TS 8 Interrogation 6A : Correction 5 novembre 2016 Exercice 1 :
R´esoudre dansRpuis sur [−π;π] les ´equations suivantes : 1. cos(x) =
√2
2 2. 2 sin(2x) = 1
Solution:
1. cos(x) =
√2
2 ⇔x=π4 + 2kπ ou −π4 + 2kπaveck∈Z. Les solutions sur [−π;π] sont π4 et −π4
2. 2 sin(2x) = 1 ⇔ 2x = π6 + 2kπou 2x = 5π6 + 2kπ ⇔ x = 12π +kπ ou 5π12 +kπ. Les solutions sur R sont
π
12+kπet 5π12 +kπaveck∈Z. Les solution sur [−π;π] sont 12π,−11π12, 5π12 et−7π12. Exercice 2 :
Soitf la fonction d´efinie surRpar :f(x) = cos(x) +12cos(2x).
1. ´Etudier la parit´e def
Solution: Pour tout r´eel x,f(−x) = cos(−x) +12cos(−2x) = cos(x) +12cos(2x) =f(x). Doncf est paire 2. Montrer quef est 2π-p´eriodique
Solution: Pour tout r´eel x,f(x+ 2π) = cos(x+ 2π) +12cos(2x+ 4π) =f(x). Doncf est 2π-p´eriodique.
3. Sur quel intervalle peut-on restreindre l’´etude def?
Solution: Par p´eriodicit´e puis parit´e, on peut restreindref sur [0;π]
4. Calculerf0(x) puis montrer quef0(x) =−sinx(1 + 2 cosx)
Solution: f0(x) =−sin(x)−12×2 sin(2x) =−sin(x)−sin(2x) =−sin(x)−2 cos(x) sin(x) =−sin(x) (+1 + 2 cos(x)) 5. ´Etudier le signe de f0(x) sur [0;π].
Solution:
Avec un tableau de signes, on en d´eduit quef0(x)60 sur [0; 2π3] et positif ailleurs.
6. En d´eduire le tableau de variations sur [0;π] puis sur [−π;π].
x
f
−π π
Solution:
x
f
−π −2π3 0 2π3 π
−12
−12
−34
−34
3 2 3 2
−34
−34
−12
−12
