Math32 : Contrˆole terminal Mercredi 14 d´ecembre - Dur´ee 2h00

Universit´e de Bourgogne Ann´ee 2016-2017

Math32 : Contrˆ ole terminal

Mercredi 14 d´ecembre - Dur´ee 2h00

Questions de cours. (4 points)

Soit E un espace vectoriel sur R et soit u un endomorphisme de E. Soient P et Q deux polynˆomes deR[X] premiers entre eux. D´emontrer que

Ker P Q(u) = Ker P(u)⊕Ker Q(u).

Exercice 1 ( 7,5 points)

Soit f l’endomorphisme de R³ dont la matrice estA d´efinie par

A=





2 2 2 0 4 0 0 2 2



.

1. Calculer le polynˆome caract´eristique et le polynˆome minimal de A.

2. En d´eduire queAest trigonalisable mais qu’elle n’est pas diagonlisable et que son spectre est{2,4}.

Pour la suite on note Π₂ et Π₄ les projecteurs spectraux correspondants. Notons aussi par Q₂ etQ₄ les polynˆomes

Q₂(X) = χ_A(X)

(2−X)² et Q₄(X) = χ_A(X) (4−X)¹

3. Montrer que Q₂ et Q₄ sont premiers entre eux et d´eterminer un couple de polynˆomes (U₂, U₄) tels que

U₂Q₂+U₄Q₄ = 1.

4. Calculer les matrices de U2(f)◦Q2(f) et de U4(f)◦Q4(f).

5. Indiquer le lien entre les matrices pr´ec´edentes et les projecteurs spectraux Π₂ et Π₄. 6. Calculer les matrices de d= 2.Π₂+ 4.Π₄ et de n =f −d.

7. V´erifier que c’est bien la d´ecomposition de Dunford de f. 8. Soit n∈N. Calculer Aⁿ.

1

Exercice 2 ( 5 points)

Soit E = R2[X], l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. Soient P₀, P₁ etP₂ les polynˆomes d´efinis par

P₀(X) = 1, P₁(X) = X, et, P₂(X) =X(X−1).

Soient ϕ₀,ϕ₁ etϕ₂ les formes lin´eaires sur E d´efinies pour i= 0 ou 1 ou 2 par ϕi(P) =P(i),

pour tout polynˆome P.

1. Montrer que B= (P₀, P₁, P₂) forme une base deE.

2. Montrer que Be= (ϕ₀, ϕ₁, ϕ₂) est une base de E^∗ (le dual de E).

Posons maintenant B^∗ = (P₀^∗, P₁^∗, P₂^∗) la base duale de B.

3. Calculer P₂^∗ dans la base B.e

4. Calculer de mˆeme P₁^∗ etP₀^∗ dans la base B.e

Exercice 3 ( 5 points)

Soit E un espace de dimension n surR. Soit f un endomorphisme de E. Pour tout vecteur u deE on d´efinit l’ensemble Iu par

I_u ={P ∈R[X]tel que P(f)(u) = 0}.

1. Soit u∈ E, montrer que I_u est un id´eal de R[X]. On note pour la suite P_u le polynˆome ayant un coefficient dominant ´egal `a 1 et tel que

Iu =Pu ·R[X].

2. Soit λ une valeur propre de f et soit uλ un vecteur propre associ´ee `a celle-ci. Montrer que P_uλ =X−λ.

3. Supposons maintenant que 2 et 3 soient des valeurs propres de f et posons v =u₂ +u₃ o`uu2, respectivement u3, est un vecteur propre associ´e `a 2, respectivement 3.

(a) Montrer que le polynˆome Q= (X−2)(X−3) est un ´el´ement deIv. (b) Montrer que P_v =Q.

2