LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2017–2018 Devoir maison no15 – mathématiques
Correction Exercice 1
1. On calcule |z1|= q
12 +√
32 =√ 4 = 2.
Ainsi, z1 = 2 1 2 +i
√3 2
!
. On chercheθ tel que cosθ = 1
2 etsinθ=
√3 2 . θ = π
3 convient.
Ainsi, arg(z1) = π
3 et z1 = 2 ei π 3. 2. On a z2 = e−i
π
4 = cos
−π 4
+ sin
−π 4
=
√2 2 −i
√2 2 . 3. On a z1z2 = 2 ei
π 3 e−i
π 4 = 2 ei
π 3−
π 4
!
= 2 ei
4π−3π 12 = 2 ei
π
12 = 2z3. 4. Ainsi,
z3 = 1
2z1z2 = 1
2(1 +i√ 3)
√2 2 −i
√2 2
!
= 1 4(√
2−i√
2 +i√ 6 +√
6)
=
√2 +√ 6 4 +i
√6−√ 2 4 5. On sait que|z3|= 1 et arg(z3) = π
12, donc on en déduit que : cos π
12 =
√2 +√ 6
4 et sin π 12 =
√6−√ 2 4 Exercice 2
1. Soit D le point d’affixe 1 et E le point d’affixe i. Le point M ayant pour affixe z, on a
|z−1|=|z−i| ⇔DM =EM.
Ainsi l’ensemble des pointsM dont l’affixezvérife cette équation est la médiatrice du segment [DE]. Or cette médiatrice est la droite[AB]d’équationy=x. En effet, soitM(z)appartenant à la droite d’équation y = x. Alors z = x+ix, et DM = |(x+ix)−1| = |(x−1) +ix| = p(x−1)2+x2 =√
1−2x+ 2x2 etEM =|(x+ix)−i|=|x+i(x−1)|=p
x2+ (x−1)2 =
√1−2x+ 2x2. On a bien DM =EM.
Autre manière de faire pour démontrer que M ∈(AB) : on posez =x+iy. Alors :
|z−1|=|z−i| ⇔ |x+iy−1|=|x+iy−i|
⇔ |(x−1) +iy|=|x+i(y−1)|
⇔p
(x−1)2+y2 =p
x2+ (y−1)2
⇔p
x2−2x+ 1 +y2 =p
x2 +y2−2y+ 1
⇔x2−2x+ 1 +y2 =x2+y2−2y+ 1 (on élève au carré)
⇔ −2x=−2y
⇔y=x
Pour la condition suivante, sachant que C(3; 2) a pour affixe3 + 2i,
on a |z−3−2i| 62 ⇔CM 6 2 Ainsi, le pointM est à l’intérieur du cercle de centre C et de rayon 2.
En réunissant les deux conditions, on obtient bien que l’ensemble des points M dont l’affixe z satisfait le tout est le segment [AB], autrement dit la partie de la droite [AB] située à l’intérieur du cercle : L’affirmation est vraie.
2. On a √
3 +i= 2
√3 2 +i1
2
!
= 2 cosπ
6 +isinπ 6
= 2 ei π 6. Alors
(√
3 +i)1515 = 2 ei π 6
!1515
= 21515ei 1515π
6
= 21515e
i 126×2π+π 2
!
= 21515ei π 2
= 21515i6∈R
L’affirmation est donc fausse. Le nombre est même imaginaire pur.
