Electronique : régime sinusoïdal forcé (PCSI)

Electronique : régime sinusoïdal forcé (PCSI)

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Les ponts sont des montages qui permettent, en faisant varier la valeur d'impédance de certains dipoles, de déterminer l'impédance de dipoles inconnus. On dit que le pont est équilibré si u = 0 .

La méthode de résolution est systématiquement la même, on se propose donc de la mettre en place sur un exemple simple, puis de l'appliquer à un cas plus complexe.

Pont de Wheatstone.

La résistance r est inconnue ; les résistances R

= 70 Ω et R

= 2.5 kΩ sont xées et on peut faire varier la valeur de R

.

1. Exprimez la tension u en fonction de e et des diérentes résistances.

2. On fait varier la valeur de R

jusqu'à ce que le pont soit équilibré. On mesure la valeur de R

= 1.5 kΩ . Que vaut la résistance r ?

Pont de Maxwell

On considère à présent le montage suivant, dans lequel la valeur L d'impédance de la bobine et la résistance r sont inconnues. On peut faire librement varier R

, tandis que les autres valeurs sont connues. Lorsque le pont est équilibré On a R

= 1 kΩ , R

= 42 kΩ , R

= 100 Ω et C = 5 nF . Déterminez L et r .

Correction

Maxwell :

U

=

1+Zeq

e avec

=

2

+ jCω donc U

=

R₁+_1+jR^R2

2Cω

e =

1+R2+jR1R2Cω

U

=

3+r+jLω

e . En équilibrant les deux tensions (partie réelle et partie imaginaire), on trouve r =

2

et L = R

R

C

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On utilise un générateur de tension réel, de force électromotrice E(t) = E

sin ωt et de résistance interne R

. On branche à ses bornes un dipole d'impédance Z = R + iLω ; on notera U(t) la tension à ses bornes. Dans l'ensemble de l'exercice, on se placera dans le cadre de l'approximation des régimes quasti stationnaires.

1. Exprimer la forme générale de l'intensité I(t) qui parcourt le circuit, puis exprimez l'amplitude, la valeur ecace et le déphasage de l'intensité.

2. Exprimez la puissance P moyenne reçue par l'impédance Z .

3. On suppose dans cette question que le dipole est une résistance pure. Montrez que, pour une certaine valeur R

de la résistance, la puissance reçue par l'impédance présente un maximum.

Application numérique E

= 220 V , R

= 10 Ω ,

= 50 Hz

4. On suppose à présent que l'inductance a une valeur xée L = 0.1H . Montrez que la puissance dissipée par l'impédance totale est toujours inférieure à celle dissipée par en l'absence d'inductance. Déterminez la nouvelle résistance R

qui maximise la puissance dissipée.

Correction

1. I(t) = I

sin(ωt + ϕ

) . Par loi des mailles,

E (t) = I (t)Z + I (t)R

⇔ E

e

= I

e

(R

+ R + iLω) ; donc I

e

=

0+iLω

= E

0)²+L²ω²

. On a donc : amplitude : I

= √

(R+R0)²+L²ω²

; valeur ecace : I

=

2

; déphasage : cos ϕ

=

R+R₀

√

(R+R₀)²+L²ω²

sin ϕ

= √

(R+R₀)²+L²ω²

2. Par dénition,

P = hI(t)U (t)i

= 1 T

ˆ

I

sin(ωt + ϕ

)U

sin(ωt + ϕ

)

= I

U

1 2T

ˆ

(cos (ϕ

− ϕ

) − cos (2ωt + ϕ

+ ϕ

))

= I

U

2 cos (ϕ

− ϕ

) . Avec U

e

= Z I

e

, on trouve U

= I

√

R

+ L

ω

et cos (ϕ

− ϕ

) =

R²+L²ω²

et sin (ϕ

− ϕ

) =

√ Lω

R²+L²ω²

. On trouve ainsi P =

=

2 ef f

(R+R0)²+L²ω²

. 3. Pour L = 0 , P =

0)²

E

.

=

0)⁴

= 0 ⇔ R + R

− 2R = 0 ⇔ R = R

. On a alors P =

2 ef f

4R₀

= 1.2 MW . 4. A présent, P

=

2 ef f

(R+R0)²+L²ω²

.

=

(R+R0)²+L²ω²

E

≤ 1 . Le maximum est atteint pour

= 0 ⇔

0)²+L²ω²

−

(

)

= 0 soit (R + R

)

+ L

ω

− 2R (R + R

) = R

+ R

+ 2RR

+ L

ω

− 2R

− 2RR

= 0 . On trouve donc R = p

L

ω

+ R

= 33Ω

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On considère un circuit composé d'un condensateur de capacité C , d'une bobine d'inductance L et d'une résis- tance R en série. Le condensateur et la bobine sont initialement déchargés. Le circuit est alimenté par un générateur de tension parfait qui délivre une force électromotrice E(t) .

1. Dans cette question, la tension E(t) vaut

( 0 si t < 0

E

si t ≥ 0 . On se place à t > 0 .

(a) Exprimez l'équation diérentielle vériée par la tension U

aux bornes du condensateur.

(b) Donnez la forme générale des solutions de l'équation homogène associée.

(c) Proposez une solution particulière.

(d) Tracez qualitativement, sur un même graphique, la forme de la tension U

et de la tension E au cours du temps.

2. Dans cette question, la tension E(t) vaut

( 0 si t < 0

E

cos ωt si t ≥ 0 . On se place à t > 0 .

(a) Exprimez l'équation diérentielle vériée par la tension U

aux bornes du condensateur. Quelle diculté supplémentaire apparait par rapport au cas précédent ?

(b) Justiez l'approximation suivante : si on se place à un temps susamment grand, on peut négliger les solutions de l'équation homogène associée.

(c) On cherche une solution particulière sous la forme U

(t) = U

cos (ωt + ϕ

) . Justiez cette forme et réécrivez l'équation diérentielle vériée par U

en introduisante la notation complexe.

(d) Tracez qualitativement, sur un même graphique, la forme de la tension U

et de la tension E . (e) Montrez que pour une certaine valeur de ω l'amplitude U

est maximale.

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On considère le montage suivant, dans lequel trois blocs d'impédance Z

, Z

et Z

sont inconnus. On note Z l'impédance totale.

On mesure, en faisant varier la fréquence du générateur de 0 à +∞ , le gain déni par G

=

e|

, i ∈ [[1, 3]].

On trouve les résultats suivants :

Pour ω → 0 , G

→

1+R⁰₁

1

R1R0 1 R1+R0 1

+R⁰₂+R⁰₃

, G

→

1R0 1 R1+R0 1

+R⁰₂+R⁰₃

, G

→

1R0 1 R1+R0

1

+R⁰₂+R⁰₃

. Pour ω → +∞ , G

→

1+R⁰₁

1

R1R0 1 R1+R0

1

+R2+R⁰₃

, G

→

1R0 1 R1+R0 1

+R2+R⁰₃

, G

→

1R0 1 R1+R0

1

+R2+R⁰₃

. Pour ω → ω

, G

→

.

Pour ω → ω

, G

→

3+R⁰₃ 1 Z(ω)

.

Proposez des blocs pouvant correspondre à ces résultats.

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On cherche à étudier le montage ci dessus :

1. En considérant que la tension u

est de la forme

u

= U

cos (ωt) , exprimez la fonction de transfert H (jω) =

e

du montage.

2. Tracez qualitativement le diagramme de Bode en amplitude du ltre.

3. Exprimez l'équation diérentielle vériée par u

. 4. Comment déterminer la réponse du ltre à une ten-

sion en dent de scie de fréquence T ?

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On s'intéresse au fonctionnement d'un récepteur radio en démodulation d'amplitude. On privilégiera dans cet exercice une approche qualitative.

Modulation

On veut transmettre par radio un message. Ce message correspond à une onde v

= V

cos (ω

t) , qu'on appelle modulant. Pour le transmettre, on commence par le moduler en amplitude en lui faisait subir le traitement v

, → v

v

+ v

, où v

est un signal porteur de la forme v

= V

cos (ω

t) avec ω

ω

.

1. Expliquez l'intéret de cette démarche de modulation.

2. Donnez une forme développée du signal modulé et tracez son allure. Quelles fréquences y apparaissent ? Démodulation : fonctionnement d'un récepteur radio.

On s'intéresse maintenant à la récéption de l'onde dans un poste radio. On considère qu'aux bornes du circuit 1 se trouve un signal constitué d'une superposition d'onde, dont le signal modulé. On note U

et U

les tensions d'entrée et de sortie des diérents blocs.

Bloc 1 choix de la fréquence.

• Exprimez la fonction H

(jω) =

e1

sous la forme

1+_Q^j

ω ω0−^ω_ω⁰

.

• Comment se comporte ce premier bloc si Q 1 ? A quoi sert-il alors ?

Dans la suite de l'exercice, on considera Q 1 et on prendra ω

= ω

. Tracez l'allure du signal U

. Bloc 2 détection des crètes.

On considère initialement que U

> U

et que la diode est passante. Elle est alors assimilée à une petite résistance r . Exprimez l'équation diérentielle vériée par U

et en déduire l'évolution de U

tant que la diode est passante.

A quel moment la diode devient elle bloquante ? Comment évolue alors la tension U

?

Comment doit on choisir τ = RC pour que le premier bloc serve eectivement de détecteur de crète ? Tracez dans ce cas l'allure du signal U

.

Bloc 3 élimination de la tension constante.

Exprimez la tension de sortie U

en fonction de U

. On considère que le temps caractéristique de ce

troisième bloc est très petit devant celui du signal. Tracez l'allure du signal de sortie.

1. Exprimez V

en fonction de U

et de U

.

2. Exprimez U

en fonction de V

et de U

, puis ex- primez la fonction de transfert H (jω) =

e

. 3. Dans le cas où R = R

, tracez H

(x) avec x =

où ω

=

.

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Adaptation d'impédance

Puissance dissipée maximale avec Z et Z' si Z'=Z*

Donc Rg = Z* avec Z* l'impédance du bloc entier (condo + bobine + resistance)

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E(t) =

+∞

P

n=0

E

1

2n+1

cos (2n + 1)

t