PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE1
Exercice 1 - Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigo
Compléter les graduations -en radian- sur les cercles trigonométriques en "tournant" dans le sens de la flèche et en partant des valeurs déjà marquées :
+
x y
0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦
180◦
210◦
240◦
270◦ 300◦ 330◦
3600◦◦ 45◦ 90◦ 135◦
180◦
225◦ 270◦
315◦
360◦ 0
π 6
+
x y
0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦
180◦
210◦
240◦
270◦ 300◦ 330◦
3600◦◦ 45◦ 90◦ 135◦
180◦
225◦ 270◦
315◦
360◦ 2π
13π 6
-
x y
0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦
180◦
210◦
240◦
270◦ 300◦ 330◦
3600◦◦ 45◦ 90◦ 135◦
180◦
225◦ 270◦
315◦
360◦ 0
−π 6
-
x y
0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦
180◦
210◦
240◦
270◦ 300◦ 330◦
3600◦◦ 45◦ 90◦ 135◦
180◦
225◦ 270◦
315◦
360◦ −4π
−25π 6
Exercice 2 - Mesures d’angles géométriques en radian
ABCD est un carré ; AEB un triangle équilatéral ; PQRST un pentagone régulier de centre O.
Indiquer sur les schémas - après calcul - une mesure en radian des angles géométriques marqués.
A B C
E
D
H
P Q
R S
T
O
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE2
Exercice 3 - Mesure principale
Placer autour des cercles trigonométriques les nombres du tableau, puis pour chaque valeur indiquer lamesure principaleen complétant la deuxième ligne.
La mesure principale d’un angle est l’unique mesure - en radian - comprise dans l’intervalle −π; π
+
x y
mesure d’angle
5π 11π 4
10π 3
29π 6
9π 2
7π 3
11π 3
mesure prin- cipale
-
x y
mesure d’angle
−13π 2 −11π
3 −23π 6 −13π
4 −40π −11π 2
mesure prin- cipale
Exercice 4
Déterminer l’ensemble des réels de
−π;π
puis de 0 ; 2π
dont les images forment l’arc épais (extrémités comprises) :
+
x y
A B C J D E F
G
H K
L M
N P
Q I
+
x y
A B C J D E F
G
H K
L M
N P
Q I
+
x y
A B C J D E F
G
H K
L M
N P
Q I
+
x y
A B C J D E F
G
H Q
I
+
x y
A B C J D E F
G
H Q
I
+
x y
A B C J D E F
G
H Q
I
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE3
Exercice 5 - L’horloge trigonométrique (1)
Sur chaque "horloge" donner la mesure principale de l’angle orienté → u,→v
.
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2 3π 3
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4
−2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→v
→
u,→v
=. . .
+
x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2
3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u →v
→
u,→v
=. . .
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2 3π 3
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4
−2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→v
→
u,→v
=. . .
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2 3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→v
→
u,→v
=. . .
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2
3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→v
→
u,→v
=. . .
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2
3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→v
→
u,→v
=. . .
Exercice 6 - Angles orientés de vecteurs
+
A B
C
D E
Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle équi- latéral direct, ACE et BDC sont rectangles et iso- cèles directs.
Donner les mesures principales de :
−→
AC,
−→
AE
=. . .
−→
CD,
−→
CA
=. . .
−→
CD,CE−→
=. . .
−→
BD,
−→
AB
=. . .
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE4
Exercice 7 - L’horloge trigonométrique (2)
Sur chaque "horloge" tracer le vecteur
→
V connaissant la mesure principale de l’angle orienté
→
u,→v
donnée en dessous.
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2 3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→
u,→v
=2π 3
+
x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2
3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4
−2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→
u,→v
=−π 2
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2
3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→
u,→v
= 3π 4
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2 3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→
u,→v
=2π 3
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2
3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→
u,→v
=5π 6
+
- x y
π 6 π 4 π 3 π 2π 2
3 3π
4 5π
6
π
−5π 6
−3π 4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6 0
→u
→
u,→v
= −π 2
Exercice 8 - Angles orientés de vecteurs
+
A B
F
C D
E
ABCD est un carré direct (c’est à dire que
−→
AB,AD−→
a pour mesure principale π
2), ABF et CBE sont équilatéraux et directs (c’est à dire que
−→
AB,−→AF
et
−→
CB,−→CE
ont pour mesure principale π
3).
1) Donner une mesure de l’angle DFA en ra-[ dians et en déduire par lecture graphique une mesure de
−→
FD,
−→
FA
.
2) Déterminer de même une mesure de l’angle BFE puis une mesure de l’angle orienté[
−→
FD,
−→
FE
.
Que peut-on en déduire pour les points D, E et F ?
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE5
Exercice 9 - Angles orientés de vecteurs
+
A B
C
D E
ABC est un triangle équi- latéral et ABDE est un carré. Compléter par la mesure principale en radian :
−→
AB,AC−→
=. . .
−→
AB,
−→
AE
=. . .
−→
AC,
−→
AE
=. . .
−→
BC,
−→
BD
=. . .
+
O
F
A E
B D
C
ABCDEF est un hexa- gone régulier de centre O.
Compléter par lamesure principaleen radian :
−→
FA,
−→
OC
=. . .
−→
OC,ED−→
=. . .
−→
FA,
−→
CB
=. . .
−→
ED,
−→
CB
=. . .
+
A B
C D
E
ABCD est un carré et DBE un triangle équilaté- ral. Compléter par lame- sure principale en ra- dian :
−→
AD,
−→
DB
=. . .
−→
AD,
−→
BE
=. . .
−→
BE,ED−→
=. . .
−→
ED,
−→
DB
=. . .
Exercice 10 - Cosinus et sinus (1)
+
-
cosinus x
sinus
y
π 6 π 4 π 3 π
2π 2 3π 3
4 5π
6
π
−5π 6
−3π
4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6
0
Compléter le graphique par les va- leurs manquantes puis compléter les tableaux :
mesure d’angle
0 π
6 π 4
π 3
π 2
cosinus
sinus
mesure d’angle
2π 3
3π 4
5π
6 π
cosinus
sinus
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE6
Exercice 11 - Cosinus et sinus (2)
+
-
cosinus x
sinus
y
π 6 π 4 π 3 π
2π 2 3π 3
4 5π
6
π
−5π 6
−3π
4 −2π
3 −π
2
−π 3
−π 4
−π 6
0
√3 2
√2 2 1 2
Compléter le graphique par les va- leurs manquantes puis compléter les tableaux :
mesure d’angle
7π 6
8π 3
7π 4
9π
2 17π
cosinus
sinus
mesure d’angle
−7π 4
−3π 2
−13π
6 −16π −11π
3
cosinus
sinus
Exercice 12 - Équations trigonométriques (1)
Indiquer sur les différents schémas les réelstde
−π;π
tels que : cost=
√3 2
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
sint=−1 2
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
cost= −√ 2 2
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
Exercice 13
1) Vérifier que 5π 12 =π
4 +π 6. 2) En déduire cos
5π
12
et sin
5π
12
. 3) Calculer ensuite cos
11π
12
et sin
11π
12
.
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE7
Exercice 15 - Équations trigonométriques (2)
Indiquer sur les différents schémas les réelstde
−π;π
tels que : sint= 0
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
cost=−1 2
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
sint= sin
5π
6
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
Exercice 16 - Équations trigonométriques (3)
Indiquer sur les différents schémas les réelstde
−π;π
tels que : sint=−1
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
cost=−
√3 2
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
cost= cosπ 2
+
cosinus x
sinus
y
√ 3 2
√ 2 2 1 2
Exercice 17
1) Poura= π
8, quelle est la valeur de cos(2a) ?
2) En déduire à l’aide des formules de duplication les valeurs exactes de cosπ 8
et sinπ 8
.
Exercice 18
1) Transformer cos t−π
4
et sin t−π
4
. 2) Résoudre dansRles équations :
a) cost+ sint=√ 2 b) cost−sint=√
2
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE8
Exercice 19
α β
A B C D
E F
G H
On juxtapose 3 carrés de côté 1 comme sur la figure ci-contre.
1) Calculer cosαcosβ−sinαsinβ.
2) Qu’en déduit-on pour α+β?
Exercice 20
a
h
O O0 A0
A
θ
0θ
On souhaite déterminer l’altitude d’un point A par rapport au sol. On choisit deux lieux d’observation O et O’ et on mesure les anglesθ et θ0 par rapport à la verticale à l’aide de repère astrono- miques.
On noteh = AA0 l’altitude de A, a= OO0,d= OA etd0= O0A.
1) Démontrer que h = dcos θ = d0 cos θ 0 et que dsinθ = a + d0 sin θ0.
2) Exprimerd0 en fonction ded,θet θ0.
3) En déduire que h= acosθcosθ0 sin(θ−θ0) .
Exercice 21
+
B C
A
E D
ABC est un triangle équilatéral direct.
Les triangles DBA et ACE sont rec- tangles isocèles directs.
1) Donner la mesure principale de
−→
AB,
−→
AC
et
−→
AC,
−→
AE
. 2) Montrer que DAB[ = 5π
12 et donner les mesures de l’angle
−→
AD,
−→
AB
.
3) En déduire une mesure de l’angle
−→
AD,
−→
AE
.
4) Que peut-on dire pour les points D, A et E ?
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.8:TRIGONOMÉTRIEFICHE9
Exercice 22
+
A B
C D
M
N I
ABCD est un carré, M et N sont deux points de [AB]
et [AD] respectivement tels que AM = AN.
1) Déterminer la longueur de AM pour que CMN soit équilatéral.
2) En déduire les valeurs exactes de tanπ 12
, cosπ
12
et cos
5π
12
.
