2021 – 2022 1/8
REGIME SINUSOIDAL FORCE
I Détermination de grandeurs électriques en régime sinusoïdal forcé
Dans les deux circuits suivants, le générateur délivre une tension e(t) associée à la tension complexe 𝑒 = 𝐸!𝑒"#$. On donne Em = 15,0 V, w = 314 rad.s-1, et les impédances R = 1,00.103 W, Lw = 2,00.103 W et 1/(Cw) = 1,00.103 W.
Déterminer les grandeurs complexes notées avec un point d’interrogation, en déduire les expressions réelles des fonctions du temps, et déterminer l’avance ou le retard temporel de la grandeur par rapport à la tension e(t).
Réponse : 𝑢%(𝑡) = 21,2𝑐𝑜𝑠 .100𝜋𝑡 +&
'2 en V en avance de 2,50 ms ; 𝑢((𝑡) = 10,6𝑐𝑜𝑠 .100𝜋𝑡 −)&
'2 en V en retard de 7,50 ms ; 𝑢((𝑡) = 13,4𝑐𝑜𝑠(100𝜋𝑡 − 0,46) en V en retard de 1,48 ms ; 𝑖%(𝑡) = 6,7𝑐𝑜𝑠(100𝜋𝑡 − 2,03) en mA en retard de 6,48 ms.
II On donne le circuit ci-contre.
Déterminer la condition de résonance de tension aux bornes du condensateur.
Réponse : 𝑅 > ;*(%.
III Court-circuit ou coupe-circuit ?
Le circuit fonctionne en régime sinusoïdal ; l'amplitude de la force électromotrice e(t) du générateur idéal de tension est de 20 V. De plus, les bobines sont différentes et il en est de même des condensateurs (fig. 2).
1) Calculer l’impédance aux bornes du générateur.
2) Indiquer si le circuit laisse passer un courant de pulsation w1 telle que 𝐿+𝐶+𝜔+*= 1.
Répondre à la même question pour la pulsation w2 telle que 𝐿*𝐶*𝜔**= 1.
3) Montrer qu'il existe une pulsation w3 pour laquelle le circuit ne laisse pas passer le courant (circuit "bouchon").
4) Calculer en kilohertz la fréquence N3 correspondant à la pulsation w3 pour : L1 = 2 mH ; C1 = 1 µF ; L2 = 1 mH ; C2 = 0,02 µF.
La comparer aux fréquences N1 et N2 associées respectivement aux pulsations w1 et w2.
5) Pour N = N3, calculer l'amplitude I exprimée en milliampère de l'intensité du courant qui circule dans les branches AM1B et AM2B.
2021 – 2022 2/8
Réponse : w1 et w2 passent ; 𝜔)*=( (!,("
!("(%!,%") ; I = 79 mA.
IV On étudie le montage ci-contre.
Il est alimenté par un générateur délivrant une tension uAB = Um coswt.
Les composants sont tels que LCw2 = 1.
1) Déterminer l'expression de l'intensité i(t) du courant dans la branche principale.
2) Quelle est la valeur de R rendant maximale l'intensité efficace ?
3) Quelle est dans ce cas l'expression de l'intensité i(t) dans la branche principale en fonction de L, C, Um et t ?
Réponse : 𝑖(𝑡) =%,/*/("(𝑈!𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 si 𝑅 = ;%(.
V Quartz et électronique
Aucune connaissance sur le quartz et la piézo-électricité n’est requise pour traiter ce problème dans lequel les candidats sont guidés par de nombreuses questions indépendantes et progressives.
Le quartz est une forme particulière de cristal de silice. Il présente des propriétés physiques très intéressantes : la piézo-électricité.
Quand on comprime un morceau de quartz dans une direction particulière, une tension apparaît aux bornes du cristal (c’est l’effet piézo-électrique). Réciproquement, quand on applique une tension aux bornes d’un quartz, ce dernier se déforme proportionnellement à la tension appliquée (c’est l’effet piézo-électrique inverse). Ainsi, le quartz est très intéressant pour l’électronique car on parvient à réaliser des circuits oscillants, à base de résonateur à quartz, très stables dans le temps. Actuellement le quartz est remplacé par certaines céramiques piézo-électriques.
Partie A : Modélisation d’un résonateur à quartz
1) Modèles mécanique et électrique du résonateur à quartz
Un cristal de quartz est taillé sous forme de pastille cylindrique mince. La base circulaire présente un diamètre d = 1 cm et l’épaisseur de la pastille est e = 0,2 mm. Des électrodes métalliques (en or généralement) sont déposées sur chacune des faces circulaires du quartz (on suppose que ces faces sont totalement métallisées) (figure 1). On parle d’électrodes de connexion. On a ainsi réalisé un condensateur plan.
Figure 1 : schéma d’un quartz alimenté par une tension V(t)
D’un point de vue mécanique, lorsque l’on soumet le disque piézo-électrique à une tension sinusoïdale V(t) = Vcos(wt), il va être, dans le cadre d’une approximation linéaire, le siège d’une vibration mécanique sinusoïdale sous l’effet d’une force extérieure proportionnelle à cette tension.
Modélisation proposée : un élément de masse m du corps piézo-électrique, placé à une distance x de son point de repos, est soumis aux forces suivantes, toutes orientées selon un axe (Ox) que l’on ne précise pas ici :
* une force de rappel de type élastique –k.x (k > 0) qui a pour origine la rigidité du matériau,
* des frottements supposés proportionnels à la vitesse et de la forme −ℎ010$ (h > 0),
* une force due à l’effet piézo-électrique b.V(t) (b > 0),
* le poids est négligé.
2021 – 2022 3/8
a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au petit élément de masse m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, établir l’équation différentielle vérifiée par x(t) en supposant que le mouvement se fasse selon l’axe (Ox).
D’un point de vue électrique, la charge totale q apparaissant sur les électrodes planes a deux origines :
* les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité Cp, d’où une charge q1(t),
* l’effet piézo-électrique provoque l’apparition d’une charge q2 proportionnelle à x : q2(t) = g.x(t).
b) On montre que la capacité d’un condensateur plan vaut 𝐶2=3#46$5 où S est la surface d’une électrode, e l’épaisseur du condensateur, e0 la permittivité du vide (sa valeur est e0 = 8,85.10-12F.m-1) et er une constante valant pour le quartz er = 2,3.
Estimer alors la capacité Cp appelée capacité de connexion.
Quelle est la relation entre la charge q1, la capacité Cp et la tension V(t) ?
c) En reprenant l’équation différentielle obtenue pour x(t), écrire l’équation différentielle vérifiée par la charge q2(t).
d) Considérons le circuit représenté sur la figure 2 ci-dessous.
Figure 2 : circuit R, L, Cs série
Montrer que la charge q2(t) est équivalente à la charge d’un condensateur de capacité Cs dans le circuit série R, L, Cs dont la tension aux bornes est V(t). On donnera alors les expressions de R, L et Cs en fonction de m, h, b, g et k.
2) Étude de l’impédance équivalente du quartz
Dans cette partie, on néglige la résistance R du quartz. Le schéma électrique simplifié est alors donné sur la figure 3.
Pour les applications numériques, on prendra L = 500 mH, Cs = 8,00.10-2 pF et Cp = 8,00 pF.
Figure 3 : modèle électrique d’un quartz
On se placera toujours en régime sinusoïdal forcé (les grandeurs dépendront de la pulsation w).
a) Calculer alors l’impédance complexe du quartz, vue entre les bornes A et B.
On l’écrira sous la forme : 𝑍78= .−(#" 2+9
%"
%$"
+9%"
%&"
où j est le nombre imaginaire pur tel que 𝑗*= −1.
On donnera, en fonction de L, Cp et Cs les expressions de a, wa2 et wr2. Montrer aussi que wa2 > wr2.
2021 – 2022 4/8
On pourra admettre les résultats de cette question pour poursuivre la résolution du problème.
b) Donner les valeurs numériques des fréquences fa et fr correspondant respectivement aux pulsations wa et wr.
c) Étudier le comportement inductif ou capacitif du quartz en fonction de la fréquence. On rappelle qu’un dipôle a un comportement inductif (respectivement capacitif) si la partie imaginaire de son impédance est positive (respectivement négative).
d) Tracer l’allure de 𝑍78= C𝑍78C, module de l’impédance complexe du quartz, en fonction de la fréquence.
3) Étude expérimentale de la résonance d’un quartz
On veut tracer expérimentalement la courbe donnant l’impédance du quartz en fonction de la fréquence d’excitation. On dispose d’un générateur basses fréquences pouvant délivrer une tension sinusoïdale d’amplitude réglable. Le GBF possède une résistance interne Rg. On dispose d’une résistance variable, d’un quartz et d’un oscilloscope.
Dans cette question on néglige toujours la résistance du quartz sauf dans la question c).
On réalise alors le montage de la figure 4 suivante.
Figure 4 : montage expérimental pour l’étude de la résonance du quartz a) Calculer le rapport de la tension de sortie 𝑉5 à celle d’entrée 𝑉: : 𝐻 =;;'
( en fonction de RV et de 𝑍78. b) On choisit, pour chaque fréquence, la résistance RV de telle façon que C𝐻C =+*.
Que vaut alors le module de l’impédance du quartz en fonction de RV ?
c) Autour du pic de résonance d’intensité situé vers 796 kHz, on mesure une bande passante de 50,0 Hz.
Quelle est la valeur numérique du facteur de qualité Q du quartz défini comme le rapport de la fréquence de résonance à la largeur de la bande passante ? Commenter cette valeur.
Si la fréquence de résonance et la bande passante sont mesurées respectivement avec une incertitude-type de 103 Hz et 0,02 Hz, quelle sera l’incertitude-type u(Q) sur le facteur de qualité ?
En supposant que le facteur de qualité soit donné par la relation 𝑄 =%#/# (w0 étant la pulsation de résonance), estimer la valeur de la résistance R du quartz.
Partie B : Principe d’une montre à quartz
Une horloge est composée d’un oscillateur plus ou moins stable dans le temps et d’un système de comptage des oscillations. Le quartz utilisé présente une fréquence de résonance de 32768 Hz. Cela signifie que 32768 fois par seconde une impulsion électrique est émise par le circuit oscillant. Un dispositif électrique doit compter les impulsions. Ces compteurs fonctionnent dans la technologie binaire (suite de 0 et de 1). Une impulsion électrique correspond à la valeur 1. La valeur 0 correspond à aucun signal électrique.
1) Compteur modulo 2
Un tel compteur délivre une impulsion de sortie dès qu’il a compté 2 impulsions à son entrée. Si en entrée d’un tel compteur on envoie le signal à 32768 Hz délivré par le circuit à quartz, quelle est la fréquence du signal de sortie du compteur modulo 2 ? 2) Succession de compteurs modulo 2
Écrire le nombre 32768 sous la forme 2< où k est un entier naturel.
2021 – 2022 5/8
Combien de compteurs modulo 2 faut-il mettre en cascade pour commander le chiffre des secondes ? Réponse : 𝐿 ==>!; 𝐶5==>< ; 𝑅 ==>? ; 𝛼 = 𝐶5+ 𝐶@ ; 𝜔A*=%(+
' ; 𝜔B*=(%(',()
'() ; 𝐻 =/ /*
*,C+, ; R = 157 W ; k = 15.
VI Utilisation d’un oscillogramme
On considère le montage de la figure ci-dessous.
On nomme 𝑢D(𝑡) = 𝑈!D𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 la tension lue sur la voie Y et 𝑢E(𝑡) = 𝑈!Ecos (𝜔𝑡 + 𝜑) celle lue sur la voie X.
On prendra R = 50 W et C = 4,6 µF.
L’oscillogramme ci-dessous a été établi avec les réglages suivants de l’oscilloscope :
* Sensibilité verticale : 1 V / div pour les deux voies * Sensibilité horizontale : 1 ms / div
L’oscilloscope sera supposé idéal, c’est-à-dire que son impédance d’entrée est infinie et donc qu’aucun courant ne pénètre dans les voies X et Y.
1) Quelles tensions mesure-t-on sur la voie X et sur la voie Y ? 2) Calculer le rapport FF-.
-/ en fonction de R, r, L C et w. En déduire la courbe sur l’oscillogramme correspondant à la voie X et celle correspondant à la voie Y.
3) A l’aide de l’oscillogramme, déterminer les valeurs numériques de w et de j.
4) Déduire des questions précédentes les valeurs numériques de r et L.
Réponse : 𝑢/(𝑡) et donc i(t) sur la voie X ; 𝑢G8H(𝑡) sur la voie Y ; FF-.
-/=I(/,A)",J%#9
! 0%K"
/ donc la voie Y est celle de plus grande amplitude ; 𝜔 = 1047𝑟𝑎𝑑. 𝑠9+ ; 𝜑 = −&)𝑟𝑎𝑑 ; r = 50 W ; L = 364 mH.
VII On considère le circuit électrique ci-contre dans lequel 𝑅 =%#* =(#+. Le générateur de tension idéal impose la tension 𝑒(𝑡) = 𝐸𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 à ses bornes et le générateur idéal de courant délivre l’intensité 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡.
On supposera E > 2RI. Exprimer l’intensité 𝑖/(𝑡) définie sur la figure.
Réponse : 𝑖/(𝑡) =:9*/L
√*/ 𝑐𝑜𝑠 .𝜔𝑡 −&'2.
VIII Générateur idéal de courant
On considère le circuit ci-contre dans lequel e(t) = Em.cos(wt).
On souhaite fabriquer un générateur idéal de courant.
Z est l’impédance complexe d’un dipôle quelconque.
1) Déterminer l’intensité complexe i(t).
2021 – 2022 6/8
2) Comment faut-il choisir Z1 et Z2 pour que i(t) soit indépendante du dipôle de charge d’impédance complexe Z ?
3) On prend par exemple un condensateur de capacité C caractérisé par son impédance complexe Z1. Déterminer Z2 et en déduire le composant électrique à utiliser pour fabriquer ce générateur idéal de courant.
4) A.N. : fréquence du signal produit par le générateur f = 1,0 kHz ; C = 1,0 µF ; Em = 1,0 V.
Donner la valeur numérique de la grandeur caractéristique du dipôle d’impédance Z2. Donner alors l’expression numérique de i(t) avec t en s et i en mA.
Réponse : 𝑖(𝑡) = 𝐼!𝑒"#$ avec 𝐼!=C C"
!C",CNC!,C"O𝐸! ; 𝑍*= −𝑍+ ; bobine idéale d’inductance 𝐿 =(#+"= 25𝑚𝐻 ;
𝑖(𝑡) = −6,3𝑠𝑖𝑛(6,3. 10)𝑡).
IX On considère deux signaux sinusoïdaux de même pulsation w :
𝑢+(𝑡) = 𝑈+√2𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝑢*(𝑡) = 𝑈*√2𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜑)
A partir des représentations graphiques des signaux données ci- contre (t en s et u en V), déterminer
1) la période ; 2) la fréquence ; 3) la pulsation ;
4) les amplitudes et leurs valeurs efficaces ; 5) leur déphasage j en radian et en degré.
Réponse : w = 942 rad.s-1 ; f = 150 Hz ; T = 6,7 ms ; U1m = 4 V ; U2m = 3 V ; U1 = 2,8 V ; U2 = 2,1 V ; j = - 1,18 rad = - 67,5 °.
X Sismographe
Un sismographe est constitué d’un ressort de raideur k et de longueur à vide lo, d’un amortisseur de coefficient de frottement f et d’une masse m ponctuelle.
Le ressort et l’amortisseur sont fixés à un cadre rigide ; un stylo reproduisant les déplacements verticaux de la masse m par rapport au cadre est fixé au niveau de la masse m.
Le cadre est mis en mouvement vertical sinusoïdal : z(t) = Zm cos (wt) + zeq (avec zeq = 0).
Le référentiel Rg (O, 𝑒WWW⃗) est supposé galiléen. 1
1) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la grandeur x, écart entre la longueur l du ressort à un instant t et sa longueur à l’équilibre leq (obtenue lorsque z = zeq = 0). On fera apparaître le facteur de qualité Q du système ainsi que sa pulsation propre wo.
2) Déterminer, en régime forcé, l’amplitude Xm de l’oscillation de la masse ainsi que sa phase à l’origine en fonction de u = w/wo. 3) Tracer l’allure de la courbe donnant Xm/Zm en fonction de u.
Réponse : 𝑥̈ +#P#𝑥̇ + 𝜔Q*𝑥 = 𝜔Q*𝑍!𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 avec wo2 = k/m et wo/Q = f/m ;
𝑋!= 𝑍! R"
S(+9R")",1"
2"
; 𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛+9RR/P" si u < 1 ; 𝜑 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛+9RR/P" si u > 1 ; résonance si 𝑄 > +
√*.
2021 – 2022 7/8
XI Fonctionnement et technologie de l’accéléromètre
La miniaturisation, la fiabilité et le faible coût des capteurs à MEMS (Micro-Electro-Mechanicals-Systems) permettent de les intégrer dans de nombreux dispositifs électroniques embarqués. La plupart des accéléromètres à MEMS permettent de mesurer les accélérations suivant deux axes.
En aéronautique, les accéléromètres sont utilisés en tant que tels dans les avions soumis à de fortes contraintes, avions de chasse ou de voltige, et couplés à des gyromètres ils entrent dans la composition de centrales à inertie.
On limite l’étude à la modélisation du fonctionnement d’un accéléromètre à un seul axe. Un accéléromètre est modélisé par un système masse-ressorts amorti, dont le schéma de principe est représenté sur la figure 6. On suppose que les déplacements ne s’effectuent que selon l’axe 𝑂𝑥 horizontal.
L’accéléromètre se compose d’une masse mobile 𝑚, assimilée à un point matériel, astreinte à se déplacer sans frottements secs selon l’axe horizontal 𝑂𝑥. Le boîtier rigide de l’accéléromètre, de longueur 𝐿 selon l’axe 𝑂𝑥, de centre 𝐵 se déplace dans le référentiel d’étude terrestre ℛ supposé galiléen et on note 𝑎⃗ son accélération dans ce référentiel. Son accélération s’écrit 𝑎⃗ = 𝑎𝑒WWW⃗. 1
Photographie d’un accéléromètre deux axes : Schéma de principe du fonctionnement mécanique le capteur MEMS est situé au centre de l’accéléromètre suivant un axe
(source Analog Devices)
Figure 6 Accéléromètre MEMS
On note à un instant 𝑡 quelconque, 𝑥C la position de la masse mobile en mouvement, 𝑥B la position du centre du boîtier et 𝑋 = 𝑥C − 𝑥B la position de la masse mobile par rapport au centre du boîtier. Lorsque le boîtier de l’accéléromètre est au repos ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme, la position de la masse mobile par rapport au centre du boîtier vérifie 𝑋 = 0. Lorsque le boîtier subit une accélération, la masse mobile quitte la position définie précédemment.
La masse mobile est soumise :
− aux forces de rappel 𝑇WWW⃗+ et 𝑇WWW⃗* exercées par deux ressorts identiques, de constante de raideur 𝑘 et de longueur à vide ℓ0 ;
− à des forces de frottement visqueux dont la résultante est proportionnelle à la vitesse relative de la masse mobile par rapport au boîtier 𝐹WWW⃗ = −2𝑓(𝑥U (̇ − 𝑥8̇ )𝑒WWW⃗ où 1 𝑓 est le coefficient de frottement visqueux ;
− au poids 𝑃W⃗;
− à la réaction du boîtier 𝑅W⃗.
1) Mise en équation
a) Montrer que la résultante des forces de rappel exercées par les deux ressorts s’écrit : 𝑇W⃗ = −2𝑘𝑋𝑒WWW⃗. 1
b) Montrer que, lorsque le boîtier subit une accélération, l’équation différentielle vérifiée par l’élongation 𝑋 s’écrit : 𝑋̈ +𝜔Q
𝑄 𝑋̇ + 𝜔Q*𝑋 = −𝑎 avec 𝜔0 et 𝑄 deux constantes que l’on exprimera en fonction de 𝑘, 𝑚 et 𝑓.
2021 – 2022 8/8
c) Quelle est la signification physique de 𝜔0 et 𝑄 ? Quelles sont les dimensions et les unités de ces deux grandeurs ? 2) Étude de la réponse harmonique
On recherche maintenant les conditions pour lesquelles l’élongation 𝑋 est directement proportionnelle à l’accélération 𝑎 du boîtier.
Pour cela, on étudie la réponse du capteur en régime harmonique établi.
a) La grandeur d’entrée du capteur étant l’accélération : 𝑎(𝑡) = 𝑎!𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡), sous quelle forme mathématique doit-on rechercher la grandeur de sortie 𝑋(𝑡) ?
b) Établir la relation entre l’amplitude complexe de l’élongation 𝑋! et celle de l’accélération 𝑎!. c) Après avoir étudié le comportement asymptotique de : BE-
-/##", montrer qu’il existe un domaine de fréquences, que l’on
précisera, pour lequel on peut considérer que l’élongation 𝑋 est directement proportionnelle à l’accélération 𝑎 du boîtier et vérifie :
𝑋(𝑡) = −𝑚 2𝑘𝑎(𝑡)
Pour la suite du problème, on considère que le domaine de fréquences dans lequel le capteur de l’accéléromètre est utilisé est tel que la relation précédente soit vérifiée.
La fréquence typique de résonance mécanique du capteur d’un accéléromètre à MEMS est de l’ordre de 5,5 kHz et son facteur de qualité est voisin de 5.
d) Déterminer l’expression du rapport BE-
-/##"en fonction de 𝑥 =##
# et 𝑄.
e) Déterminer l’expression de la fréquence 𝑓r à laquelle se produit un phénomène de résonance. Commenter.
f) Déterminer la valeur numérique de l’amplitude finale du déplacement de la masse mobile pour une accélération constante de
« 1𝑔 » (𝑎 = 𝑔 = 9,8 m.s-2), correspondant à l’accélération de la pesanteur à la surface de la Terre.
Commenter le résultat.
Réponse : 𝜔Q= ;*<! ; 𝑄 =+U;<!* ; 𝑋!=# 9B-
#"9#",V%#2# ; il faut w << w0 ; BE-
-/##"= +
SW+9%"
%#"X
"
,! 2"J%
%#K"
;
𝑓A=#*&#;1 −P+"≈#*&# ; 8.10-9m.
