UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2009-2010.
LM 371. 5 janvier 2010. Dur´ee: 2h
Les documents, livres, notes, cours polycopi´es, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits. Soyez concis !
Il n’est pas n´ecessaire de r´epondre `a toutes les questions pour obtenir la note maximale.
Exercice 1.
1) D´ecrivez les ´el´ements d’ordre n de S5, pour n≤6.
2) D´ecrivez les 5-sous-groupes de Sylow de S5. Quel est le nombre de 5-sous-groupes de Sylow de S5 ?
3) D´ecrivez les 3-sous-groupes de Sylow de S5. Quel est le nombre de 3-sous-groupes de Sylow de S5 ?
4) Donnez un 2-sous-groupe de Sylow deS5. Exercice 2.
Pour tout groupe commutatifGde cardinal 1000, on note G10 l’ensemble des ´el´ements de G d’ordre divisant 10.
1) Montrez que l’ensemble G10 est un sous-groupe deG.
2) D´ecrivez tous les groupes commutatifs de cardinal 1000, `a isomorphisme pr`es.
3) D´ecrivez, dans chaque cas, le sous-groupe G10.
4) Si G et G0 sont deux groupes commutatifs de cardinal 1000, montrez que G ' G0 si et seulement si les groupesG10 etG010 ont le mˆeme cardinal.
Exercice 3.
SoitGun groupe de cardinal 90. On se propose de montrer queGn’est pas simple (autrement dit qu’il a un sous-groupe distingu´e diff´erent de {e} et de G).
On suppose que Gest simple et on cherche une contradiction.
1) En utilisant queGest simple, expliquez pourquoi le nombrenp dep-sous-groupes de Sylow deG (pour p= 2,3,5) n’est jamais 1. Calculezn3 etn5.
3) SoientHetH0 deux 3-sous-groupes de Sylow distincts. On veut montrer queH∩H0 ={e}.
Supposons qu’il existeh∈H∩H0 tel que h6=e.
Consid´erons le sous-groupe C(h) ={g ∈G tels que ghg−1 =h}.
- Montrez que H, H0 ⊂ C(h) (on admet qu’un groupe de cardinal 9 = 32 est commutatif).
En deduire que le cardinal de C(h) est 18,45 ou 90.
- Montrez qu’un groupe de cardinal 18 ou 45 poss`ede un unique sous-groupe de cardinal 9.
- Montrez que si C(h) =G, alors G n’est pas simple.
- En d´eduire que H∩H0 ={e}.
4) Quel est alors le nombre d’´el´ements g tels que g9 =e ? 5) Calculez alors le nombre d’´el´ements de Gdont l’ordre est 5.
6) En d´eduire qu’un groupe de cardinal 90 n’est pas simple.
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