m i - g r o u p e s est u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e ( p r o p o s i t i o n l . U ) , u n e

g é o m é t r i e p r o j e c t i v e ( p r o p o s i t i o n l » 6 )^f une g é o m é t r i e a f f i n e ( p r o p o s i t i o n l * l l )9 u n e g é o m é t r i e a f f i n e g é n é r a l i s é e

( p r o p o s i t i o n 1.12)•

D a n s le cas des g r o u p e s , n o u s s o m m e s a r r i v é s à d o n n e r des t h é o r è m e s g é n é r a u x sur l a s t r u c t u r e des g r o u p e s dont le t r e i l l i s d e s s o u s - g r o u p e s est g é o m é t r i q u e ( p r o p o -

s i t i o n 3.8)» u n e g é o m é t r i e p r o j e c t i v e ( p r o p o s i t i o n 5 - 5 ) > u n e g é o m é t r i e d i s t r i b u t i v e ( p r o p o s i t i o n 5 * 1 2 ) , u n p r o d u i t de t r e i l l i s g é o m é t r i q u e s ( p r o p o s i t i o n 5 » 3 K

L o r s q u e le g r o u p e G est f i n i o u l o c a l e m e n t f i n i , n o u s a v o n s p u p r é c i s e r d a v a n t a g e les s t r u c t u r e s des g r o u p e s G t e l s que T ( G ) est u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e ( p r o p o s i t i o n s k.k et o u u n e g é o m é t r i e p r o j e c t i v e ( p r o p o s i t i o n s 5*8 et

5*11)• N o u s é t a b l i s s o n s a i n s i le r é s u l t a t i n a t t e n d u s u i v a n t (si G est f i n i o u l o c a l e m e n t f i n i ) : 3i T ( G ) est u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e , c'est a u s s i u n e g é o m é t r i e p r o j e c t i v e ; n o u s i g n o r o n s si ce r é s u l t a t est v r a i p o u r un g r o u p e i n f i n i n o n l o c a l e m e n t fini»

E n f i n , n o u s a v o n s p u e x p l i c i t e r c o m p l è t e m e n t l a s t r u c t u r e des g r o u p e s dont le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s est u n e g é o m é t r i e d i s t r i b u t i v e ( p r o p o s i t i o n 5.18)

C H A P I T R E I

S t r u c t u r e d e s d e m i - g r o u p e s d o n t le t r e i l l i s d e s n o u s - d é n i - g r o u p e s e s t : u n e g é o m é t r i e , u n e g é o m é t r i e

p r o j e c t i v e ⁵ u n e g é o m é t r i e a f f i n e ^ UHP. g é o m é t r i e a f f i n e g é n é r a l i s é e .

L e s t r a v a u x de E G O ( 1 9 ^ 3 ) , f a i s a n t suite à c e u x de S E V R I N (l96l), ont m i s en é v i d e n c e la s t r u c t u r e des

d e m i - g r o u p e s dont le t r e i l l i s des s o u s - d ^ n i - g r o u p e s p o s s è d e c e r t a i n e s p r o p r i é t é s u s u e l l e s : d i s t r i b u t i v i t é , m o d u l a r i t é , s e m i - m o d u l a r i t é , m o d u l a r i t é o u s e m i - ^ c a u l ^ r i t é a f f a i b l i e , etc • . •

N o u s a l l o n s v o i r ici à q u e l l e s c o n d i t i o n s le t r e i l l i s des s o u s - d e m i - g r o u p e s d'un d e m i - g r o u p e est un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e (c'est à d i r e u n e g é o m é t r i e ) . N o u s v e r r o n s a u s s i d a n s q u e l l e m e s u r e c e t t e g é o m é t r i e p e u t être p r o j e c t i v e , a f f i n e , a f f i n e g é n é r a l i s é e .

1. S t r u c t u r e des d e m i - g r o u p e s dont le t r e i l l i s des s o u s - d e m i - g r o u p e s esjt g é o m é t r i q u e .

Soit D un d e m i - g r o u p e ; l ' e n s e m b l e de ses s o u s - d e n i - g r o u p e s , o r d o n n é p a r la r e l a t i o n d ' i n c l u s i o n des s o u s - e n s e m b l e s , a \ m e s t r u c t u r e de t r e i l l i s : n o u s le n o t e r o n s T ? < D ) . N o u s n o u s p r o p o s o n s d ' é t a b l i r des c o n d i t i o n s n é c e s - s a i r e s et s u f f i s a n t e s , r e l a t i v e s à la s t r u c t u r e de D p o u r que T ( D ) soit u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e .

S u p p o s o n s d ' a b o r d que T ( D ) est g é o m é t r i q u e , et

r a p p e l o n s une p r o p r i é t é i m p o r t a n t e des t r e i l l i s géom4triques (voir D U B R E I L - J A C O T I N , L E S I E U R et C R O I S O T , 1953»p.272,

t h é o r i e 3 ) .

C T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n l.l) : P o u r q u ' u n t r e i l l i s / s o i t g é o m é t r i q u e , il faut et il s u f f i t q u ' i l soit s e m i -

/ m o d u l a i r e , r e l a t i v e m e n t c o m p l e m e n t é , a t o m i q u e , c o m p l e t p et A - c o n t i n u .

T ( D ) é t a n t g é o m é t r i q u e , il est s e m i - m o d u l a i r e , donc il s a t i s f a i t à l a " c o n d i t i o n C ^1 (voir D U B R E I L - J A C O T I N , L E S I E U R et C R O I S O T , 1953, P- 37, l e m m e 1, et p . 9 0 , p r o p r i é t é 2 ) .

P u i s q u e T ( D ) s a t i s f a i t à l a " c o n d i t i o n C^{1 , f}, i l s a t i s - fait a u s s i à la " c o n d i t i o n (voir D U B R E I L - J A C O T I N , L E S I E U R et C R O I S O T , 1953, p . 62, l e m m e l ) .

De p l u s , T ( D ) é t a n t g é o m é t r i q u e , il est r e l a t i v e - m e n t c o m p l e m e n t é , donc il est c o m p l e m e n t é .

En c o n c l u s i o n , si T ( D ) est g é o m é t r i q u e » il est c o m p l e m e n t é et s a t i s f a i t à l a " c o n d i t i o n C g " . O r , c i t o n s ici u n t h é o r è m e de EGO ( E G O , 1963, p . 200, t h é o r è m e 8.U) :

. T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 1 . 2 ) : Il y a é q u i v a l e n c e c e n t r e les q u a t r e p r o p o s i t i o n s s u i v a n t e s :

S 1) T ( D ) est é g a l à Gp(D)

? 2) T ( D ) est un t r e i l l i s de B o o l e

\ 3) T ( D ) est c o m p l e m e n t é et s a t i s f a i t à l a c o n d i t i o n C⁰ ' k) D est i d e m p o t e n t et de t y p e ef * e ou f.

D o n c , si T ( D ) est g é o m é t r i q u e , c e l a s u p p o s e que D v é r i f i e la c o n d i t i o n 3 d u t h é o r è m e c i - d e s s u s , donc a u s s i D v é r i f i e les t r o i s a u t r e s p r o p o s i t i o n s de ce t h é o r è m e ( p u i s - q u ' i l y a é q u i v a l e n c e e n t r e ces q u a t r e p r o p o s i t i o n s ) .

P a r c o n s é q u e n t , c h a c u n e d e s q u a t r e p r o p o s i t i o n s du t h é o r è m e de E G O c o n s t i t u e u n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e p o u r que T ( D ) soit g é o m é t r i q u e .

R é c i p r o q u e m e n t , ces c o n d i t i o n s s o n t - e l l e s s u f f i - s a n t e s ? P o u r m o n t r e r que c h a c u n e des q u a t r e c o n d i t i o n s e n t r a î n e la p r o p r i é t é " T ( D ) est g é o m é t r i q u e '¹, il n o u s s u f i r a de le m o n t r e r s e u l e m e n t p o u r l'une d ' e n t r e e l l e s , en v e r t u de l ' é q u i v a l e n c e e n t r e les q u a t r e p r o p o s i t i o n s .

S u p p o s o n s donc m a i n t e n a n t que D scit un d e m i - g r o u p e v é r i f i a n t la c o n d i t i o n 1 du t h é o r è m e de E G O : MT ( D ) est

é g a l à 3 ^ ( D ) " ( S ? ( D ) d é s i g n e l ' e n s e m b l e des p a r t i e s de D ) . D a n s ce cas l ' u n i o n A V B d a n s T ( D ) s ' i d e n t i f i e à l a r é u n i o n A(JB dans ^ ( D ) . Et c o m m e p a r a i l l e u r s il y a t o u - j o u r s i d e n t i t é e n t r e :

- l ' i n t e r s e c t i o n A Д В d a n s T ( D ) et l ' i n t e r s e c t i o n A O B d a n s ? ( D ) ,

- la r e l a t i o n d ' o r d r e A ^ В dans T ( D ) et l ' i n c l u s i o n A Ç B dans HP(D).

n o u s p o u v o n s c o n c l u r e que T ( D ) et ^P(D) sont é g a u x non s e u l e m e n t c o m m e e n s e m b l e s d ' é l é m e n t s , m a i s comme e n s e m b l e s m u n i s de l a structxire de t r e i l l i s avec les o p é r a t i o n s

r a p p e l é e s c i - d e s s u s •

O r , n o u s a v o n s la p r o p r i é t é s u i v a n t e :

P r o p o s i t i o n 1.3 E t a n t d o n n é un e n s e m b l e E q u e l c o n q u e , 1 ' e n s e m b l e E ) de ses p a r t i e s est u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e , avec l ' i n c l u s i o n c o m m e r e l a t i o n d ' o r d r e , et l a r é u n i o n et l ' i n t e r s e c t i o n u s u e l l e s c o m m e o p é r a t i o n s .

La d é m o n s t r a t i o n de c e t t e p r o p r i é t é est i m m é d i a t e ,

Il s u f f i t de v é r i f i e r que £p(E) s a t i s f a i t b i e n aux q u a t r e p o s t u l a t s d é f i n i s s a n t la s t r u c t u r e de t r e i l l i s g é o m é t r i q u e .

U n e c o n s é q u e n c e i m m é d i a t e de l a p r o p o s i t i o n 1.3

est q u e , si T C O ) est i d e n t i q u e , en t a n t que t r e i l l i s , à

£P(D),

alors T ( D ) est g é o m é t r i q u e .

Donc la c o n d i t i o n 1 du t h é o r è m e de EGO e n t r a î n e que T ( D ) est g é o m é t r i q u e .

D o n c c h a c u n e des q u a t r e c o n d i t i o n s de ce t h é o r è m e est u n e c o n d i t i o n s u f f i s a n t e p o u r que T Í O ) soit g é o m é t r i q u e .

En c o n c l u s i o n , n o u s p o u v o n s é n o n c e r le t h é o r è m e s u i v a n t :

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n l.U) Le t r e i l l i s T ( D ) des s o u s - d e m i - g r o u p e s d^fu n d e m i - g r o u p e D est g é o m é t r i q u e si et s e u l e m e n t si D v é r i f i e l'une q u e l c o n q u e des q u a t r e c o n d i t i o n s s u i v a n t e s (qui sont é q u i v a l e n t e s e n t r e e l l e s ) :

1) T ( D ) est é g a l à £ P ( D )

2) T ( D ) est un t r e i l l i s de B o o l e

3) T Í O ) est c o m p l e m e n t é et s a t i s f a i t à la c o n d i t i o n h) D est i d e m p o t e n t et de t y p e ef « e ou f.

2. • S t r u c t u r e des d e m i - g r o u p e s dont le t r e i l l i s des s o u s - d e m i - g r o u p e s est u n e g é o m é t r i e p r o j e c t i v e .

U n e p r o p r i é t é f o n d a m e n t a l e des g e o m e t r i e s p r o j e c -

t i v e s est l a s u i v a n t e (voir D U B R E I L - J A C O T I N , L E S I E U R et C R O I S O T 1957» p . 287, t h é o r è m e 5) :

P r o p o s i t i o n 1.5 Pour q u ' u n e g é o m é t r i e de d i m e n s i o n f i n i e o u i n f i n i e soit p r o j e c t i v e , il faut et il s u f f i t q u ' e l l e soit m o d u l a i r e .

D a n s le cas qui n o u s i n t é r e s s e i c i , D é t a n t u n d e m i - g r o u p e , T Í O ) s e r a u n e g é o m é t r i e p r o j e c t i v e si et s e u l e - m e n t si les d e u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont r e m p l i e s :

- T ( D) est u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e (voir p r o p o s i t i o n l J O ; - T ( D) est u n t r e i l l i s m o d u l a i r e .

O r , d i r e que T(t>) est u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e , est e q u i - v a l e n t à d i r e que T ( D ) est u n t r e i l l i s de B o o l e ( c o n d i t i o n 2 de la p r o p o s i t i o n l . U ) .

M a i s un t r e i l l i s de B o o l e est t o u j o u r s m o d u l a i r e . P a r c o n s é q u e n t la c o n d i t i o n ^{f î}T ( D ) est g é o m é t r i q u e^{1 1} i m p l i q u e l a c o n d i t i o n ^,T T ( D ) est m o d u l a i r e " • D ¹ où :

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 1.6) : Le t r e i l l i s T ( D ) des s o u s - d e m i - g r o u p e s d'un d e m i - g r o u p e D est une g é o m é t r i e p r o j e c t i v e si et s e u l e m e n t si T ( D ) est un t r e i l l i s g é o m é - t r i q u e .

3.• S t r u c t u r e des d e m i - g r o u p e s dont le t r e i l l i s des s o u s - d e m i - g r o u p e s est une g é o m é t r i e a f f i n e , ou une g é o m é t r i e a f f i n e g é n é r a l i s é e .

P o u r que T ( D ) soit s u s c e p t i b l e d'etre u n e g é o m é t r i e a f f i n e , ou une g é o m é t r i e a f f i n e g é n é r a l i s é e , il est n é c e s s a i r e que

T ( D) soit u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e . Or n o u s a v o n s v u , au p a r a - g r a p h e p r é c é d e n t , que si T ( D ) est un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e , il est a u s s i m o d u l a i r e .

E t u d i o n s alors la t h é o r i e du p a r a l l é l i s m e dans les t r e i l l i s g é o m é t r i q u e s m o d u l a i r e s (c'est à dire d a n s les g e o m e t r i e s p r o j e c t i v e s ) .

Soit T un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e m o d u l a i r e , il v é r i f i e en p a r t i c u l i e r la " c o n d i t i o n C | " (voir D U B R E I L - J A C C T I N , L 2 3 I E U R et C R O I S O T , 1 9 5 3 , p . 6 2 ; § 2 , p r o p r i é t é l ) , soit :

x V 7 >^y — — x V>x /\y.

L a p r o p r i é t é "x est p a r a l l è l e à y" , n o t é e x | | y , dans un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e T , e s t , r a p p e l o n s - l e la s u i v a n t e :

• x /\ y = 0 ( é l é m e n t n u l de T )

x I |y <^ ^> ^{x v} y >Q x ( donc y 4 0 )

S o i e n t a l o r s , dans T t r e i l l i s g é o m é t r i q u e et m o d u - l a i r e , d e u x v a r i é t é s x et y , x é t a n t s u p p o s é ^ p a r a l l è l e à y .

On a donc : x V y y> x ( d é f i n i t i o n du p a r a l l é l i s m e ; , donc a u s s i : y > o x y ( c o n d i t i o n C ^ ) , et c o m m e x /\ y = 0 , cela s i g n i f i e que y est n é c e s s a i r e m e n t un p o i n t .

N o u s avons donc d é m o n t r é la p r o p o s i t i o n s u i v a n t e : P r o p o s i t i o n 1.7 : D a n s un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e m o d u - l a i r e , la r e l a t i o n ^Mx est p a r a l l è l e à y^{T T} n'est v é r i f i é e que dans le cas t r i v i a l où y est u n p o i n t n o n c o n t e n u dans x.

Une c o n s é q u e n c e i m m é d i a t e de c e t t e p r o p o s i t i o n est la s u i v a n t e : P r o p o s i t i o n 1 » 8 : D a n s un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e m o d u - l a i r e , la r e l a t i o n "x et y sont p a r a l l è l e s^{, f} n'est v é r i - fiée que dans le cas t r i v i a l o ù x et y sont des p o i n t s d i s t i n c t s 0

R a p p e l o n s en e f f e t que la r e l a t i o n ^tr x et y sont p a r a l l è l e s1 1 t r a d u i t la d o u b l e p r o p r i é t é Mx est p a r a l l è l e à y"

(donc y est un p o i n t n o n c o n t e n u dans x ) , et "y est p a r a l l è l e à x " ( d o n c x est un p o i n t n o n c o n t e n u dans y ) .

E x a m i n o n s m a i n t e n a n t le cas des g e o m e t r i e s a f f i n e s et des g e o m e t r i e s a f f i n e s g é n é r a l i s é e s .

P r o p o s i t i o n lo9 : U n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e m o d u - l a i r e n'est j a m a i s u n e g é o m é t r i e a f f i n e .

E n e f f e t , une g é o m é t r i e a f f i n e est u n e g é o m é t r i e m o d u l a i r e a f f a i b l i e , de d i m e n s i o n au m o i n s é g a l e à d e u x , v é r i f i a n t le p o s t u l a t d ' E u c l i d e .

U n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e e s t , a f o r t i o r i , u n e g é o m é - t r i e m o d u l a i r e a f f a i b l i e , m a i s le p o s t u l a t d ' E u c l i d e n'y est j a m a i s v é r i f i é : d e u x d r o i t e s d i s t i n c t e s ne p e u v e n t p a s ê t r e p a r a l l è l e s , c e t t e p r o p r i é t é é t a n t e x c l u s i v e m e n t r é s e r v é e aux p o i n t s (voir p r o p o s i t i o n 1.8 c i - d e s s u s ) .

P r o p o s i t i o n 1.10 : U n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e m o d u l a i r e est u n e g é o m é t r i e a f f i n e g é n é r a l i s é e si et s e u l e m e n t si ce t r e i l l i s est de d i m e n s i o n au m o i n s é g a l e à t r o i s .

g é o m é t r i e m o d u l a i r e a f f a i b l i e , de d i m e n s i o n au m o i n s é g a l e à t r o i s , v é r i f i a n t le p o s t u l a t d ' E u c l i d e g é n é r a l i s é .

D a n s T , t r e i l l i s g é o m é t r i q u e m o d u l a i r e (donc a u s s i m o d u l a i r e a f f a i b l i ) , soit D une d r o i t e et scit P un p o i n t

non situé dans D. D ' a p r è s la p r o p o s i t i o n 1.8, il n ' e x i s t e a u c u n e d r o i t e X p a s s a n t par P, t e l l e que X et D s o i e n t p a r a l l è l e s .

Le p o s t u l a t d ' E u c l i d e g é n é r a l i s é , en v e r t u d u q u e l il e x i s t e r a i t au p l u s u n e t e l l e d r o i t e X , est d o n c v é r i f i é .

La seule c o n d i t i o n r e s t r i c t i v e , p o u r q u ' u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e m o d u l a i r e p u i s s e être u n e g é o m é t r i e a f f i n e g é n é - r a l i s é e , est la c o n d i t i o n de d i m e n s i o n : c e l l e - c i doit être au m o i n s é g a l e à t r o i s .

R e v e n o n s m a i n t e n a n t au cas du t r e i l l i s T ( D ) des s o u s - d e m i - g r o u p e s d'un d e m i - g r o u p e D. S u p p o s o n s que T ( D ) soit g é o m é t r i q u e ; il est donc a u s s i m o d u l a i r e ; nous p o u v o n s donc lui a p p l i q u e r les p r o p o s i t i o n s 1.9 et 1.10 c i - d e s s u s , ce qui n o u s p e r m e t d ' é n o n c e r les d e u x t h é o r è m e s s u i v a n t s :

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 1*11) : Le t r e i l l i s T ( D ) des s o u s - d e m i - g r o u p e s d'un d e m i - g r o u p e D n'est j a m a i s u n e g é o m é t r i e a f f i n e .

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 1.12) : Le t r e i l l i s T ( D ) des s o u s - d e m i - g r o u p e s d'un d e m i - g r o u p e D est u n e g é o m é - t r i e a f f i n e g é n é r a l i s é e si et s e u l e m e n t si T ( D ) est un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e de d i m e n s i o n au m o i n s é g a l e à t r o i s .

C H A P I T R E 2

S t r u c t u r e d é s g r o u p e s m o n o g è n e s d o n t le t r e i l l i s d e s s o u s - g r o u p e s est g é o m é t r i q u e

P o u r d é t e r m i n e r d a n s q u e l l e s c o n d i t i o n s un g r o u p e m o n o g è n e est s u s c e p t i b l e d ' a v o i r p o u r t r e i l l i s de s o u s - g r o u p e s u n t r e i l l i s g é o m é t r i q u e , n o u s d i s t i n g u e r o n s d e u x c a s ,

e x h a u s t i f s :

- le cas des g r o u p e s m o n o g è n e s i n f i n i s (c'est à d i r e les g r o u p e s i s o m o r p h e s à Z , g r o u p e a d d i t i f des e n t i e r s r e l a t i f s ) :

- le cas des g r o u p e s m o n o g è n e s f i n i s ( a p p e l é s a u s s i g r o u p e s c y c l i q u e s ) .

!• Cas des g r o u p e s m o n o g è n e s i n f i n i s :

S o i t G un g r o u p e m o n o g è n e i n f i n i , e n g e n d r é p a r un é l é m e n t x.

G étant m o n o g è n e , il est a b é l i e n , et p a r c o n s é q u e n t , d e u x s o u s - g r o u p e s q u e l c o n q u e s de G étant p e r m u t a b l e s , l e u r u n i o n est i d e n t i q u e à l e u r p r o d u i t :

A , B s o u s - g r o u p e s de G A \ J B « A B * B A . U n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e p o u r q u e le t r e i l l i s T ( G ) d e s s o u s - g r o u p e s de G soit g é o m é t r i q u e , est que T ( G ) soit c o m p l e m e n t é ( D U B R E I L - J A C U T I N , L E S I E U R et C R O I S O T , 1 9 5 3 , p . 2 7 0 , t h é o r è m e 3, d é j à c i t é ) . C e t t e c o n d i t i o n e s t - e l l e s a t i s f a i t e p a r T ( G ) ?

Soit A un s o u s - g r o u p e de G. A d m e t - i l un c o m p l é m e n t dans T ( G ) ? A u t r e m e n t d i t , e x i s t e - t - i l un s o u s - g r o u p e B de G t e l que :

A y B - G et A A B - e ?

A , s o u s - g r o u p e d'un g r o u p e n o n o g è n e , est l u i - n ê m e n o n o g è n e , e n g e n d r é p a r un c e r t a i n é l é m e n t x^{1 1}, avec n ^ 0

si A

i

4

4

T o u t s o u s - g r o u p e B de G est lui a u s s i m o n o g è n e , e n g e n d r é p a r xm. L ' i n t e r s e c t i o n A AB du s o u s - g r o u p e A et d'un s o u s - g r o u p e B q u e l c o n q u e c o n t i e n t n é c e s s a i r e m e n t l ' é l é - ment x ^nm « ( x ^R)^m * ( x^{E 1})ⁿ. A é t a n t , d a n s le cas g é n é r a l , s u p - p o s é d i f f é r e n t de G et de {e} , cet é l é m e n t xⁿⁿ ne p e u t

être l ' é l é m e n t n e u t r e que si m = 0 ; ceci s i g n i f i e que B = {e} ; m a i s a l o r s on ne p e u t a v o i r A V B = G , p u i s q u e A V B ³ A

est s u p p o s é d i f f é r e n t de G.

D o n c ; a u c u n s o u s - g r o u p e de G, d i f f é r e n t de G et de {e} , n ' a d m e t de c o m p l é m e n t dans T ( G ) . C e c i p r o u v e q u e T ( G ) n'est pas c o m p l e m e n t é , donc p a s g é o m é t r i q u e .

C T h é rêne ( p r o p o s i t i o n 2.1) : si G est u n g r o u p e y m o n o g è n e i n f i n i , T ( G ) n'est p a s un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e .

£ • Cas des g r o u p e s nonoflènes f i n i s (ou g r o u p e s c y c l i q u e s ) : S o i t G un g r o u p e c y c l i q u e d ' o r d r e n , e n g e n d r é p a r un é l é m e n t x : G « ( x ) .

Le t r e i l l i s T ( G ) de ses s o u s - g r o u p e s , s'il est g é o m é t r i q u e , est n é c e s s a i r e m e n t de d i m e n s i o n f i n i e , p u i s q u e , G é t a n t d ' o r d r e f i n i , T ( G ) a un n o m b r e fini d ' é l é m e n t s . N o u s p o u r r o n s donc n o u s l i m i t e r à d i s c u t e r s e u l e m e n t des p o s t u l a t s

Pl * ^P2 -^{e t}- ^ 3 ^{d a n s} T ( G ) ( l e p o s t u l a t P^ ne c o n c e r n a n t que l e s t r e i l l i s i n f i n i s ) .

U n e q u e s t i o n p r é a l a b l e se p o s e : que sont l e s

" p o i n t s " d a n s T ( G ) ? N o u s s a v o n s q u ' i l s'agit des " v a r i é t é s c o u v r a n t l ' é l é m e n t n u l " ; donc il s'agit de s o u s - g r o u p e s

n^fa d m e t t a n t p a s de s o u s - g r o u p e p r o p r e a u t r e que {e} • O r , le p r e m i e r t h é o r è m e de S Y L O W s^Té n o n c e a i n s i (voir p a r e x e m p l e D U 3 R E I L et DUBREIL-JACOTIÏÏ, 196l, p . 7 3 ) .

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 2 o 2 ) : si G est un g r o u p e d ' o r d r e f i n i n , et si cet o r d r e n s'écrit n = m p^r (où p est u n n o m b r e p r e m i e r , r ^ 1 , m p r e m i e r avec p ) , a l o r s p o u r t o u t e n t i e r k t e l que 1 ^s< k v< r, le g r o u p e G a d m e t au m o i n s un s o u s - g r o u p e d ' o r d r e p .

Ce t h é o r è m e n o u s p e r m e t d ' a f f i r m e r q u e , dans u n p r c m r e d'ordre f i n i , les s e u l s s o u s - g r o u p e s qui n ' a d m e t t e n t p a s de s o u s - g r o u p e p r o p r e a u t r e que {e } sont les s o u s - g r o u p e s

d'ordre p r e m i e r . En e f f e t , un s o u s - g r e u p e dont l ' o r d r e , s u p p o s é non p r e m i e r , c o n t i e n t pr c o m m e f a c t e u r (p p r e m i e r , r >, 2), admet au m o i n s u n s o u s - g r o u p e d ' o r d r e p \ et d ' a u t r e p a r t , si un s o u s - g r o u p e de G est d ' o r d r e p r e m i e r p , il n ' a d m e t £ a s de s o u s - g r o u p e p r o p r e a u t r e que {e} (car l'ordre d'un s o u s - g r o u p e d'un g r o u p e fini est un d i v i s e u r de l ' o r d r e de ce g r o u p e , et p , n o m b r e p r e m i e r , n ' a d m e t pas de d i v i s e u r a u t r e que 1 et l u i - m ê m e ) . N o u s p o u v o n s donc é n o n c e r :

P^opo_31t ien_ g > 3 : D a n s le t r e i l l i s T ( G ) des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e f i n i G, les " p e i n t s " sont les s o u s - g r o u p e s d ' o r d r e p r e m i e r .

R a p p e l o n s à ce p r o p o s que t o u t g r o u p e d ' o r d r e p r e m i e r est c y c l i q u e .

ïîous p o u v o n s m a i n t e n a n t e s s a y e r de v o i r si les p o s - t u l a t s P^, P^, sont v é r i f i e s p a r le t r e i l l i s des s c u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e .

A ) - P o s t u l a t P^^

ZzlgLP j: oy\_ 2. h : Q u e l que soit le g r o u p e G , le t r e i l l i s T ( G ) de ses s o u s - g r o u p e s v é r i f i e le p o s t u l a t P^.

E n e f f e t , le t r e i l l i s T ( G ) p o s s è d e b i e n u n é l é m e n t n u l ( q u i est le s o u s - g r o u p e {e} , r é d u i t à l ' é l é m e n t n e u t r e de

G ) , et un é l é m e n t u n i v e r s e l (qui est le g r o u p e G l u i - m ê m e ) . B ) - P o s t u l a t

P r o p o s i t i o n 2.5 * le t r e i l l i s T ( G ) des s o u s - g r o u p e s d^fu n g r o u p e c y c l i q u e v é r i f i e t o u j o u r s le p o s t u l a t P g .

En e f f e t , n o u s s a v o n s qUe ( D U B R E I L et D U B R E I L -

J A C O T I N , 1 9 6 l , p . 2 0 0 , t h é o r è m e 2 , c o r o l l a i r e l ) le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e a b é l i e n est m o d u l a i r e . M a i s u n t r e i l l i s m o d u l a i r e est t o u j o u r s s e m i - m o d u l a i r e ( D U B R E I L -

J A C O T I N , L E S I E U R et C R 0 I S 0 T , 1 9 R 3 , p . 8 U ) . De p l u s , un t r e i l l i s s e m i - m o d u l a i r e avec é l é m e n t n u l et é l é m e n t u n i v e r s e l v é r i f i e les p o s t u l a t s T?¹ et ?² ( D U B R E I L - J A C O T I N , L E S I E U R et C R 0 I S 0 T , 1 9 5 3 , p . 2 5 1 ) . D o n c i c i , p u i s q u e t o u t g r o u p e c y c l i q u e est a b é l i e n , n o u s p o u v o n s c o n c l u r e que T( G ) v é r i f i e le p o s t u l a t V

C ) - P o s t u l a t P^

P r o p o s i t i o n 2 . 6 : U n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et

s u f f i s a n t e p o u r que T ( G ) , t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e G d ' o r d r e n , soit u n t r e i l l i s g é o m é t r i - q u e , est que n ne soit p a s d i v i s i b l e p a r le c a r r é d'un n o m b r e p r e m i e r a u t r e que 1 ; a u t r e m e n t d i t , n d o i t s ' é c r i - re sous l a f o r m e :

n = ^P i^P 2^{# #, P}k *^Pi P^{r e m i e r} » ^pi * ^pj )

D é m o n s t r a t i o n : S u p p o s o n s d ' a b o r d que l ' o r d r e n de G s'écrive sous la forme n = m p^r, avec p p r e m i e r r y 2 . A l o r s , d ' a p r è s le p r e m i e r t é h o r è m e de S Y L O W d é j à cité (voir p r o p o s i t i o n 2 . 2 ) , le g r o u p e G a d m e t (au m o i n s ) un s o u s - g r o u p e

2

d ' o r d r e p , soit H. Ce s o u s - g r o u p e H p e u t - i l ê t r e e x p r i m é c o m m e u n i o n de " p o i n t e " ? De t e l s p o i n t s , s'ils e x i s t e n t , sont n é c e s s a i r e m e n t des • u s - g r o u p e s d ' o r d r e p . M a i s H , s o u s - g r o u p e d'un g r o u p e c y c l i q u e , est l u i - m ê m e c y c l i q u e ,

e n g e n d r é p a r un é l é m e n t x d ' o r d r e p • D i r e que H est u n i o n de s o u s - g r o u p e s t o u s d ' o r d r e p , c'est d i r e q u e , en p a r t i c u - l i e r , cet é l é m e n t x est p r o d u i t f i n i d ' é l é m e n t s t o u s d ' o r d r e p . Or , si a et b sont d e u x é l é m e n t s p e r m u t a b l e s , d ' o r d r e p , a l o r s l e u r p r o d u i t est a u s s i d ' o r d r e p . D o n c dans G , g r o u p e a b é l i e n ( p u i s q u e c y c l i q u e ) , d e u x é l é m e n t s q u e l c o n q u e s sont p e r m u t a b l e s , et t o u t p r o d u i t d'un n o m b r e fini d ' é l é m e n t s

2

d ' o r d r e p est l u i - m ê m e d ' o r d r e p . D o n c x , d ' o r d r e p , ne p e u t être p r o d u i t fini d ' é l é m e n t s d ' o r d r e p , et par c o n s é q u e n t H ne p e u t ê t r e u n i o n de s o u s - g r o u p e s d ' o r d r e p . La c o n d i t i o n

i n d i q u é e est donc n é c e s s a i r e .

R é c i p r o q u e m e n t , soit G u n g r o u p e c y c l i q u e dont l ' o r d r e n s'écrit sous l a f o r m e : n - P ^ P g ^ ' F ^ » ^{l e s p}i étant des n o m b r e s p r e m i e r s d i s t i n c t s . T o u t s o u s - g r o u p e de G ect c y c l i q u e , et son o r d r e , d i v i s e u r de n , est l u i - m ê m e . de la forme

Jl J2 ^Js

où les Pj sont c e r t a i n s des f a c t e u r s p r e m i e r s p ^^f P²> « • • » ? £ • P a r a i l l e u r s n o u s s a v o n s (voir D U B R E I L et D U B R E I L - J A C O T I N , 196l,p. 269) q u e , si G est u n g r o u p e c y c l i q u e d ' o r d r e

Sl S2 ^Sk n - P^x P². . . P^k

a l o r s G est p r o d u i t d i r e c t de s o u s - g r o u p e s c y c l i q u e s p r i m a i r e s

Al * A2 * * * * *Ak ' a v e c s o r d r e de A^ = p ^¹

( g r o u p e s p r i m a i r e s , v o i r a n n e x e l ) .

D o n c ici le g r o u p e G s e r a de l a f o r m e G = A^x X A² x . . . y. A^k

où A ^ est d ' o r d r e p ^ p r e m i e r ; et de p l u ? , t o u t s o u s - g r o u p e H de G s e r a a u s s i de c e t t e f o r m e , soix:

H « A . y A . > < • • • > < A .

Jl J2 J s

o ù A . est d ' o r d r e p . p r e m i e r .

Ji ^Ji

En* r a p p e l a n t q u e , dans un g r o u p e a b é l i e n , l ' u n i o n de d e u x s o u s - g r o u p e s est i d e n t i q u e à l e u r p r o d u i t , ce r é s u l - tat s i g n i f i e que tout s o u s - g T o u p j e . _ H.fiBt u n i o n ..de s- p o i n t s A . ,

°1 A • , • • • • A» •

D o n c , t o u t e v a r i é t é é t a n t u n i o n de p o i n t s , c e c i d é m o n t r e que la c o n d i t i o n est s u f f i s a n t e .

En r é s u m é , p u i s q u e le t r e i l l i s T ( G ) des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e G v é r i f i e t o u j o u r s les p o s t u l a t s P¹ et P², e.t- q u ' i l v é r i f i e , l e , p o s t u l a t P^ si et s e u l e m e n t si l ' o r d r e n de G est de la f o r m e n = P T P Q. • « p^v (p- p r e m i e r , p . ^ p . ) , n o u s p o u v o n s é n o n c e r le t h é o r è m e s u i v a n t , qui d é t e r m i n e c o m p l è - t e m e n t la s t r u c t u r e des g r o u p e s c y c l i q u e s dont le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s est g é o m é t r i q u e :

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 2.7 ) : Le t r e i l l i s T ( G ) d e s s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e G d ' o r d r e n est g é o m é - t r i q u e si et s e u l e m e n t si n n'est p a s d i v i s i b l e par le carré d'un n o m b r e p r e m i e r autre que 1 ; a u t r e m e n t d i t , si n s'écrit sous la f o r m e : n = pnp0. . * Pv (p- p r e m i e r , p . ^ p . ) .3. C o n s é q u e n c e r e l a t i v e aux g r o u p e s q u e l c o n q u e s :

Soit G un g r o u p e q u e l c o n q u e , d ' o r d r e f i n i p u i n f i n i . Soit T ( G ) le t r e i l l i s de ses s o u s - g r o u p e s .

R a p p e l o n s le t h é o r è m e s u i v a n t ( D U B R E I L - J A C O T I N , i,ESU£UR.et C R O I S O T , 1 9 5 3 , p . 2 7 0 , t h é o r è m e k) :

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 2 . 8 ) : A 4 0 é t a n t u n e v a r i é t é d'un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e , le s e g m e n t £*0, A J est a u s s i un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e \ p o u r que sa d x m e n s i o n d soit f i n i e , il faut et il suffit que la v a r i é t é A soit de d i m e n s i o n f i n i e é g a l e à d.

En v e r t u de la p r e m i è r e p a r t i e de ce t h é o r è m e , n o u s p o u v o n s a f f i r m e r q u ' u n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e p o u r que T ( G ) soit g é o m é t r i q u e est q u e , q u e l que soit H s o u s - g r o u p e de G , le

t r e i l l i s T ( H ) des s o u s - g r o u p e s de H soit l u i - m ê m e g é o m é t r i - que ; ceci doit en p a r t i c u l i e r ê t r e v r a i p o u r les s o u s - g r o u p e s m o n o g è n e s de G. D o n c , q u e l que soit x é l é m e n t de G, le s o u s - gtfoupe (x) e n g e n d r é p a r x doit a v o i r p o u r t r e i l l i s de s o u s - g r o u p e s un t r e i l l i s g é o m é t r i q u e . C e c i ne p o u r r a être r é a l i s é que si cet é l é m e n t x est dfo r d r e fini et n o n d i v i s i b l e p a r le carré d'un n o m b r e p r e m i e r a u t r e que 1.

D é f i n i t i o n : n o u s d i r o n s q u ' u n é l é m e n t x d'un g r o u p e G s a t i s f a i t à la c o n d i t i o n g^,. si et s e u l e m e n t si l ' o r d r e de cet é l é m e n t x d a n s le g r o u p e G est un n o m b r e fini ; non d i v i s i b l e p a r le c a r r é d'un n o m b r e p r e m i e r a u t r e que li a u t r e m e n t dit» si cet o r d r e %st f i n i , de l a f o r m e

n « Р^ХР² . . pk , Pi p r e m i e r , pi 4 p ^ . D ' o ù le t h é o r è m e suivant ?

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 2 . 9 ) : G étant un g r o u p e q u e l - c o n q u e , d ' o r d r e f i n i ou i n f i n i , u n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e p o u r que le t r e i l l i s T ( G ) de ses s o u s - g r o u p e s soit g é o m é - t r i q u e est que tout é l é m e n t de G s a t i s f a s s e à la c o n d i - t i o n g.^ d é f i n i e c i - d e s s u s .

k. E t u d e du t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e A v a n t de p a s s e r à l ' é t u d e des g r o u p e s dont t o u t é l é m e n t s a t i s f a i t à la c o n d i t i o n ^ ( é t u d e qui f e r a l ' o b j e t du c h a p i t r e 3 ) , n o u s a l l o n s é t u e i e r d ' u n e m a n i è r e p l u s d é t a i l - lée l ' e n s e m b l e des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e , en t a n t q u ' e n s e m b l e m u n i d ' u n e s t r u c t u r e de t r e i l l i s .

L e s p r o p r i é t é s c i - d e s s o u s sont c l a s s i q u e s , ou d é c o u l e n t i m m é u i a t e n e p t de p r o p r i é t é s c l a s s i q u e s (c'est

p o u r q u o i n o u s n e n o u s é t e n d r o n s p a s «таг lern? d é m o n s t r a t i o n ) : ;j n é a n m o i n s , n o u s l e s a v o n s r e g r o u p é e s ici p a r c e q u ' e l l e s ont l e u r p l a c e d a n s le c a d r e d ' u n e é t u d e d é t a i l l é e du t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s в#и п g r o u p e c y c l i q u e .

G étant un g r o u p e c y c l i q u e , e n g e n d r é p a r un é l é m e n t

81 ⁵2 ³Y

a d¹o r d r e n « p^g :.. p^{f c t o} ; l ' e n s e m b l e de ses s o u s - g r o u p e s , e n - s e m b l e o r d o n n é p a r la r e l a t i o n d ' i n c l u s i o n e n t r e p a r t i e s de G , p r é s e n t e la s t r u c t u r e de t r e i l l i s d é f i n i e de la m a n i è r e s u i v a n t e :

- d e u x s o u s - g r o u p e s H et H¹ de G ont u n p l u s g r a n d m i n o - rant c o m m u n , soit H A H¹, qui est i d e n t i q u e à leur i n t e r s e c - t i o n (au sens de l ' i n t e r s e c t i o n des s o u s - e n s e m b l e s de G ) , soit H C\ H ' . D o n c : H C\ H' • H A H ' .

- d e u x s o u s - g r o u p e s H et H' ont un p l u s p e t i t m a j o r a n t c o m m u n , soit H \/ H ' , qui est i d e n t i q u e à l e u r p r o d u i t H H^f

(en e f f e t , G étant c y c l i q u e , donc a b é l i e n , d e u x s o u s - g r o u p e s q u e l c o n q u e s sont p e r m u t a b l e s , donc l e u r p r o d u i t est l u i - m ê m e u n s o u s - g r o u p e de G ; c'est d ' a u t r e p a r t le p l u s p e t i t s o u s - g r o u p e c o n t e n a n t à la fois H et H ' ) . D o n c : H V H ' = H H ' = H ' H .

T o u t s o u s - g r o u p e de G est c y c l i q u e ( D U B R E I L et D U B R E I L - J A C O T I N , 196l, p . 87, t h é o r è m e 3 ) , donc est e n g e n d r é p a r ak (où k = 0, 1, 2,..., n ~ l ) .

n /d

Si d est un d i v i s e u r de n , l ' é l é m e n t a engendrfc u n s o u s - g r o u p e d ' o r d r e d (voir D U B R E I L et D U B R E I L - J A C O T I N , 196l, p . 8 8 ) . C o m m e l ' o r d r e d'un s o u s - g r o u p e d'un g r o u p e fini est n é c e s s a i r e m e n t u n d i v i s e u r de l ' o r d r e de ce g r o u p e , n o u s c o n c l u o n s q u ' i l e x i s t e u n e c o r r e s p o n d a n c e b i u n i v o q u e e n t r e l ' e n s e m b l e T ( n ) des d i v i s e u r s de n et l ' e n s e m b l e T ( G ) des s o u s - g r o u p e s de G : à t o u t s o u s - g r o u p e H de G c o r r e s p o n d l'ordre d de ce s o u s - g r o u p e , et r é c i p r o q u e m e n t à t o u t d i v i -

seur d de n c o r r e s p o n d un et un s e u l s o u s - g r o u p e de G d ' o r d r e d.

d < — > ( a^n/d)

R e m a r q u o n s que l ' e n s e m b l e T ( n ) des d i v i s e u r s de n p o s s è d e l u i a u s s i u n e s t r u c t u r e de t r e i l l i s d é f i n i e de l a m a n i è r e s u i v a n t e :

- r e l a t i o n d ' o r d r e : c'est l a r e l a t i o n de d i v i s i b i l i t é

des n o m b r e s e n t i e r s : d. d i v i s e d..

« d e u x é l é n e n t s d. et d. de T ( n ) p o s s è d e n t un p l u s p e t i t m a j o r a n t c o m m u n (pour c e t t e r e l a t i o n d ' o r d r e ) ; c'est l e u r p l u » p e t i t c o m m u n m u l t i p l e i d. V d• ^a p p c m ( d . , d . ) .

- d e u x é l é m e n t s d. et d • de T ( n ) p o s s è d e n t un p l u s g r a n d m i n o r a n t c o m m u n ; c'est l e u r p l u s g r a n d c o m m u n d i v i s e u r :

a. A a. = p g c d ( d . , a.).

C o m m e il e x i s t e u n e c o r r e s p o n d a n c e b i u n i v o q u e e n t r e les d e u x t r e i l l i s T ( G ) et T ( n ) , en t a n t q u ' e n s e m b l e s d ' é l é - m e n t s , n o u s p o u v o n s n o u s d e m a n d e r si c e t t e c o r r e s p o n d a n c e n'est p a s u n i s o m o r p h i s m e e n t r e t r e i l l i s (sur les i s o m o r p h i s -

m e s e n t r e e n s e m b l e s o r d o n n é s , et p a r t i c u l i è r e m e n t e n t r e t r e i l l i s , v o i r a n n e x e 2 ) . Il n o u s s u f f i t de v é r i f i e r que la c o r r e s p o n -

d a n c e b i u n i v o q u e p r é s e r v e l a r e l a t i o n d ' o r d r e . E t u d i o n s a l o r s l a c o r r e s p o n d a n c e e n t r e l e s d e u x r e l a t i o n s d ' o r d r e :

S o i e n t d e u x s o u s - g r o u p e s de G :

G. = ( a^n/di ) , d ' o r d r e a. ; G. • ( a^n/dj ) , d ' o r d r e d..

S u p p o s o n s que G. C G. ; G. é t a n t s o u s - g r o u p e de G . ,

î j î j

son o r d r e d i v i s e l ' o r d r e de G..

J

R é c i p r o q u e m e n t , s o i e n t d. et d. d e u x d i v i s e u r s de

* J

n , a s s o c i é s à d e u x s o u s - g r o u p e s G. et G.. S u p p o s o n s que d.

d i v i s e a.. A l o r s , p a r m i les s o u s - g r o u p e s de G . , c y c l i q u e , il J

en e x i s t e n é c e s s a i r e m e n t u n d ' o r d r e d^, soit G'^. G'^, s o u s - g r o u p e de G., est a u s s i s o u s - g r o u p e de G. C o m m e d a n s G il

J

e x i s t e un et un s e u l s o u s - g r o u p e d ' o r d r e d^, c'est que G ' ^ G ^ . D o n c G. C G.. N o u s a v o n s a i n s i m o n t r é que :

* «3

( an / di ) C ( an / dj ) 4=}> d. d i v i s e d.

E n c o n c l u s i o n :

P r o p o s i t i o n 2*10 : Soit G u n g r o u p e c y c l i q u e

d ' o r d r e n , e n g e n d r é p a r u n é l é m e n t a. Soit T ( G ) le t r e i l - lis des s o u s - g r o u p e s de G . ( o r d o n n é c a r l a r e l a t i o n

dfi n c l u s i o n e n t r e p a r t i e s de G ) . Soit T ( n ) le t r e i l l i s des d i v i s e u r s de n ( o r d o n n é p a r la r e l a t i o n de d i v i s i - b i l i t é entre n o m b r e s e n t i e r s ) . A l o r s il e x i s t e e n t r e les d e u x t r e i l l i s T ( G ) et T ( n ) u n i s o m o r p h i s m s d é f i n i p a r :

n / d

H = (a ) s o u s - g r o u p e de G £—> d= o r d r e de H.

R e v e n o n s au t r e i l l i s T ( n ) des d i v i s e u r s de n.

f o u s a p p e l l e r o n s d v v i s e u r m a x i m a l de n t o u t é l é m e n t m a x i m a l de T ( n ) - { n } , e n s e m b l e o r d o n n é par la r e l a t i o n de d i v i s i - b i l i t é . Un d i v i s e u r m a x i m a l de n est donc un d i v i s e u r p r o p r e

de n (c'est à dire d i s t i n c t de n l u i - m ê m e ) qui n'est d i v i s e u r d'aucun a u t r e d i v i s e u r p r o p r e de n.

E t a n t d o n n é c e t t e n o t i o n de d i v i s e u r m a x i m a l d'un n o m b r e e n t i e r d o n n é , n o u s p o u v o n s p r é c i s e r , à l'aide de

1 ' i s o m o r p h i s m e e n t r e T ( G ) et T ( n ) , ce que r e p r é s e n t e n t , d a n s T ( G ) , les n o t i o n s de r e l a t i o n de c o u v e r t u r e , de p o i n t ,

d ' h y p e r p l a n .

- r e l a t i o n de c o u v e r t u r e dans T ( G ) : d e u x s o u s - g r o u p e s G. et G. de G, r e s p e c t i v e m e n t d ' o r d r e s d. et d., sent t e l s que G. c o u v r e G. ( n o t a t i o n G. v> G. ) si , p a r d é f i n i t i o n :

G- C ^G 4 > e t , s i G. C G C 7 G . , a l o r s G, = G. o u G.

1 0 I K J K i j

C e l a s i g n i f i e que d^ est un d i v i s e u r m a x i m a l de d^.

- p o i n t s dans T ( G ) : ce sont les é l é m e n t s de T ( G ) qui c o u v r e n t 1^?é l é m e n t n u l de T ( G ) ; un p o i n t est donc un s o u s - g r o u p e de G dont l ' o r d r e a d m e t s e u l e m e n t le n o m b r e 1 comme d i v i s e u r m a x i m a l ; cet o r d r e est donc un d i v i s e u r p r e m i e r de n. N o u s r e t r o u v o n s b i e n de c e t t e f a ç o n le r é s u l - tat d é j à é t a b l i p l u s h a u t (voir p r o p o s i t i o n 2 . 3 ) .

- H y p e r p l a n s d a n s T ( G ) : ce sont les é l é m e n t s de T ( G ) qui sont c o u v e r t s par l ' é l é m e n t u n i v e r s e l de T ( G ) ; u n h y p e r - p l a n est donc un s o u s - g r o u p e de G dont 3'ordre est un d i v i s e u r m a x i m a l de n (cette n o t i o n est donc i d e n t i q u e à la n o t i o n de s o u s - g r o u p e m a x i m a l ) .

E x e m p l e s de t r e i l l i s de s o u s - g r o u p e s de g r o u p e s c y c l i q u e s . L ' e x i s t e n c e d'un i s o m o r p h i s m e e n t r e T ( G ) et T ( n ) (voir p r o p o s i t i o n 2 . 1 0 ) n o u s p e r m e t de c o n s t r u i r e f a c i l e m e n t le d i a g r a m m e du t r e i l l i s T ( G ) des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e q u e l c o n q u e , d ' o r d r e n. Il n o u s s u f f i t p o u r c e l a de c o n s t r u i r e le d i a g r a m m e du t r e i l l i s T ( n ) des d i v i s e u r s de n , f a c i l e m e n t o b t e n u s p a r d é c o m p o s i t i o n de n en p r o d u i t de f a c t e u r s p r e m i e r s .

La f i g u r e 1 est le d i a g r a m m e du t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e d'ordre n = 2 1 0 . Un t e l t r e i l l i s est g é o m é t r i q u e p u i s q u e la c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e ( p r o p o s i t i o n 2.7) est v é r i f i é e : n = 2 1 0 = 2 / 3 x 5 x 7 .

La f i g u r e 2 est le d i a g r a m m e du t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e c y c l i q u e d'ordre n = 2 0 0 . Un t e l t r e i l l i s n'est pas g é o m é t r i q u e p u i s q u e la c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et

s u f f i s a n t e n'est pas v é r i f i é e z n = 2 0 0 = 2° > 5 •

f i g . 1 f i g . 2

6. D i m e n s i o n d'un s o n s - g r o u p e .

Soit G un g r o u p e c y c l i q u e d ' o r d r e n , e n g e n d r é par un é l é m e n t a. S u p p o s o n s que le n o m b r e n v é r i f i e la c o n d i t i o n n é c e s s a i r e et s u f f i s a n t e p o u r que T ( G ) soit g é o m é t r i q u e ,

soit

n • P¹P^{2 4}*^,î⁾k *^pi P ^{r e n i e r} > P i ^ P j ) '

D a n s le t r e i l l i s T ( G ) , qui est donc G é o m é t r i q u e , -nous pauvon-s p a r l e r de r a n g et de d i m e n s i o n d ' u m v a r i é t é

(c'est à d i r e d^!m n „ s o n s O U P ^ - 'de G ) ( D U B R E I X - J A C O T I N , L E S I E U R et C R O I S O T , 1 9 5 3 , p . 2 5 2 ) .

E t a n t d o n n é H , s o u s - g r o u p e de G , ou v a r i é t é d a n s le t r e i l l i s g é o m é t r i q u e T ( G ) , son r a n g e s t , p a r d é f i n i t i o n , le n o m b r e des p o i n t s y - i n d é p e n d a n t s q u ' i l c o n t i e n t , N o u s a l l o n s calculer ce n o m b r e de p o i n t s .

Le s o u s - g r o u p e H est d ' o r d r e m , d i v i s e u r de n ; d o n c : m ^s p . p . . . . p . , où les p . sont c e r t a i n s

Jl ^J2 ^Js ^Ji

des f a c t e u r s p r e m i e r s p- , p⁰, . . . , p , . H c o n t i e n t s p e i n t s , qui n / P ; .

sont les s o u s - g r o u p e s A . = (a ¹) , i = 1 , 2 , ..., s.

Ji

A . est d ' o r d r e p . . L ' u n i o n (c'est à d i r e ici le p r o d u i t d i -

Ji Ji

rect d'un n o m b r e q u e l c o n q u e de p o i n t s p r i s p a r m i ces s points) a p o u r o r d r e le p g c d des o r d r e s de ces p o i n t s , qui est d o n c l e u r p r o d u i t p u i s q u e ces o r d r e s sont t o u s p r e m i e r s e n t r e e u x d e u x à d e u x . A i n s i l ' u n i o n des s p o i n t s est le s o u s - g r o u p e H (ce qui est a u s s i u n e c o n s é q u e n c e du p o s t u l a t R^)» m a i s de p l u s , l ' u n i o n de s-1 p o i n t s p r i s p a r m i ces s p o i n t s est un s o u s - g r o u p e dont l ' o r d r e n'est p a s é g a l à m ; ce s o u s - g r o u p e n'est donc p a s é g a l à H. A u t r e m e n t dit a u c u n des s p o i n t s c o n - t e n u s d a n s H n'est V - d ê p e n d a n t s des a u t r e s . D o n c les s p o i n t s c o n t e n u s d a n s H sont y - i n d é p e n d a n t s ; ce qui p r o u v e que le rang de H est s.

La d i m e n s i o n de H e s t , p a r d é f i n i t i o n , é g a l e au r a n g de H , d i m i n u é d'une u n i t é . L a d i m e n s i o n de H est donc s-1. N o u s p o u v o n s donc é n o n c e r la p r o p r i é t é s u i v a n t e :

P r o p o s i t i o n 2*11 : Soit G u n g r o u p e c y c l i q u a d o n t l ' o r d r e n - P ^ P g * * * ^ ^v^^r^ ^ ^^e 3*^a c o n d i t i o n p o u r que T ( G ) soit g é o m é t r i q u e . A l o r s un q u e l c o n q u e s o u s - g r o u p e de G , soit H, d ' o r d r e n , a p o u r r a n g (en t a n t que v a r i é t é dans T ( G ) ) le n o m b r e des f a c t e u r s p r e m i e r s de m , et p o u r d i m e n s i o n (dans T ( G ) ) , le n o m b r e des f a c t e u r s p r e m i e r s de m , d i m i n u é d'une u n i t é .

En p a r t i c u l i e r , G é t a n t u n g r o u p e c y c l i q u e d ' o r d r e n ⁼ ^ i ^ g ' ^ ^ k ^^k ^ ^{a c} *^{e u r s} p r e m i e r s d i s t i n c t s ) , le t r e i l l i s de ses s o u s - g r o u p e s est g é o m é t r i q u e , de d i m e n s i o n k - 1 .

C H A P I T R E 3

S t r u c t u r e d e s g-^-groupes d o n t l e t r e i l l i s d e s s o u s - g r o u p e s n s t n é o m é t r i q u e .

N o u s d i r o n s q u ' u n g r o u p e G est u n g ^ - g r o u p e si

c h a c u n de ses é l é m e n t s s a t i s f a i t à la c o n d i t i o n g¹ i n t r o d u i t e a u c h a p i t r e p r é c é d e n t .

U n g¹- g r o u p e est d o n c , en p a r t i c u l i e r , un g r o u p e p é r i o d i q u e ( a n n e x e 3 ) • De p l u s , n o u s a v o n s v u q u ' u n e c o n d i ­ t i o n n é c e s s a i r e p o u r que le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s d'un g r o u p e G soit g é o m é t r i q u e , est que le g r o u p e G soit u n g^- g r c u p e . La q u e s t i o n que n o u s n o u s p o s o n s a l o r s est l a s u i ­ v a n t e : c e t t e c o n d i t i o n e s t - e l l e s u f f i s a n t e ?

N o u s a l l o n s donc c h e r c h e r à d é t e r m i n e r , d a n s le p r é s e n t c h a p i t r e , s i , G é t a n t un g ^ - g r o u p e , le t r e i l l i s T ( G ) de ses s o u s - g r o u p e s v é r i f i e o u non l e s p o s t u l a t s P¹, P g * Pg>

Pj^ d é f i n i s s a n t la s t r u c t u r e de t r e i l l i s g é o m é t r i q u e .

R e m a r q u o n s q u e , dans le t r e i l l i s d e s s o u s - g r o u p e s d'un g-^-groupe, les " p o i n t s " s o n t , c o m m e p r é c é d e m m e n t , les s o u s - g r o u p e s d ' o r d r e p r e m i e r .

1. P o s t u l a t R a p p e l o n s que q u e l que soit le g r o u p e G, le t r e i l l i s de ses s o u s - g r o u p e s v é r i f i e le p o s t u l a t P ^ v o i r p r o p o s i t i o n 2 . U ) .

2. P o s t u l a t P^

P r o p o s i t i o n 3*1 : si G est u n g^*-groupe, le t r e i l l i s T ( G ) de ses s o u s - g r o u p e s v é r i f i e le p o s t u l a t ?y

En e f f e t , soit A u n s o u s - g r o u p e d u g ^ - g r o u p e G. Si A 4 {&\ s il e x i s t e dans A au m o i n s u n é l é m e n t a ^ e. Cet

é l é m e n t a s a t i s f a i t à la c o n d i t i o n g^ : son o r d r e est f i n i , de la f o r m e n = P ^ P 2^{, , ,}F j^t> °û ^^es sont des n o m b r e s p r e m i e r s d i s t i n c t s •

L ' é l é m e n t a e n g e n d r e un s o u s - g r o u p e c y c l i q u e de A , soit ( a ) C A. Or n o u s s a v o n s q u ' u n t e l g r o u p e c y c l i q u e ( a ) est u n i o n de k p o i n t s , qui sont les s o u s - g r o u p e s (a ¹ ) ,

i= i, 2 , . . . £ . D o n c le s o u s - g r o u p e A c o n t i e n t des p o i n t s .

D ' a u t r e p a r t , A est l ' u n i o n des s o u s - g r o u p e s e n g e n d r é s par ses d i v e r s é l é m e n t s : A = \ / ( a ) . M a i s c h a c u n des s o u s -

a ^ A

g r o u p e s (a) est l u i - m ê m e u n i o n f i n i e de p o i n t s . Donc A est u n i o n (finie ou i n f i n i e ) de p o i n t s .

! • P o s t u l a t

f P r o p o s i t i o n 3*2 : si G est u n g r o u p e p é r i o d i q u e , le

\ t r e i l l i s T ( G ) de ses s o u s - g r o u p e s v é r i f i e le p o s t u l a t P^.

N o u s s a v o n s (voir K U R O S H , i960 a , p . U8) que le s o u s - g r o u p e e n g e n d r é p a r u n e f a m i l l e de s o u s - g r o u p e s de G est f o r m é de t o u s l e s é l é m e n t s qui p e u v e n t être é c r i t s c o m m e p r o d u i t s d'un n o m b r e fini d ' é l é m e n t s des s o u s - g r o u p e s d o n n é s . Ceci p r o u v e en p a r t i c u l i e r l ' e x i s t e n c e de l ' u n i o n d'une f a m i l l e q u e l c o n q u e de s o u s - g r o u p e s .

Soit m a i n t e n a n t u n p o i n t P ⁹ c o n t e n u dans l ' u n i o n d ' u n e f a m i l l e de p o i n t s , soit X = \ J P-.

f e F ¹

P⁰ é t a n t un p o i n t , c ' e s t , d a n s le g r o u p e p é r i o d i q u e G, un s o u s - g r o u p e c y c l i q u e d ' o r d r e p r e m i e r ; P^Q est donc

e n g e n d r é p a r u n c e r t a i n é l é m e n t x : P = (x ) .

0 0 o

Cet é l é m e n t x^q é t a n t é l é m e n t du s o u s - g r o u p e X , i l s'écrit c o m m e p r o d u i t fini d ' é l é m e n t s p r i s d a n s c e r t a i n s P^f, soit : x = x ^ x /..x où x £ P . , f, Ç F

° °1 °2 °m ° j

V

donc : x^Q T \y/ p , et p a r c o n s é q u e n t :

<*=> •

ci P p

.

le p o i n t P^Q est b i e n s i t u é d a n s l ' u n i o n d'une p a r t i e f i n i e de la f a m i l l e des p o i n t s P^.

h. P o s t u l a t P^,

N o u s s a v o n s q u ' i l e x i s t e des g ^ g r o u p e s dont le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s est g é o m é t r i q u e (par e x e m p l e : les g r o u p e s c y c l i q u e s , dont les g é n é r a t e u r s s a t i s f o n t à la c o n d i t i o n g^, que nous a v o n s é t u d i é s a u c h a p i t r e p r é c é d e n t ) . D o n c , p o u r de t e l s g¹- g r o u p e s , le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s v é r i f i e le p o s - t u l a t P². M a i s il n'est p a s c e r t a i n a p r i o r i que ce p o s t u l a t

P² soit v é r i f i é p a r le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s de tout g - ^ g r o u p e (alors q u e , nous v e n o n s de le v o i r , les t r o i s a u t r e s p o s t u l a t s le s o n t ) .

N o u s a l l o n s e s s a y e r de p r é c i s e r l a s t r u c t u r e des g^-r^roupes dont le t r e i l l i s des s o u s - g r o u p e s v é r i f i e le p o s t u l a t P g .

E n r a p p e l a n t q u e , dans u n t r e i l l i s q u e l c o n q u e , le p o s t u l a t P² est é q u i v a l e n t à la loi de c o u v e r t u r e ( a n n e x e !* ) , n o u s a l l o n s é t a b l i r q u e l q u e s p r o p r i é t é s i m p o r t a n t e s :

f T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 3*3) : D a n s un t r e i l l i s avec / é l é m e n t n u l , l a s e m i - m o d u l a r i t é s u p é r i e u r e e n t r a î n e la ) loi de c o u v e r t u r e (donc le p o s t u l a t P²^^#

( s e m i - m o d u l a r i t é s u p é r i e u r e : v o i r a n n e x e 5 )

Soit T un t r e i l l i s s e m i - m o d u l a i r e s u p é r i e u r e m e n t . Soit A e T , A ^ 0. S o i t P u n p o i n t , P ^ A .

N o u s a v o n s A / \ P = 0 (car P est u n p o i n t n o n s i t u é dans A ) .

D o n c P >=> A A P (car P est u n p o i n t : P 0 ) .

D o n c A Y P /* A ( s e m i - m o d u l a r i t é s u p é r i e u r e d a n s T )

P r o p o s i t i o n : u n t r e i l l i s T v é r i f i a n t le p o s t u l a t P^ v é r i f i e a u s s i l a r é c i p r o q u e de la loi de c o u v e r t u r e , ( r é c i p r o q u e de la loi de c o u v e r t u r e : v o i r a n n e x e 6 ) .

S o i e n t en e f f e t d e u x v a r i é t é s A et B , B c o u v r a n t A ; en v e r t u du p o s t u l a t P^j A et B c o n t i e n n e n t des p o i n t s ( c h a c u n e étant u n i o n de p e i n t s , et c o m m e A 4 3, c e l a s i g n i f i e q u ' i l

e x i s t e au m o i n s un p o i n t , soit P, c o n t e n u d a n s B et non c o n t e n u dans A. D o n c , d'une p a r t A < A N / P , et d ' a u t r e part A V P \<" B.

C o m m e B c o u v r e A p a r h y p o t h è s e , en c o n c l u t que A V P ~ B : la r é c i p r o q u e de la loi de c o u v e r t u r e est "bien v é r i f i é e .

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 3*5) : si dans un t r e i l l i s T , l a loi de c o u v e r t u r e et le p o s t u l a t P^ sont v é r i f i é s , a l o r s le t r e i l l i s T est s e m i - m o d u l a i r e s u p é r i e u r e m e n t .

En e f f e t , d a n s un t e l t r e i l l i s , la loi de c o u v e r t u r e et sa r é c i p r o q u e sont v é r i f i é e s . S c i e n t a l o r s deux v a r i é t é s A et B t e l l e s que A )Ô A A B. Il e x i s t e donc un point P, n o n c o n t e n u d a n s A A B , m a i s c o n t e n u d a n s A , et t e l que :

A = (A A B )

v

= [(A ^A B )

v

3

= B V P , car A /\ B est c o n t e n u dans B.

M a i s le p e i n t P n'est pas c o n t e n u d a n s B , car s i n o n , c o m m e il est c o n t e n u dans A , il s e r a i t c o n t e n u dans A / \ B , ce qui est c o n t r a i r e à l ' h y p o t h è s e . D o n c , d ' a p r è s la loi de c o u v e r t u r e , n o u s c o n c l u o n s que B y P ^ B , c'est à d i r e : A y B )x»B.

D e s d e u x t h é o r è m e s c i - d e s s u s ( p r o p o s i t i o n s 3.3 et 3.5) se déduit i m m é d i a t e m e n t le t h é o r è m e s u i v a n t :

T h é o r è m e ( p r o p o s i t i o n 3 . 6 ) : d a n s un t r e i l l i s avec é l é m e n t n u l , v é r i f i a n t le p o s t u l a t P^, le p o s t u l a t Pg et la s e m i - m o d u l a r i t é s u p é r i e u r e sont des p r o p r i é t é s é q u i - v a l e n t e s .

N o u s p o u v o n s t i r e r de ce t h é o r è m e la c o n s é q u e n c e s u i v a n t e :