CHAPITRE I
LES LOIS DE KIRSHHOFF EN RÉGIME SINUSOÏDAL
Le courant alternatif est largement utilisé dans divers domaines de l’électrotechnique. Presque dans tous les cas, l’énergie électrique est produite, distribuée et consommée sous forme d’énergie à courant sinusoïdal.
Même si à l’heure actuelle les progrès réalisés en électronique de puissance permettent de plus en plus l’utilisation du transport en courant continu, l’énergie est distribuée principalement sous forme de courant alternatif.
Ceci s’explique par le fait que le courant alternatif permet très facilement la transformation d’une tension élevée en une basse tension et inversement (voir transformateurs). Ce procédé de transformation est en effet indispensable pour le transport de l’énergie à partir de la centrale jusqu’au consommateur.
Ce chapitre a donc pour objectif de rappeler certaines notions élémentaires traitant des circuits simples à courant alternatif (monophasés).
Rappelons que les lois de Kirchhoff (loi des mailles & loi des nœuds) sont les lois fondamentales qui régissent le fonctionnement de tout circuit électrique. Appliquées aux circuits à courant continu, elles offrent la possibilité de calculer les différences de potentiel et courants, même dans les circuits les plus complexes.
Elles demeurent valables en régime sinusoïdal à chaque instant et il est donc possible d’écrire les équations en valeurs instantanées et de résoudre les différents problèmes d’électrocinétique en tenant compte des régimes transitoires.
Cependant, si seul le régime permanent nous intéresse, on peut simplifier les équations en introduisant le concept de vecteur tournant, puis de valeur complexe équivalente. Les équations en sont grandement simplifiées et répondent parfaitement à notre besoin.
On applique alors les lois de Kirchhoff de la même façon que pour un circuit continu, en introduisant la notion d’impédance complexe, qui impose le déphasage entre courant–tension et dont il faut tenir compte dans chaque branche d’un circuit.
En résumé, ce chapitre a pour objectif de familiariser l’étudiant avec la notation complexe indispensable à la résolution des calculs des réseaux monophasés
I- Introduction
Avant d’aborder le régime sinusoïdal, rappelons certaines règles de base à propos des circuits électriques. Dans le domaine du courant continu, on a le plus souvent affaire à des sources continues (batteries) qui délivrent une tension constante et les récepteurs sont généralement constitués de résistances.
Toutefois, dans le domaine du courant variable (et sinusoïdal en particulier), on peut aussi avoir affaire, en plus des résistances, à des condensateurs et des bobines qui ne sont capables de produire un effet électrique que si, justement, le régime est variable.
1) Règles de fléchage en régime continu
Dans le domaine du régime continu, le courant dans le schéma d'un circuit électrique est représenté par une flèche. Mais le sens de déplacement effectif des électrons est l'opposé du sens positif du courant :
Remarque : si après calcul dans une branche quelconque, on trouve un signe négatif de la valeur de I, cela signifie que le sens réel du courant est inversé par rapport à celui choisi arbitrairement au départ.
De même, on représente une tension par une flèche à proximité de l’élément considéré, comme sur les schémas suivants (on remarque dans le cas (1) que les flèches courant-tension sont dans le sens inverse: il s’agit de la convention récepteur, à l’inverse du cas (2) où on parle de convention générateur) :
(1) convention récepteur (2) convention générateur (Par exemple une résistance) (Par exemple une batterie d’accumulateur) En général, on oriente la « flèche » vers le potentiel le plus élevé (par exemple, pour une batterie la flèche est orientée vers la borne +) mais si on ignore les valeurs des potentiels, on donne un sens arbitraire à la ddp et si trouve après calcul queVAVB 0 cela signifie que le sens de la ddp est inversé.
Remarque : les éléments comportant une entrée et une sortie (A et B dans nos exemples sont appelés dipôles électriques.
2) Les lois de Kirchhoff
Loi des nœuds
Un nœud est un point de jonction de plusieurs conducteurs. Une des lois de Kirchhoff, appelée loi des nœuds stipule que :
« La somme des intensités des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des intensités des courants sortant du nœud. »
En d’autres termes on peut aussi exprimer la loi des nœuds de la façon qui suit :
« La somme algébrique des courants arrivant à un nœud est constamment nulle. »
n k k 1
I 0
Exemple :
On a dans ce cas :
1 2 3 4
I I I I 0
(ça prouve que forcément au moins un des courant est négatif).
Loi des mailles
Une maille est un ensemble de conducteurs et de composants électriques, partant d'un point, et arrivant à ce même point. La loi des mailles stipule que la somme algébrique des tensions le long de la maille est constamment nulle :
n k k 1
V 0
On choisit alors un sens arbitraire de parcours sur la maille et on exprime toutes les tensions en fonction de ce choix. Exemple :
On a dans ce cas :
1 2 3 4
V V V V 0
3) Comportement des dipôles électriques usuels en régime variable Remarque importante
Les fléchages sur les dipôles se font de la même façon que pour le régime continu (flèches courant- tension dans le même sens pour un générateur, et dans le sens contraire pour un récepteur).
La résistance
La résistance a la propriété d’avoir une réponse en courant i(t) proportionnelle à la tension appliquée v(t) à tout instant. Il s’agit de la loi d’Ohm établie en régime continu et qui peut être étendue au régime variable. On a donc :
v(t) R i(t) La bobine (ou inductance)
D’après la loi de Lenz, l’inductance (notée L) a la propriété de produire à ses bornes une tension proportionnelle à la dérivée du courant. D’une manière générale, la relation entre le courant et la tension est donnée par :
en général nul sauf dans certains cas
d(Li(t)) d i(t) d L
v(t) L i(t)
dt dt dt
Dans la plupart des cas (si L=const), la loi de Lenz se résume à:
d i(t) v(t) L
dt Remarque
D’après la relation obtenue, on note que si le courant est brutalement coupé par exemple (discontinuité du courant dans un temps très court), on aura :
0
0
di(t)
v(t) L v(t) dt
Cela correspondrait en théorie à une tension infinie. Mais cela signifie que pratiquement, une ouverture brutale d’un circuit inductif conduit à une surtension transitoire qui se manifeste par des étincelles plus ou moins dangereuses selon la puissance de la bobine considérée.
On dit que l’inductance ne supporte pas les coupures brutales du courant qui la traverse.
Par ailleurs, en régime continu, la bobine se comporte comme un circuit fermé : v(t) Ld 0
i(t)dt interrupteur fermé
La capacité
La relation entre la valeur instantanée du courant i(t) et la valeur de la capacité dans un tel circuit est donné par :
dq dv(t)
i(t) C
dt dt
Ainsi, la capacité est l’élément opposé de l’inductance : il suffit d’échanger les rôles de la tension et du courant. La capacité C correspond à une proportionnalité entre le courant et la dérivée de la tension.
Remarque
D’après la relation obtenue, on note que si la tension varie de façon brutale, par exemple (discontinuité de la tension dans un temps très court), on aura :
0
0
dv(t)
i(t) C i(t) dt
Cela correspondrait en théorie à un courant infini. Mais cela signifie que pratiquement, un changement brutal de la tension d’un circuit capacitif conduit à une surintensité ou pic de courant.
Par ailleurs, en régime continu, la capacité se comporte comme un circuit ouvert.
dv(t)
i(t) C 0
dt interrupteur ouvert
II-Représentation des grandeurs sinusoïdales : de la sinusoïde au nombre complexe Le régime sinusoïdal est un des régimes le plus usité dans le domaine de l’électrotechnique. Aussi, et afin de se ramener à une exploitation plus simple des équations électriques associées, des méthodes sont élaborées de façon à établir des équations similaires à ceux utilisées en régime continu.
Les mêmes règles sont maintenues, mis à part le fait qu’elles sont applicables à chaque instant.
Symboles conventionnels
Les valeurs instantanées sont représentées par une lettre minuscule, les valeurs efficaces par une lettres majuscule et les valeurs maximales par une lettre majuscule avec pour indice la lettre ‘m’.
1) Représentation instantanée des grandeurs sinusoïdales
Il s’agit d’exprimer la grandeur sinusoïdale sous sa forme analytique temporelle.
Soit une grandeur sinusoïdale g(t) de pulsation ( 2 f , f étant la fréquence de g(t)) qui s’exprime comme suit :
g(t) G sin( t m ) 2G sin( t )
g étant la valeur instantanée, Gm la valeur maximale, le déphasage par rapport à une origine choisie et G la valeur efficace de la grandeur considérée. Si on veut représenter la caractéristique g en fonction du temps, elle possède l’allure ci-contre.
Notons que la valeur maximale Gm et la valeur efficace G sont liées par la relation générale suivante:
T
2 2
m 0
G 1 G sin ( t
T
)dtDans le domaine électrique, la valeur efficace d’une tension alternative est égale à la valeur d’une tension continue qui produirait le même échauffement dans une même résistance. Dans le cas particulier du régime sinusoïdal, on trouve, naturellement:
Gm 2G 2) Représentation de Fresnel ou vectorielle
Dans les circuits à courant alternatif, les tensions et courants évoluent avec le temps de façon périodique. Selon la nature du circuit considéré (résistif, capacitif ou selfique), les courants et tensions présentent des déphasages distincts par rapport à une origine donnée. Aussi, la résolution analytique des équations électriques donnent souvent lieu à des calculs plus ou moins fastidieux.
Néanmoins, si on ne tient compte que du régime permanent, il est possible de représenter la sinusoïde par un vecteur tournant, puis aboutir à une représentation
complexe atemporelle de la grandeur où seule la valeur efficace et la phase à l’origine importent.
Cependant, pour bien comprendre comment on peut associer une grandeur sinusoïdale à un nombre complexe, il faut d’abord revenir au modèle de Fresnel.
En effet, supposons que, sur un repère orthonormé XOY (figure ci-contre), un vecteur g (t)m possède :
Un module égal à Gm
Un angle par rapport à l’origine à t=0
Si ce vecteur tourne dans le sens trigonométrique, à la vitesse égale à , on peut considérer que le vecteur
représente la grandeur g( , puisqu’il suffit de projeter ce dernier sur l’axe OY pour retrouver g( .
g (t)m t)
t) Remarques
Si g(t) s’exprime par un cosinus, il suffit de projeter g (t)m
sur l’axe OX pour retrouver la valeur de g(t). En réalité, exprimer g(t) par un cosinus ou un sinus n’a pas d’importance en électricité : seul le déphasage entre deux grandeurs électriques compte : il suffit alors de choisir une origine des phases (choix arbitraire) et d’exprimer toutes les autres grandeurs (courants, tensions) par rapport à cette origine.
Attention !
Il faut choisir une, et une seule origine des phases, sinon les déphasages peuvent ne plus avoir aucun sens.
3) Représentation complexe et temporelle des grandeurs sinusoïdales On sait qu’un vecteur peut être représenté
efficacement par un nombre complexe dont la partie réelle exprime la projection de ce vecteur sur l’axe des X et la partie imaginaire sur celui des Y (figure ci-contre). Ainsi on a l’équivalence :
m
g (t) m g(t) G cos( t ) jsin( t ) Bien entendu, on peut retrouver la valeur instantanée en prenant la partie imaginaire de , c’est à dire :
g(t)
g(t) m g(t)
4) Représentation complexe et atemporelle des grandeurs sinusoïdales
La manière la plus simple et la plus efficace de représenter g(t) est de l’associer à une grandeur complexe qui ne dépend plus du temps contrairement à la représentation instantanée g(t) . Bien entendu, ceci n’est possible que dans le contexte d’un régime
permanent, où on ne s’intéresse pas au régime transitoire : tous les courants et tensions sont donc supposées parfaitement sinusoïdaux
En effet, on peut très bien exprimer g( t)par G em j t , ce qui est le cas pour tous les courants et tensions d’un circuit quelconque. On peut donc dire que toutes les grandeurs s’expriment par :
j t j j t j
2 2 avec
g(t) e Ge
e G
G Ge
Finalement, on peut considérer que la nouvelle grandeur G (figure ci-contre) représente g(t) : il suffit pour revenir à la valeur instantanée d’écrire:2 j t
g(t) m e G Attention !
L’utilisation de la notation complexe non temporelle ne doit faire perdre de vue que le facteur temps est implicite dans les expressions complexes. Au cours d’une dérivation par rapport au temps, il faudra multiplier l’expression par j et au cours d’une intégration, il faudra diviser par j. En effet, toutes les grandeurs sinusoïdales s’expriment par : g(t) G e m j t on a par conséquent:
g(t) j g(t)t
et g(t)dt 1 g(t)
j
III- Représentation des courants et tensions dans les circuits élémentaires
Dans les exemples qui suivront, une application des nombres complexes aux circuits électriques est envisagée. Il s’agira de déterminer le courant absorbé par un circuit électrique alimenté par une source supposée parfaitement sinusoïdale.
Le régime permanent est supposé atteint et la tension appliquée est dans tous les cas étudiés donnée par :
j v
v(t) V 2 sin( t V) V V.e
On obtient alors un courant sinusoïdal noté j(t)qui s’exprime comme:
j J
j(t) J 2 sin( t
J) J J.e
On définit le déphasage entre la tension appliquée et le courant absorbé comme étant :
J V
1) Circuit purement résistif
Soit un circuit à résistance R, branché sous la tension sinusoïdale v(t). Suivant la loi d’Ohm, la tension appliquée à une résistance est déterminée à chaque instant par l’expression :
v(t) R j(t) Ce qui équivaut en complexe à :
J R V Par conséquent :
v J
j j
V V
J e J
R R
e
d’où :
J V
J V et
R On a donc :
J V 0
Les deux représentations, sur le plan des complexes puis graphique sont :
Courant et tension sont donc en phase (s’annulent en même temps et atteignent leurs valeurs extrêmes en même temps).
Il est par ailleurs important de souligner que ce résultat, prévisible, ne dépend pas de l’origine des phases choisie V.
Compléments
* Dans les cas réels, il ne faut pas oublier que la résistance peut varier, non seulement en fonction de la température, mais également en fonction de la fréquence de la tension appliquée.
En effet, en continu, le courant se répartit uniformément à travers toute la surface (section du conducteur), tandis qu’en alternatif, le courant tend à se ‘concentrer’ à la surface. C’est ce qu’on appelle l’effet de peau.
Ce phénomène a pour effet de réduire la section efficace et donc d’augmenter la résistance en alternatif. Pour la fréquence industrielle, ce phénomène est négligeable, sauf pour les très grosses sections. Mais celui-ci devient encore plus prépondérant pour les fréquences très élevées.
Notons également que les récepteurs possédant aux fréquences industrielles une résistance pratiquement pure sont les rhéostats, les lampes électriques, les appareils de chauffage et autres dispositifs similaires.
** On peut utiliser le concept de résistance pour exprimer un échauffement (pas nécessairement lié à l’effet Joule), une énergie mécanique ou autre phénomène physique
qui produirait le même effet énergétique que la ‘résistance équivalente’ qu’il est possible de lui associer. En effet, la plupart des machines électriques, même les plus complexes sont ramenées à des schémas équivalents comportant un ensemble de résistances, selfs ou capacités qui illustrent leur fonctionnement.
2) Circuit purement selfique (ou inductif)
Il n’existe pas dans la nature des circuits purement selfiques, d’autant plus que la self, ou bobine, constituée de spires de cuivre (ou de tout autre matériau conducteur possédant une résistivité non nulle) donne lieu à une propriété
résistive qui se superpose à l’effet inductif. L’étude d’un circuit à inductance pure est une hypothèse scientifique permettant de se faire une idée sur les propriétés d’une inductance dénuée de résistance interne. La variation du courant parcourant un circuit comportant une inductance L provoque l’apparition d’une fem d’auto-induction e(t), selon la loi de Lenz. Celle-ci est opposée à la variation du courant et s’exprime comme :
e (t) L j t
Par rapport à la tension d’alimentation, on peut donc établir que : v(t) e(t) L j
t
, Soit en complexe :
V j L J
Par conséquent :
v j J
j 2 j
V V
J e e
jL L
J e
D’où :
J V J V
J V et
L 2 2
Les deux représentations, sur le plan des complexes puis graphique sont :
D’après ce qui précède, on voit que le courant est en ‘retard’ par rapport à la tension (la tension atteint son extremum avant le courant).
De plus, le déphasage observé et exprimé en angle est exactement de 2.
Il faut noter par ailleurs que les angles doivent être pris ‘avec leurs signes’. Dans la représentation complexe (figure ci-dessus), on voit que
V est positif tandis que est négatif. Le déphasage ainsi défini devient égal à
J
2.Compléments
* Il ne faut pas perdre de vue qu’une bobine ‘pure’ n’existe pas, d’une part parce qu’elle possède un enroulement de cuivre (voir plus haut) mais elle peut aussi comporter un noyau ferromagnétique qui donne lieu à un échauffement relativement important. Cet échauffement sera encore plus intense si la fréquence est élevée. Le schéma réel d’une self est donc forcément plus complexe qu’il n y parait.
** En électronique, les selfs peuvent être très efficaces pour présenter un barrage aux courants de hautes fréquences : on dit qu’elles servent de filtres au courant HF.
*** Une self peut illustrer des ‘chutes inductives’ qui se produisent dans les lignes ou dans les machines électriques. Les fuites magnétiques dans les appareils seront alors représentées par des ‘selfs équivalentes’.
3) Circuit purement capacitif
Dans un circuit comportant une capacité C branchée sous une tension variable, il y a déplacement permanent des charges électriques. Lorsque la tension augmente, la capacité se
‘charge’ et lorsque la tension diminue, elle se ‘décharge’, etc.
On a à chaque instant :
dt Cdv dt j dq
Par conséquent, en complexe :
v j J
j 2 j
J VjC VC e e Je
D’où :
J V J V
J VC et
2 2
Les deux représentations, sur le plan des complexes puis graphique sont :
D’après ce qui précède, on voit que, à l’inverse de la self pure, le courant est en ‘avance’
par rapport à la tension (la tension atteint son extremum après le courant). Le déphasage observé est exactement de
2
. Dans la représentation complexe (figure ci-dessus), on voit que
Vet
J sont tous deux positifs.Le déphasage ainsi défini devient égal à
2
. Compléments* La capacité, de la même manière que la self n’est en réalité jamais parfaite. Des pertes par échauffement ont toujours lieu à l’intérieur même du diélectrique composant le condensateur. Ces pertes peuvent être dues, non seulement à la propre résistivité de l’isolant (un isolant n’est jamais parfait), mais également à un autre phénomène électrique : ‘les pertes diélectriques’. Celles-ci apparaissent uniquement lorsque le courant est sinusoïdal et augmentent avec la fréquence.
En effet, il faut imaginer que l’isolant constituant le condensateur, est sans cesse sollicité par un champ variable : la capacité se charge, se décharge, se recharge, etc. Cette contrainte oblige les molécules de l’isolant à effectuer des mouvements de rotations vibratoires, étant une fois attirées vers une armature puis vers l’autre.
Toute cette agitation favorise un échauffement de l’isolement. Le schéma équivalent d’une capacité réelle devient alors beaucoup plus compliqué !
*** Une capacité peut illustrer de manière efficace l’influence électrique entre deux conducteurs quelconques : influence d’une ligne par rapport à la terre, par rapport au pylône, influence de chaque câble par rapport à l’autre dans une ligne aérienne ou souterraine, influence d‘une carcasse métallique d’une machine par rapport au fils d’alimentation, influence de la même carcasse par rapport au sol, etc.
Remarque
En électronique, pour les très hautes fréquences, la capacité même de très faible valeur n’offre au courant alternatif qu’une très faible impédance : elle est équivalente à un court-circuit, contrairement à la self qui se comporte comme un circuit ouvert en très
haute fréquence. On voit bien que les caractéristiques respectives de la capacité et de la self vont en sens inverse puisque :
Si f L et 1
C
4) Circuit R, L, C, série
Soit un circuit à courant alternatif comportant une résistance active, une inductance et une capacité branchées en série. Ces éléments sont représentés séparément, localisés sur des tronçons distincts. En réalité, la résistance ohmique peut représenter, entièrement ou partiellement, la résistance de la bobine, la capacité peut représenter également être la
capacité entre deux conducteurs. Finalement, chaque élément du circuit peut posséder non pas une, mais deux ou même trois propriétés. Les méthodes utilisées précédemment peuvent être utilisés pour résoudre n’importe quel circuit électrique.
On applique la loi de Kirchoff en instantané : dj 1
v Rj L jdt
dt C
On a par conséquent :
J ω) C ω 1 L ( j ω R
jC J J ω jL J R
V
On pose :
)
ω C ω 1 L (
X X est appelée réactance du circuit Et on écrira :
j ZZ R jX Z.e
Z représente alors l’impédance complexe du circuit électrique, et on a :
2 2
(L 1 )
1 C
Z R (L ) et Arg(Z) Arctg
C R
Le courant s’écrit :
V
V Z J
Z
j j j
j
V V.e V
J e
Z.e Z
Z
J.e
Avec :
J V
et ArctgX
R
2 2
V V
J = =
Z R + X On obtient alors:
J V
ArctgX
R On notera aussi que :
V J
Z j( )
j V V V j
Z Z.e e e
J J
J
On a toujours, par conséquent :
ZLa représentation sur le plan des complexes :
Dans un circuit quelconque, on voit que le déphasage entre le courant et la tension défini plus haut peut être positif ou négatif selon le signe de X.
Dans les représentations dans le plan des complexes illustrées ci-dessus, les deux cas sont présentés :
La figure de gauche représente le cas où le courant est en retard par rapport à la tension (circuit inductif), ce qui conduit à un négatif.
La figure de droite gauche représente le cas où le courant est en avance par rapport à la tension (circuit capacitif), ce qui conduit à un positif.
Ceci est dû à la convention choisie au départ lorsqu’on a défini comme étant :
J V
Il faudra donc retenir que, d’après les conventions choisies : Si 0 X 0 1
L C
le circuit est inductif (courant en retard par rapport à la tension) Si 0 X 0 1
L C
le circuit est capacitif (courant en avance par rapport à la tension) Remarque
Si le circuit se trouve dans la situation où les deux réactances se compensent de façon à obtenir un circuit purement résistif, on parle de résonnance, on a alors dans ces conditions :
L 1
C
0 X 0 le circuit est appelé circuit « résonnant ».
5) Lois de Kirchhoff et loi d’Ohm généralisée
A partir du moment où la notation complexe illustre bien ce qui se passe en instantané, on peut donc appliquer les lois de Kirchhoff (loi des mailles & loi des nœuds) non plus en instantané, ce qui serait fastidieux et inutile à partir du moment où seul le régime permanent nous intéresse.
Les lois de Kirchhoff, associées à la loi d’Ohm généralisée conduit aux relations suivantes :
Loi des nœuds :
n k k 1
I 0
Loi des mailles :n k k 1
V 0
Loi d’Ohm généralisée :V Z J
Il faut juste travailler uniquement en complexe et ne pas ‘mélanger’ les grandeurs instantanées, efficaces, etc.
Avec les impédances complexes qui s’écrivent de la manière suivante :
R L j
R Z R L Z jL C Z
C
C 6) Exemples d’application
On donne pour les schémas ci-dessous les valeurs suivantes : R 20 L 50mH C 100µF f=50Hz Ce qui donne :
3
L C 6
1 1 1
R 20 X L L2 f 50.10 2 50 15,7 X 31,8
C C2 f 100.10 2 50
Z R jL 20 j15,7 j
Z R 20 j31,8
C
j20.15,7 20 j15,7
RjL j20.15,7
Z 7
R jL 20 j15,7 20 j15,7 20 j15,7
,62 j9,71
R j
20. j31,8 j20.31,8 20 j31,8 Z R Cj 20 j31,8 20 j31,8 20 j31,8 1
C
4, 33 j9,01
IV- Exercices résolus Exercice1
Pour les diagrammes vectoriels suivants, donner :
Pour V et J la représentation analytique et complexe.
La valeur de la résistance et de la réactance totale correspondant à chaque diagramme si celui-ci représente un circuit R, L, C série.
On donne V=380 V, J=19 A.
Solution
On déduit des représentations vectorielles :
j4 j4 j( ) j5
6
4 1
j6 j6
a)
v(t) 380 2 sin( t ) V 380e
V 380e
4 Z 20e 20e
J 19e
j(t) 19 2 sin( t ) J 19e 6
2
On a donc :
5 5
Z 20 cos jsin R jX 5, 2 j 19,3 Le circuit est inductif (X 0)
12 12
j4 j4 j ( ) j5
6
4 1
j6 j6
2
b)
v(t) 380 2 sin( t ) V 380e
V 380e
4 Z 20e 20e
J 19e
j(t) 19 2 sin( t ) J 19e 6
