Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O,→u,→v) (unité graphique : 4 cm), on donne les points A et B d’affixes respectives 1 et 1
2 – i 3 2 .
Pour chaque point M du plan, d’affixe z, M1 d’affixe z1 désigne l’image de M par la rotation de centre O et d’angle π
3, puis M' d’affixe z' l’image de M1 par la translation de vecteur – →u Enfin, on note T la transformation qui à chaque point M associe le point M’.
1° a) Démontrer : z' = z ei π/3 – 1 b) Déterminer l’image du point B.
c) Montrer que T admet un unique point invariant Ω dont on précisera l’affixe.
d) Démontrer que T est une rotation de centre Ω.
2° On pose z = x + i y, avec x et y réels.
a) Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotient z'
z en fonction de x et de y.
b) Démontrer que l’ensemble (E), des points M du plan tels que le triangle OMM’ soit rectangle en O, est un cercle (C), dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points.
Tracer (E).
3° Dans cette question on pose z = 1 + i.
a) Vérifier que M appartient à (E). Placer M et M’ sur la figure.
b) Calculer le module de z'.
c) Calculer l’aire, en cm2, du triangle OMM’.
1° a) M1 est l'image de M par la rotation de centre O d'angle π
3 donc son affixe z1 vérifie z1 – 0 = (z – 0) eiπ/3 donc z1 = z eiπ/3
M' est l'image de M1 par la translation de vecteur – →u donc son affixe z' vérifie : z ' = z1 – 1 = z ei π/3 – 1.
b) B' = T(B) donc zB' = zB eiπ/3 – 1 =
1
2 – i 3 2
1
2 + i 3
2 – 1 = 0 donc l'image de B par T est O.
c) M d'affixe z est invariant par T si et seulement si M' = M c'est-à-dire z ' = z z ei π/3 – 1 = z ⇔ z ei π/3 – z = 1 ⇔ z (eiπ/3 – 1) = 1 ⇔ z = 1
1
2 + i 3 2 – 1
= 1
– 1
2 + i 3 2
= 1
e2iπ/3 = e–2iπ/3 Ω est le point d'affixe – 1
2 – i 3 2 d) zΩ = zΩ× eiπ/3 – 1
z ' = z × eiπ/3 –1 donc z ' – zΩ = z eiπ/3 – zΩ eiπ/3 = (z – zΩ) eiπ/3 T est la rotation de centre Ω d'angle π 3. 2° a) z = x + i y. z '
z = z eiπ/3 – 1
z eiπ/3 – 1 z = 1
2 + i 3
2 – x – i y x2 + y2 =
1
2 – x
x2 +y2 + i
3
2 + y x2 + y2 b) M ≠ O et M ' ≠ O c'est-à-dire M ≠ O et M ≠ B
OMM' rectangle en O si et seulement si z'
z ∈ i IR c'est-à-dire Re
z'
z = 0 Re
z'
z = 0 ⇔ 1 2 – x
x2 +y2 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2 x
x2 + y2 = 0 ⇔ -(x – 1)2 + y2 = 1.
(E) est le cercle de centre A de rayon 1 privé de O et de B.
3° a) (1 – 1)2 + 1 = 1 donc M ∈ (E) b) z
z' = i
3
2 + 1
1 + 1 = i 3 + 1
2 donc z = i 3 + 1 2 × z.
| z' | = | i | × 3 + 1
2 × | z | = 3 + 1
2 × 2 = 6 + 2 2
c) M ∈ (E) donc OMM' est rectangle en O donc aire OMM' = OM × OM'
2 =
2 × 3 + 1 2 × 2
2 = 3 + 1
2
y
o
M
A M1
M'
B
