Les solutions sur [−π;π] sont π4 et −π4 2

TS 8 Interrogation 6A : Correction 5 novembre 2016 Exercice 1 :

R´esoudre dansRpuis sur [−π;π] les ´equations suivantes : 1. cos(x) =

√2

2 2. 2 sin(2x) = 1

Solution:

1. cos(x) =

√2

2 ⇔x=^π₄ + 2kπ ou −^π₄ + 2kπaveck∈Z. Les solutions sur [−π;π] sont ^π₄ et −^π₄

2. 2 sin(2x) = 1 ⇔ 2x = ^π₆ + 2kπou 2x = ^5π₆ + 2kπ ⇔ x = ₁₂^π +kπ ou ^5π₁₂ +kπ. Les solutions sur R sont

π

12+kπet ^5π₁₂ +kπaveck∈Z. Les solution sur [−π;π] sont ₁₂^π,−^11π₁₂, ^5π₁₂ et−^7π₁₂. Exercice 2 :

Soitf la fonction d´efinie surRpar :f(x) = cos(x) +¹₂cos(2x).

1. ´Etudier la parit´e def

Solution: Pour tout r´eel x,f(−x) = cos(−x) +¹₂cos(−2x) = cos(x) +¹₂cos(2x) =f(x). Doncf est paire 2. Montrer quef est 2π-p´eriodique

Solution: Pour tout r´eel x,f(x+ 2π) = cos(x+ 2π) +¹₂cos(2x+ 4π) =f(x). Doncf est 2π-p´eriodique.

3. Sur quel intervalle peut-on restreindre l’´etude def?

Solution: Par p´eriodicit´e puis parit´e, on peut restreindref sur [0;π]

4. Calculerf⁰(x) puis montrer quef⁰(x) =−sinx(1 + 2 cosx)

Solution: f⁰(x) =−sin(x)−¹₂×2 sin(2x) =−sin(x)−sin(2x) =−sin(x)−2 cos(x) sin(x) =−sin(x) (+1 + 2 cos(x)) 5. ´Etudier le signe de f⁰(x) sur [0;π].

Solution:

Avec un tableau de signes, on en d´eduit quef⁰(x)60 sur [0; 2^π₃] et positif ailleurs.

6. En d´eduire le tableau de variations sur [0;π] puis sur [−π;π].

x

f

−π π

Solution:

x

f

−π −^2π₃ 0 ^2π₃ π

−¹₂

−¹₂

−³₄

−³₄

3 2 3 2

−³₄

−³₄

−¹₂

−¹₂