Actions de groupes, sous-groupes de Sylow

Université Paris 7 - Denis Diderot Premier semestre 2006/07

UFR de Mathématiques M1 Maths-info - Algèbre

Feuille d’exercices n^o2

Actions de groupes, sous-groupes de Sylow

Exercice 1. Soit G un groupe. En considérant l’action de G sur lui-même par translation (à droite ou à gauche, comme on préfère), montrer queGest isomorphe à un sous-groupe deBij(G).

Exercice 2. SoitH un sous-groupe d’un groupeG. Décrire le plus grand sous-groupe deGdans lequelH est distingué. Décrire le plus grand sous-groupe deH distingué dansG.

Exercice 3. SoitGunp-groupe. Rappeler pourquoi son centre est non trivial. Montrer que siG est d’ordrep² alorsGest abélien.

Exercice 4. Dénombrer les sous-groupes de Sylow deS₃,S₄ etS₅.

Exercice 5. Soientpetqdeux nombres premiers distincts et tels quep6≡1 modqetq6≡1 modp.

En étudiant ses sous-groupes de Sylow, montrer que tout groupe d’ordrepqest isomorphe àZ/pqZ. Exercice 6. Soitpun nombre premier impair etGun groupe d’ordre2p. Le but de l’exercice est de montrer que Gest isomorphe à Z/2pZou au groupe diédralD_p. Pour celà, on suppose que G n’est pas isomorphe àZ/2pZ. Dénombrer, pour toutn≥1, les éléments d’ordrendansG. Sixet y sont des éléments deGd’ordre2 etprespectivement, quel est l’ordre dexy? Conclure.

Exercice 7. Décomposition d’Iwasawa. On noteH:={z ∈C:Im(z)>0} le demi-plan de Poincaré. On considère l’action du groupe SL₂(R)par homographies surHdéfinie par :

∀γ=

a b c d

, γ.z:= az+b cz+d

Quel le stabilisateur de i ∈ H? Quelle est l’orbite de i ∈ H sous le sous-groupe B(R) formé des matrices triangulaires supérieures de SL2(R)? En déduire la décomposition d’Iwasawa SL2(R) = B(R)SO2(R).

Exercice 8. Le groupe du cube.SoitGle groupe des isométries de l’espace préservant le cube.

Montrer que l’action de G sur les grandes diagonales du cube induit un morphismeα: G→S4. Vérifier que chaque transposition de S4 se relève en un élément de G. En déduire l’image deα.

Montrer que le noyau de αne contient que deux éléments. Rappel : toute isométrie de l’espace est une rotation, éventuellement composée avec la symétrie centrale par rapport à l’origine. Montrer qu’il existe un isomorphisme G'S4×Z/2Z. En utilisant l’action de Gsur les axes joignant les centres des faces opposées du cube, déterminer les 2-Sylow deG. Comment peut-on visualiser les 3-Sylow deG?

Exercice 9. Soit pun nombre premier et Gun sous-groupe de Sp qui agit transitivement sur {1,2,· · ·, p}. Montrer quepdivise l’ordre deG. En déduire queGcontient unp-cycle. Montrer que siGcontient une transposition, alorsG=Sp.

Exercice 10. Soitp un nombre premier et n ≥2 un entier. On note Fp le corps àp éléments Z/pZ.

1. Un exemple dep-Sylow deGLn(Fp).

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(a) Dénombrer les bases duFp-espace vectorielFⁿp; (b) En déduire que le groupeGL_n(Fp)est d’ordre

#GLn(Fp) =

n−1

Y

i=0

(pⁿ−pⁱ)

(c) Montrer que les matrices unipotentes triangulaires supérieures forment un p-Sylow du groupeGL_n(Fp). On noteraU⁺ ce p-Sylow.

2. Dénombrement desp-Sylow deGL_n(Fp). Un drapeau D= (D_i)ⁿ_i=0 deFⁿp est une suite D₀(D₁(· · ·(D_n

den+ 1sous-espaces vectoriels deFⁿp strictement ordonnée par inclusion.

(a) Montrer que pour un tel drapeau, on adim_FpD_i =i; (b) Montrer que le nombre de drapeaux de Fⁿp est égal àQn

i=1 pⁱ−1

p−1.

(c) À tout drapeau D, on associe le sous-groupe UD formé des éléments de GLn(Fp) qui induisent l’identité sur les espacesD0,D1/D0,· · ·,Dn/Dn−1. Si on note (ei)ⁿ_i=1 la base canonique deFⁿp, déterminer le sous-groupe associé au drapeau

0(Vect{e1}(Vect{e1, e₂}(· · ·(Vect{e1, e₂,· · ·, e_n}

(d) On définit de plus une action de GLn(Fp) sur l’ensemble des drapeaux de Fⁿp : si g ∈ GLn(Fp),g(D)est le drapeau

g(D0)(g(D1)(· · ·(g(Dn)

Montrer que cette action est transitive.

(e) Quel relation existe-t-il entreUD et Ug(D)?

(f) En déduire le normalisateur deU⁺ et le nombre dep-Sylow deGLn(Fp).

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