b) Filtre passe bas du second ordre : généralisation
La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du second ordre peut s’écrire sous la forme : H(jx) = H0
1−x2+jQx
H0 ∈R, gain "statique", représente le rapport de la tension de sortie sur la tension d’entrée en régime stationnaire (x= 0).
On en déduit les valeurs du gain G=|H|et ϕ= arg(H) : G= |H0|
q
(1−x2)2+ Qx22
ϕ= arg(H0)−arg(1−x2+jx Q) soitα= arg( 1−x2
| {z }
>0ou<0
+j x Q
|{z}>0
). On en déduitα∈[0, π]. On peut alors utiliser la fonctionarccos pour exprimer ϕ:
ϕ= arg(H0)−arccos
1−x2 q
(1−x2)2+Qx22
avec arg(H0) = 0 pourH0 >0 et arg(H0) =π pourH0 <0.
c) diagramme de Bode asymptotique
On détermine tout d’abord les expressions approchées de H, suivant les différents domaines de fréquence :
x1 H(jx)'H0
x= 1 H(jx) = H0Q j x1 H(jx)' H0
−x2
On en déduit les expressions approchées – du gain G=|H| :
x1 G=|H0| GdB= 20 log|H0| x= 1 G=|H0|Q GdB = 20 log|H0|+ 20 logQ x1 G' |H0|
x2 GdB= 20 log|H0| −40 logx droite de pente −40dB/dec
1
– de la phaseϕ, en se plaçant dans le cas où H0 >0 :
x1 ϕ= arg(H0) = 0 (pour H0 >0)
x= 1 ϕ= arg
H0Q j
=−π
2 (pour H0 >0) x1 ϕ= arg
H0
−x2
=−π (pour H0 >0)
d) Courbes (pour H0 = 1)
10-2 10-1 100 101 102x
-80 -60 -40 -20 0 20 G(dB)
Q =10
Q =0.1 Q =1
-40dB/dec
10-2 10-1 100 101 102x
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 ϕ(rad)
Q =10
Q =1
Q =0.1
2
. On peut montrer1 que pour Q > 1/√
2 il existe une résonance pour xr =q
1− 2Q12. Pour Q ≥ 5, xr ' 1 et la valeur maximale du gain vaut quasiment Q|H0|. Q représente ainsi la surtension à la résonance.
On observe une bonne adéquation entre la courbe et les asymptotes pour 1/√
2 < Q < √ 2 (facteur de qualité proche de 1).
. Le saut angulaire a une amplitude de π (contre π/2 pour un filtre du premier ordre). Le passage de 0 à −π est d’autant plus marqué que le facteur de qualité est élevé. Quel que soit le facteur de qualité, ϕ =−π/2 pour ω =ω02.
. Dans le domaine des fréquences coupées, pour x 1 (ω ω0), la pente est plus élevée (−40dB/dec au lieu de−20dB/dec) : les hautes fréquences seront plus efficacement coupées.
1. même démonstration que dans le chapitre précédent sur la réponse aux bornes du condensateur dans un RLC série en régime sinusoïdal permanent
2. On suppose toujoursH0>0
3
