Première S Exemple de corrigé du DM8. Page n ° 1 2007 2008
E1
1. x = 2003
6 × π = 20046 × π − π6 = 334 π − π
6 = − π
6 + 167 ×2π.
Donc la mesure principale de l'angle x est − π 6 .
x ' = 2009
6 × π = 20036 × π + 66 π = 334 π − π
6 + π = 334 π + 5π6
autre façon x ' = 2009
6 × π = 20046 × π + 56 × π = 334 π + 5π 6 Donc la mesure principale de x ' est égale à 5π
6 .
2. cos ( x ) = cos ( − π
6 ) = cos ( π 6 ) = 3
2 sin ( x ) = sin ( - π
6 ) = − sin ( π
6 ) = − 1 2 . cos ( x ' ) = cos ( 5π
6 ) = cos ( π − π
6 ) = − cos ( π
6 ) = − 3 2 sin ( x ' ) = sin ( 5π
6 ) = sin ( π − π6 ) = sin ( π 6 ) = 1
2 .
Première S Exemple de corrigé du DM8. Page n ° 2 2007 2008
E2
1. Voir ci-contre.
2. OABC est un carré donc OA = OC donc le rayon OC = 2.
( ÄOI , ÄOC ) = ( ÄOI , ÄOA ) + ( ÄOA , ÄOC ) = π
3 − π2 = − π 6 . Donc les coordonnées polaires du point C sont [ 2 ; − π
6 ].
Ses coordonnées cartésiennes sont données par les formules xC = r cos a = 2 × cos ( − π
6 ) = 2 × 3 2 = 3 yC = r sin a = 2 × sin ( − π
6 ) = 2 × ( − 1
2 ) = − 1.
Donc les coordonnées cartésiennes du point C sont ( 3 ; − 1 ).
3. Les coordonnées cartésiennes de A sont données par : xA = 2 × cos ( π
3 ) = 2 × 1 2 = 1 et yA = 2 sin ( π
3 ) = 2 × 3 2 = 3.
Les coordonnées cartésiennes du point A sont ( 1 ; 3 ).
Pour calculer les coordonnées cartésiennes de B, utilisons l'égalité des vecteurs.
ÄCB = ÄOA ⇔ xB − 3 = 1 − 0 et yB − ( - 1 ) = 3 − 0 ⇔ xB = 1 + 3 et yB = 3 − 1 Ainsi les coordonnées cartésiennes du point B sont ( 3 + 1 ; 3 − 1 ).
Autre méthode : ÄOB = ÄOA + ÄOC donc xB = xA + xC = 1 + 3 et yB = yA + yC = 3 − 1.
4. a ) Pour calculer les coordonnées polaires de B, utilisons les formules r² = OB² = ( 3 + 1 )² + ( 3 − 1 )² = 3 + 1 + 2 3 + 3 + 1 − 2 3 = 8.
Donc r = 8.
Autre méthode : OAB est un triangle rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, OB² = OA² + AB² = 4 + 4 = 8.
( ÄOI , ÄOB ) = ( ÄOI , ÄOA ) + ( ÄOA , ÄOB ) = π
3 − π4 = π 12 Donc les coordonnées polaires de B sont [ 8 ; π
12 ].
b ) Or les coordonnées polaires sont aussi données par les formules cos a = x
r et sin a = y r .
Donc cos ( π 12 ) =
8 3+1 × 2
2 = 4 6+ 2
Et sin ( π 12 ) =
8 3−1 ×
2
2 = 4 6− 2
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E3 1d. 2d. 3c. 4d.
Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1. Soit l'angle orienté α = - π
7 . Une autre valeur de cet angle orienté est :
a. α = − 12π7 = − 14π7 + 2π7 = −2π + 2π7 = 2π7 [ 2π ] b. α = − 13π7 = − 14π
7 + π7 = − 2π + π
7 = π7 [ 2π ]
c. α = − 14π7 = − 2π + 0 = 0 [ 2π ]
d. α = − 15π7 = − 14π7 − π7 = − 2π − π
7 = − π7 [ 2π ] 2. Les vecteurs Åu et Åv non nuls sont tels que ( Åu , Åv ) = - π
7 + k2π ( k ∈ ).
La mesure principale de ( Åu , - Åv ) est :
( Åu , − Åv ) = ( Åu , Åv ) + ( Åv , − Åv ) = − π7 + π = 6π 7
a. − 6π7 b. − 19π14
c. 20π
7 d. 6π
7
3. Les vecteurs Åu ; Åv ; et Åw non nuls sont tels que ( Åu , Åv ) = - π
7 + 2kπ ( k ∈ ) et ( Åv ; Åw ) = 23π
14 + 2kπ ( k ∈ ) Alors les vecteurs Åu et Åw sont :
( Åu , w ) = ( Å Åu , Åv ) + ( Åv , Åw ) = − π7 + 23π
14 = − 2π14 + 23π14 = 21π14 = 3π2
a. colinéaires et de même sens. b. colinéaires et de sens contraires.
c. orthogonaux d. égaux.
4. cos ( −π
7 ) + cos ( π
7 ) = cos ( π
7 ) + cos ( π
7 ) = 2 cos ( π 7 )
a. 0 b. cos 0
c. cos ( 2π
7 ) d. 2 cos ( π 7 ).
