Math32 : Contrˆole terminal Session 2 - Dur´ee 2h00

Universit´e de Bourgogne Ann´ee 2013-2014

Math32 : Contrˆ ole terminal

Session 2 - Dur´ee 2h00

Questions de cours. (4 points)

Soit E un espace vectoriel sur R et soit u un endomorphisme de E. Soient P et Q deux polynˆomes deR[X] premiers entre eux. D´emontrer que

Ker P Q(u) = Ker P(u)⊕Ker Q(u).

Exercice 1.(5 points) Soit

A=









2 1 1 −3

1 5 5 −6

−2 −1 −1 3

−1 1 1 0







 .

1. Calculer A²−3A.

2. En d´eduire que A se diagonalise surR. 3. Donner les valeurs propres de A.

4. Donner une base de chaque sous-espace propre.

Exercice 2.(6 points)

On cherche y∈ C^∞(R,R) telle que

...y(t)−2¨y(t) + ˙y(t)−2y(t) = 0,

avec t∈R.

1. On poseX(t) = (y(t),y(t),˙ y(t)),¨ t∈R. Montrer que ˙X(t) =AX(t) o`uAest une matrice que l’on pr´ecisera.

2. D´eterminer le rang de A−2I et en d´eduire que 2 est valeur propre.

3. D´eterminer les valeurs propres de A surC et en d´eduire que A se diagonalise.

4. D´eterminer les projecteurs spectraux (on pourra les ´ecrire comme un polynˆome, `a pr´eciser, de la matrice A).

5. Calculer e^tA avec t∈R, ´eventuellement sous la forme d’un polynˆome de A.

6. En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle.

1

Exercice 3.(5 points)

Soit E =C^∞(R,R) l’espace des fonctions ind´efiniment d´erivables deRdans R, et soit ∆ :E → E l’application d´efinie par

∆(y) = 4y⁰⁰−4y⁰+y.

1. Montrer que ∆ est un endomorphisme.

2. Donner une base du noyau de ∆.

3. Montrer que ∆(Rn[X])⊂Rn[X].

On consid`ere d´esormais l’endomorphisme ∆<sub>n</sub>:Rn[X]→Rn[X] induit par ∆ sur l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an.

4. Calculer ∆_n(X^k), pour tout entier naturel k 6n, et en d´eduire la matrice de ∆_n dans la base canonique (1, X, . . . , Xⁿ) de Rn[X].

5. Montrer que ∆n est inversible.

Soit P ∈Rn[X]. On note S l’ensemble des solutions dans E de l’´equation diff´erentielle 4y⁰⁰(x)−4y⁰(x) +y(x) = P(x), x∈R.

6. Montrer qu’il existe Q∈Rn[X] tel que ∆(Q) = ∆_n(Q) =P.

7. Soient y₁ ety₂ dans S, montrer que y₁−y₂ est dans le noyau de ∆.

8. En d´eduire que S est l’ensemble des fonctions de la forme Q+y₀, avec y₀ dans le noyau de ∆.

9. R´esoudre

4y⁰⁰(x)−4y⁰(x) +y(x) = x²+x−1, x∈R.

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