Universit´e de Bourgogne Ann´ee 2015-2016
Math32 : Contrˆ ole continu
Jeudi 22 octobre - Dur´ee 1h30
Questions de cours. ( 5,5 points)
Soit f un endomorphisme de E =Rn. SoitA la matrice def dans la base canonique. On note Eλ le noyau def−λidE o`uλ est un nombre r´eel. On note χle polynˆome caract´eristique def.
1. Montrer que λ est une valeur propre de f si et seulement si χ(λ)=0.
2. Donner le lien entre la dimension de Eλ et le rang de A− λI. D´emontrer le r´esultat annonc´e.
Pour la suite on suppose n= 4 et χ(X) = (X−3)2(X−4)2.
3. D´emontrer que A est diagonalisable si et seulement si dimE3 =dimE4 = 2.
4. Donner un exemple o`u A n’est pas diagonalisable. D´emontrer le r´esultat annonc´e.
Exercice 1 ( 3 points)
Soit f etg deux applications lin´eaires deE =Rndans R. Soitϕl’application qui `a un vecteur u deRn associe le nombre r´eel ϕ(u) =f(u)g(u).
1. SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deEtels queF∪Gest un sous-espace vectoriel.
Indiquer le lien entre F etG. (On ne demande pas de d´emontrer le r´esultat).
2. Montrer que ϕ= 0 si et seulement si f = 0 oug = 0.
(On pourra ´eventuellement prendre pourF le noyau de f et pour Gle noyau de g.) Exercice 2 ( 6 points)
Soit A la matrice
1 1 1 0 1 0 0 0 2
.
1. D´eterminer les valeurs propres de A.
2. Montrer que A n’ est pas diagonalisable.
3. Soit n >0. Montrer que An est de la forme
1 an bn
0 1 0
0 0 2n
.
et donner une relation entre an et an+1 ainsi qu’entrebn etbn+1. 4. Calculer An en fonction den.
1
Exercice 3 ( 3 points)
Soit A une matrice antisym´etrique r´eelle d’ordre n c’est-`a-dire une matrice telle que tA=−A.
1. D´eterminer une relation entre χA(−X) et χA(X).
2. En d´eduire la parit´e de χen fonction de la parit´e de n Exercice 4 ( 4 points)
Soit E = R3[X]. Soient ϕ1, ϕ2, ϕ3 et ϕ4 les applications lin´eaires de E dans R d´efinies par ϕ1(P) = P(0), ϕ2(P) =P(1), ϕ3(P) = P0(0) etϕ4(P) =P0(1)
1. Montrer que ˜B= (ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4) est une base du duale de E.
2. D´eterminer B= (P1, P2, P3, P4) telle que c’est une base deE et telle que la base duale de B est ˜B.
2
