Ligne de transmission en régime sinusoïdal

Ch.4 : Ligne de transmission en régime sinusoïdal

On considère la ligne sans pertes.

Remarque : Dans ce chapitre on notera V et I (au lieu de V et I ) les notations complexes de la tension et du courant en régime sinusoïdal.

1. Représentation d’une ligne

1.1. Niveau macroscopique

Dans la plupart des cas, une ligne est branchée sur un générateur d'impédance Zg et une charge ZC

(terminaison).

1.2. Niveau microscopique – tronçon élémentaire

Toute ligne régulière et uniforme se laisse représenter électriquement par une somme de tronçons élémentaires très petits (longueur dx). Le comportement de la ligne n'est vraiment équivalent qu'à la limite quand dx 0.

dx

La représentation d’un seul tronçon élémentaire est illustrée par la Figure suivante :

Paramètres :

Chaque tronçon élémentaire est caractérisé par les quatre paramètres suivants : - la résistance linéique R [Ω/m]

- la conductance linéique G [S/m]

- l'inductance linéique L [H/m]

- la capacité linéique C [F/m]

Ces paramètres sont déterminés par la géométrie de la ligne et des propriétés conductrices et diélectriques des matériaux constituant la ligne.

Les paramètres L et C sont indépendants de la fréquence jusqu'à 1 GHz environ.

Le paramètre R représente les pertes ohmiques dans les conducteurs. Compte tenu de l'effet pelliculaire (en anglais : skin effect), R augmente avec la fréquence.

Le paramètre G représente les pertes diélectriques dans l'isolant entre les deux lignes. Il augmente aussi avec la fréquence mais reste pratiquement négligeable en-dessous de 1 MHz.

Lorsque les paramètres R et G sont nuls, on dit que la ligne est sans pertes. Cette simplification est très souvent admise pour les lignes courtes.

V V+dV

Ldx

Cdx Rdx

Gdx

dx

a) Cas de 2 fils parallèles (ligne bifilaire)

D : distance d’axe en axe R : rayon du fil

π µ

= µ

r ln D

L ^{0 r} en H/m

ε

= πε r ln D

C ^{0 r} en F/m

C Z_C = L

r F

R= 84 en nΩ/m, F : fréquence en Hz

Vitesse de propagation,

r r r

r 0 0

c 1

1 LC

v 1

ε

= µ ε µ ε

= µ

= Remarque :

Matériau non magnétique, µ_r =1 (cuivre, bronze, aluminium, …) Dans l’air, ε_r ≈1

b) Cas d’un câble coaxial

a : rayon du câble intérieur

b : rayon intérieur du tube extérieur π

µ

= µ

a ln b

L 2^{0 r} en H/m

ε

= πε a ln b

C 2 ^{0 r} en F/m

C Z_C = L

+

= b

1 a F 1 42

R en nΩ/m, F : fréquence en Hz Vitesse de propagation,

r r r

r 0 0

c 1

1 LC

v 1

ε

= µ ε µ ε

= µ

=

D

2r

b

a

2. Modélisation de la ligne sans pertes - Equations fondamentales

On suppose le système en régime établi sinusoïdal (permanent).

On note les tensions et les courants à un même instant.

Entre P et P’ :

I dx jL

dV =− ω

V dx jC

dI =− ω

C L I Z_C = V =

0 V dx LC

V

d 2

2

2 + ω =

0 I dx LC

I

d 2

2

2 + ω =

I0 Ir

V0 Vr

P P’

V I I+dI

V+dV

x x+dx

x = 0

(source) x = L

(récepteur) Source HF

> 150MHz

P I L dx I+dI P’

2 L dx

2

V V+dV

V+dV

2 Cdx

dx -dI

La solution donne :

x sin I jZ x cos V

V= ₀ β − _{C 0} β

x Z sin jV x cos I I

C

0 β − 0 β

=

qui constituent les équations générales de la propagation.

Souvent, on exprime V et I (en un point quelconque de la ligne) depuis le récepteur :

On a alors :

x sin I jZ x cos V

V= _r β + _{C r} β

x Z sin jV x cos I I

C

r β + r β

=

Remarque 1 :

V et I prennent les mêmes valeurs si βx change de 2π.

Cette distance est la longueur d’onde λ.

On retrouve la relationβλ =2π, c.à.d. que λ

= π β 2 Vitesse de propagation,

LC 1 LC f 2

f 2 f

v =

ω

= π β

= π λ

=

Remarque 2 :

V et I représentent les amplitudes de la tension et du courant à la distance ‘x’ du récepteur.

x sin I Z x cos V

V = _r^{2 2}β + ²_C ²_r ²β et sin x

Z x V cos I

I ₂ ²

C 2 2 r

2r β + β

=

Ir

Vr

x = 0 (récepteur) x

Après simplification,

(

)

+

= 2

x 2 cos I 1

Z V I Z

V ²_C ²_{r r}^{2 2}_C ²_r et = + − + β

2 x 2 cos 1 Z I V Z

I V ₂

C 2 2 r 2 r C 2 r

Les extremums de V et de I correspondent à cos2βx = ±1

Lorsque cos2βx = +1, à n2

x= λ, V =V_r et I =I_r Lorsque cos2βx = -1, à

4 n2

x= λ+λ, V =Z_CI_r et

C r

Z I = V

Si V_r >Z_CI_r, alors _r

C

r I

Z

V > , V_max =V_r, V_min =Z_CI_r, I_min =I_r,

C r

max Z

I = V

Si V_r <Z_CI_r, alors _r

C

r I

Z

V < , V_min =V_r, V_max =Z_CI_r, I_max =I_r,

C r

min Z

I = V

Dans tous les cas, _C

min min max

max Z

I V I

V = =

Ce sont des ondes stationnaires

3. Ondes incidentes – Ondes réfléchies

Rappel : V et I (en un point quelconque de la ligne) depuis le récepteur :

x sin I jZ x cos V

V= _r β + _{C r} β

x Z sin jV x cos I I

C

r β + r β

=

Or 2

e x e

cos = ^jx + ^−jx et

j 2

e x e

sin = ^jx − ^−jx (formules d’Euler) Ce qui donne :

x j r C r x j r C

r e

2 I Z e V

2 I Z

V= V + ^β + − ^−β

x j C

r C x r

j C

r C

r e

Z 2

I Z e V

Z 2

I Z

I= V + ^β − − ^−β

Ir

Vr

x = 0 (récepteur) x

3.1 Ligne de longueur infinie

x r j C

r e

2 I Z

V= V + ^β

x j C

r C

r e

Z 2

I Z

I= V + ^β

C Z L

I V

C =

= en tout point de la ligne

(

)

2 cos I Z ) V

t (

v = ^r + ^{C r} ω +β

Ce sont des ondes progressives

3.2 Ligne avec Z

= Z

(ligne adaptée)

3.3 Ligne terminée par une impédance quelconque Z

(Z

peut être complexe)

) x (

Z = impédance en un point x

x sin I jZ x cos V

V= _r β + _{C r} β

x Z sin jV x cos I I

C

r β + r β

=

x Z sin jV x cos I

x sin I jZ x cos V ) x ( I

) x ( ) V x ( Z

C r r

r C r

β +

β

β +

= β

=

x Z tan jZ 1

x tan Z j

Z Z x Z tan jZ 1

x tan jZ Z x Z tan jZ 1

x tan I jZ

V ) x ( Z

C r C r

C

C r C r

C r

C r

r

β +

β +

= β +

β

= + β +

β +

=

Impédance réduite,

x tan jz 1

x tan j z Z

) x ( ) Z x ( z

r r

C + β

β

= +

=

Impédance d’entrée (vue de la source) :

l Z tan jZ 1

l tan jZ ) Z

0 ( Z

C r C r

β +

β

= +

l tan jz 1

l tan j ) z

0 ( z

r r

β +

β

= +

I0 Ir

V0 Vr

V I

x = 0 x x = L

Source Zr

3.4 Quelques cas particuliers

a) Z_r =Z_C

alors, _C

C r C

r Z

l Z tan jZ 1

l tan jZ ) Z

0 (

Z =

β +

β

= +

La source débite sur ZC ; c.à.d. comme dans une ligne de longueur infinie.

On a des ondes progressives ; la ligne est adaptée au récepteur.

b) Ligne quart d’onde : l= λ4 l= 2π

β

r 2 C

Z ) Z 0 (

Z =

La ligne est un inverseur d’impédances (ou un transformateur d’impédances).

Si Zr est inductive, Z0 sera capacitive (et inversément).

Si Zr est résistive, Z0 sera résistive, mais une faible résistance sera transformée en une forte résistance (et inversément).

Cas limites :

Une ligne ouverte est vue comme un court-circuit par la source.

Une ligne en court-circuit est vue comme un circuit ouvert par la source.

Utilisation : adapter une ligne à sa charge.

c) Ligne demi-onde : l= λ2 π

=

βl Z(0)=Z_r

La source débite sur Z_r (on ramène Z_r à la source).

On peut ainsi relier une source et une charge lointaine.

C’est comme-ci il n’y avait pas de ligne (la ligne devient transparent).

d) Ligne huitième-onde : l= 8λ l= 4π

β Z(0) =Z_C

On transforme une impédance quelconque en une impédance de module ZC.