5 : Régime continu

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Problème 1 : Photodiode

On étudie quelques applications de la photodiode. Il s’agit d’un dipole électro-optique dont la caractéris- tique statique dépend de la puissance lumineuse moyenne qu’elle reçoit.

I Caractéristique

La caractéristique statique est (voir la figure 1) : I(U) =I0

e

U V0 −1

−Ip, (1)

avec les constantes :I0=10 µA,V0=26 mV. L’intensitéIp, nommée « photocourant », est proportionnelle à la puissance lumineuse reçue notéeP_`selon :

Ip=kP_` avec:k=0,50 A·W⁻¹. (2)

−2 −1 0 1 2

·10²

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

I U

U(mV)

I(mA)

Fig. 1 : Caractéristique statique d’une photodiode soumise à une puissance lumineuseP_`=4 mW.

I U

U_s

−Ig

U I

Fig. 2 :Caractéristique simplifiée d’une photodiode.

On soumet dans toute la suite la photodiode à une puissance lumineuseP_`=1 mW.

I.1. (a) Quel courant indique un ampèremètre branché à ses bornes ? On noteIAsa valeur absolue qu’on exprimera en fonction des constantes de l’équation (1) et calculer sa valeur.

(b) On note−Igle courant traversant la diode pourU→ −∞. Donner son expression en fonction des constantes de l’équation (1) et calculer sa valeur. Commenter.

(c) Quelle tension, notéeUsindique un voltmètre branché à ses bornes ? On l’exprimera en fonction des constantes de l’équation (1) et on calculera sa valeur.

I.2. Montrer qu’il existe un domaine du plan où la photodiode fournit une puissance positive. Dans quel domaine du plan se comporte-t-elle pratiquement comme un générateur idéal de courant ?

On modélise dans toute la suite la caractéristique par deux demi-droites comme représenté sur la figure 2.

II Utilisation en cellule photovoltaïque

On branche un résistor de résistanceRcaux bornes de la photodiode.

II.1.

(a) Déterminer la tensionUet l’intensitéIdu courant en fonction de Rc, Ip, I0 etV0. On pourra raisonner graphiquement et on sera amené à distinguer2cas selon la valeur deRc. On introduira la résistanceR0=Us/(I0+Ip).

(b) Déterminer la puissancePfournie par la photodiode en fonction de Rc, Us, I0etIp.

I U R

(c) Représenter l’allure de la courbeP(Rc).

(d) Déterminer la puissance maximale, notéeP_maxet calculer sa valeur pourP_`=1 mW. On donnera l’expression de la valeur de la résistanceRcréalisant ce maximum, qu’on noteraRopt.

II.2. On définit le rendement de conversion de la photodiode parη=P_max/P_`.

(a) Exprimerηen fonction deV0, ket de la quantitéx=kP_{`</sub>/I0. Calculer la valeur deηpourP<sub>`}= 1 mW.

(b) Dans la limitex→ ∞, que pensez-vous du modèle utilisé pour décrire la caractéristique de la diode ?

(c) De manière générale, justifier que le modèle simplifié de la figure 2 surévalue le facteurη.

II.3. On associe en série un nombreN de photodiodes identiques, chacune recevant la même puissance lumineuseP_`.

(a) Procéder comme à la Section I pour modéliser le dipôle constitué desNphotodiodes par une carac- téristique formé de deux demi-droites analogue à celle de la figure 2. On précisera les expressions du courantIN−get de la tensionUN−scorrespondant.

(b) Déterminer la puissance maximalePN−maxet préciser la valeur notéeRN−optde la résistance qu’on doit brancher aux bornes de cette association série pour récupérer la puissanceP_N−max. II.4. Reprendre les questions précédentes pour une association parallèle deNphotodiodes. On précisera en

particulier la nouvelle valeur notéeR_N||optpermettant de récupérer la nouvelle puissance maximale, notéeP_N||maxdont on donnera également l’expression.

II.5. On souhaite alimenter une résistanceRc=1 kΩ par un ensemble de photodiodes chacune étant sou- mise à la même puissance lumineuseP=1 mW. Déterminer le nombre minimal de photodiodes et la manière de les connecter permettant de récupérer un maximum de puissance dansRc. Quelle est alors la valeur du rendement de conversionη?

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III Utilisation en détecteur

On utilise désormais la photodiode comme détecteur de lumière, afin de mesurer la puissance lumineuse P_`. On utilise pour cela le montage de la figure 3 dans lequel la source de tension idéale fournit une tension Enégative.

U R

U

E < 0

A B

Fig. 3 : Utilisation de la photodiode en récepteur. La tensionEestnégative.

I

U

R

B A

Fig. 4 : Modélisation d’une diode soumise à une ten- sionUnégative.

On admet que quand la tensionUABà laquelle est soumise la photodiode est strictement inférieure àUs, on peut la modéliser par le dipôle de la figure 4 dans lequel le courantIgest celui défini à la Section I. On prendraRd=10 MΩ etE=−15 V.

III.1. Comment doit-on modifier la caractéristique simplifiée de la figure 2 pour tenir compte de la résistance Rd? On représentera l’allure correspondante.

III.2. À quelle condition surIg, EetRdpeut-on considérer que la tensionUcaux bornes deRcest propor- tionnelle à la puissance lumineuseP`? On noteα=−Uc/P`le coefficient de proportionnalité. Donner son expression en fonction dek , RcetR_d.

III.3. Déterminer en fonction deEetαla puissance lumineuse maximale pour laquelle on aUAB< Us. On la noteP_`,max. Déterminer son expression et calculer sa valeur pourRc=10 kΩ et les autres valeurs numériques données précédemment.

III.4. Déterminer de même le seuil de détection,iela puissance lumineuse minimale notéeP_minpour laquelle la tensionUcvaut (en valeur absolue)Ucmin=1 mV.

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Correction du problème 1

I Caractéristique

I.1. (a) La tension aux bornes d’un ampèremètre idéal est nulle. On mesure donc la valeur du courant correspondant àU= 0:

I=−I_p≡ −I_a→Ia=0,5 mA. (3)

(b) PourU→ −∞, on aI→ −(I0+Ip), soitIg =0,51 mA qu’on pourra confondre avec(Ia)à la précision considérée.

(c) L’intensité du courant traversant un voltmètre idéal est nulle, la tensionUscorrespondante vérifie donc :

0 =I0

e

Us V0 −1

−Ip→Us=V0ln

1 +Ip

I0

=102 mV. (4)

I.2. La caractéristique est donnée en convention récepteur, le dipôle fournira donc de l’énergie au circuit si le produitU Iest négatif,iedans la zoneU∈[0 ;Us]. Elle se comporte comme un générateur de courant pourUsuffisamment inférieur àUs: on a alorsI'Ig'IppuisqueI0Ip.

II Utilisation en cellule photovoltaïque

II.1. (a) On cherche l’intersection de la caractéristique de la photodiode en convention récepteur avec celle du résistor en convention générateur, une droite de pente−1/Rc.

Le seul point de fonctionnement se situe dans le quadrant où la photodiode a un fonctionnement générateur. Deux cas se présentent :

• Si la résistanceRcest faible (iela pente est grande), l’intersection se produit dans la zoneI=−I_get on a (U=RcIg;I=−Ig).

• Si la résistanceRcest élevée, l’intersection se produit dans la zoneU=Uset on a(U=Us;I=−Us/Rc).

R>R₀ R6R

0

I U

Us

−Ig

U I

La valeur deRcà la frontière entre les deux régimes est celle pour laquelleUs = RcIg, soit R≡R0=Us/(I0+Ip) =200 Ω.

(b) Dans tous les cas la puissance reçue par le résistor estRcI². On a donc :

• pourRc>R0:P=U_s²/Rc;

• pourRc6R0:P=RcI_g².

(c) Les variations de la puissance avecRcsont repré- sentées ci-contre.

(d) On y vérifie que la puissance est maximale pour R=R0, où elle vaut :

P_max=UsIg=Us(I0+Ip)

=Us(I0+kP_`) =5,2·10⁻⁵W. (5) et:R0=Us

Ig

= Us

I0+kP_` =200 Ω. (6)

R0

P_max

Rc

P

II.2. (a) On calcule, pourx= 50:

η= V0ln

1 +^kP_I^`

0

(I0+kP`)

P_` =V0kln(1 +x)

1 +1 x

=5,2·10⁻². (7) (b) Quandx→ ∞, le rapportηtend vers l’infini ce qui n’est clairement pas réaliste car on ne peut pas

récupérer plus de puissance électrique qu’on ne reçoit de puissance lumineuse.

(c) Dans le modèle de la Figure 2 le produitU Iest dans le premier quadrant toujours supérieur à ce qu’il est dans la caractéristique 1, il surestime donc la puissance électrique fournie.

II.3. (a) Dans une association série, les tensions et les résistances s’ajoutent alors que l’intensité du courant est la même, une association série de photodiodes (avec toutes la même polarité) aura donc les caractéristiques suivantes :

UN−s=N Us et:IN−s=Ig=I0+Ip. (8) (b) Cette association aura donc une résistance caractéristiqueRN−0=UN−s/Ig=N R0. Les résul-

tats précédents assurent que la puissance fournie sera maximale pour :

RN−opt=RN−s=N R0 où elle vaudra:P_N−max=RN−optIN−g² =N UsIg=NP_max. (9) II.4. Pour une association parallèle, ce sont les intensités et les conductances qui s’ajoutent, la tension étant

la même. On a donc immédiatement :

UN||s=Us IN||g=N Ig RN||0= Us

N Ig

=RN||opt

P_N||max=RN||0I_N||g² =N UsIg=NP_max. (10) On constate que, que l’association soit série ou parallèle, la puissance maximale est toujoursN×celle d’une unique photodiode.

II.5. Pour délivrer une puissance maximale avec un minimum de résistances, la résistance équivalente de leur association doit être égale àRc=200 Ω. On doit donc en associer 5 en série. Chaque photodiode fournit la même puissance égale àP_max, le rendement est donc de nouveauη.

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III Utilisation en détecteur

III.1. Dans la courbe de la figure 2, la zoneU6Usavait la caractéristique d’une générateuridéalde courant de courant électromoteur−I_g.

La modélisation désormais proposée est en fait un générateur linéaire de même courant électromoteur

−Iget de résistance interneRdpour lequel on aura, en convention récepteur :

I=−Ig+ U Rd

(11) Sa caractéristique enconvention récepteursera donc une droite de pente1/Rdpassant par le pointU= 0 ;I=−Ig.

Notons que dans le modèle idéal précédent, la résis- tanceRdétait infinie puisque la pente était nulle.

I U

Us

−Ig

U I

III.2. On a :

Uc=RcI avec:I=−Ig+ U

R_d tant que:U6Us (12)

.

Par ailleurs, la loi des mailles donneE=U+Uc, soit : Uc=Rc

−Ig+ U Rd

=Rc

−I0−Ip+E−Uc

Rd

→Uc=−Rc(I0+kP_`) 1 +Rc/Rd

+ RcE Rc+Rd

. (13) La tensionRcsera proportionnelle à l’intensité lumineuseP`si le terme enkP`est prépondérant de- vant les deux autres. C’est le cas si :

P_`I0

k et:P_` E kRd

. (14)

On note en particulier que la deuxième condition est d’autant plus facile à réaliser queRdest élevée,ie qu’on est proche du modèle idéal.

Quand ces deux conditions sont réalisées, on a : Uc' −RckP`

1 +Rc/Rd

soit:α= kRc

1 +Rc/Rd

=5,0·10³A⁻¹. (15) III.3. La conditionU6Ussera alors vérifiée tant que :

U6Us ie:E−Uc6Us→ P_`max6 Us−E

α =3,0·10⁻³W. (16) III.4. On auraUc=Ucminpour :

P=P_min≡Ucmin

α =2,0·10⁻⁷W. (17)

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 4/3 2018–2019