NOM : Pr´enom : Groupe : Sup Galil´ee - Universit´e Paris 13 Lundi 19 octobre 2015 Contrˆole continu de Math´ematiques pour Ing´enieur Dur´ee

NOM : Pr´enom : Groupe :

Sup Galil´ee - Universit´e Paris 13 Lundi 19 octobre 2015

Contrˆole continu de Math´ematiques pour Ing´enieur Dur´ee1 heure. Sujet de4 exerciceset 4 pages.

Les documents, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits.

Exercice 1. On pose, pour toutn∈N,un= (−1 +√ 3)ⁿ. 1. D´eterminer pour quelsn∈Non a _u¹

n ∈R⁺.

2. D´eterminer l’ensemble des nombres complexeszqui sont `a ´egale distance de tous lesu<sub>n</sub>. 3. D´eterminer l’ensemble des nombres complexeszqui sont `a ´egale distance de tous les ^u_2nⁿ.

1

Exercice 2. D´eterminer la nature des s´eries dont les termes g´en´eraux sont les suivants :

a) un=

n n+1

ⁿ²

. b) un= _ncos¹2n. c) un= _n+2^1√_n. d) un=e− 1 + ¹_nn

.

2

Exercice 3. Consid´erons une fonction f : R→ R dont le graphe passe par les pointsP0 = (0,3), P1 = (2,−1) et P2= (5,8).

1. D´eterminer la forme de Newton du polynˆome d’interpolation Π1f co¨ıncidant avecf aux pointsP0et P1. 2. D´eterminer la forme de Newton du polynˆome d’interpolation Π2f co¨ıncidant avecf aux pointsP0, P1 etP2. 3. Donner une approximation def(3) `a l’aide de Π2f.

4. On suppose quef est de classeC³et qu’il existe une constanteM >0 telle que, pour toutx∈R,|f⁽³⁾(x)| ≤M. Donner une majoration de l’erreur d’interpolationE2(3).

3

Exercice 4. On pose, pour toutn∈N,un=Pn

k=1sin(_n^k2) sin(^k_n) etvn=Pn k=1

k

n²sin(^k_n).

1. Montrer que la suite (vn) est convergente et calculer sa limite.

2. Montrer que, pour toutn≥1 et pour toutk∈[|1, n|], on a

|sin( k n²)− k

n²| ≤ k² 2n⁴

3. Montrer que la suite (un−vn) converge vers 0.

4. En d´eduire que la suite (un) converge et donner sa limite.

4