π 2 −t sur ]0;π[, impaire et 2π-p´eriodique

Lyc´ee Schuman Perret F´evrier 2021

CONTR ˆOLE SUR LES S´ERIES DE FOURIER

FA _Cira²

EXERCICE 1 Dessiner les graphes des fonctions suivantes sur au moins deux p´eriodes 1. f(t) = 2t sur [0; 2π[ 2π-p´eriodique.

2. f(t) = π

2 −t sur ]0;π[, impaire et 2π-p´eriodique.

3. f(t) = sin(t) sur [0;π], paire et 2π-p´eriodique.

4. f(t) = max(0; 1−cos(t)) EXERCICE 2 Calculer I1 =

Z 3 0

(3−t)²dt I2 = Z 4

3

7

2x−5dx I3 =

Z 1/3 0

te^3tdt

en int´egrant par parties EXERCICE 3 Partie A

Pour tout entier natureln, on consid`ere les int´egrales :I_n = Z π

π 2

cos(nx)dxetJ_n = Z ^π₂

0

xcos(nx)dx 1. Montrer que I_n =−1

nsinnπ 2.

2. A l’aide d’une int´egration par partie, montrer que` J_n = π 2nsin

nπ 2

+ 1 n² cos

nπ 2

− 1 n² 3. D´eterminer I1, I2 et I3, puis J1, J2 etJ3.

Partie B

Soit f la fonction num´erique d´efinie sur R, paire, p´eriodique de p´eriode 2π, telle que :







si 06t 6 π

2, f(t) = 2E π t si π

2 < t6π, f(t) =E o`uE est un nombre r´eel donn´e, strictement positif.

1. Tracer, dans un rep`ere orthogonal, la repr´esentation graphique de la fonctionf sur l’intervalle [−π ; +π] (on prendra E = 2 uniquement pour construire la courbe repr´esentant f).

2. Soit a0 et pour tout entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 1, a<sub>n</sub> etb<sub>n</sub> les coefficients de Fourier associ´es `a f.

a. Calculer a0.

b. Pour tout n>1, donner la valeur de b_n.

c. En utilisant la partie A, v´erifier que pour tout n>1, a_n= 2E

π² (2×J_n+π×I_n).

Que deviennent les a_n lorsque n est un multiple de 4 ? Partie C

1. D´eterminer les valeurs exactes des coefficients a1, a2, a3.

2. Calculer F², carr´e de la valeur efficace de la fonction f sur une p´eriode.

On rappelle que dans le cas o`ufest paire, p´eriodique de p´eriodeT, on a :F² = 2 T

Z ^T₂

0

f²(t)dt

St´ephane Le M´eteil Page 1 sur 2

Lyc´ee Schuman Perret F´evrier 2021

CONTR ˆOLE SUR LES S´ERIES DE FOURIER

FA _Cira²

3. On sait par ailleurs que la formule de Parseval donne : F² =a²₀+

+∞

X

n=1

a²_n+b²_n 2 Soit P le nombre d´efini par P = a²₀ + 1

2 a²₁+a²₂+a²₃

, on admet que P est le carr´e de la valeur efficace du signal S3(t) =

3

X

n=3

a_ncos(nωt) +b_nsin(nωt)

Calculer P, puis donner la valeur d´ecimale arrondie au milli`eme du rapport P F<sup>2</sup>. 4. Pourquoi peut-on n´egliger les harmoniques d’ordre sup´erieur `a 3 ?

St´ephane Le M´eteil Page 2 sur 2