Dur´ee: 2h00 - Ni document ni calculatrice autoris´es

Universit´e de Cergy-Pontoise - Licence de Math´ematiques Calcul Int´egral - Lundi 3 juillet 2006

Dur´ee: 2h00 - Ni document ni calculatrice autoris´es

Notations:

dx est la mesure de Lebesgue sur IR. On note 1A la fonction indicatrice de l’ensemble A (1_A(x) = 1 si x∈A et 1_A(x) = 0 si x /∈A).

Exercice I (7 pts) 1) Pour n ∈IN^∗, on pose

I_n=

Z

IRcos (x³ n ) 1

1 +x²dx Montrer que I_n∈IR et que

n→+∞lim I_n=π, en justifiant soigneusement le r´esultat.

2) Pour n ∈IN^∗, on pose pour x∈IR f_n(x) =

Xn k=1

1 k³e^−|x|k

a) Montrer qu’il existe C >0 tel que pour tout x∈IRet pour toutn ∈IN^∗, on a 0< fn(x)≤C.

b) Calculer la limite de ^R_IRfn(x)dx, en justifiant soigneusement la r´eponse (on rappelle que

+∞X

k=1

1 k² = π²

6 ) Exercice II ( 7 pts)

Soit (X,T, µ) un espace mesur´e avec µmesure finie. On consid`ere une fonc- tion mesurable f :X 7→IR telle qu’il existe C >0 tel que

∀A∈ T,

Z

Af dµ ≥Cµ(A) (∗)

Pour n∈IN^∗, on d´efinit

A_n={f ≤C− 1 n} 1) Montrer queA_n∈ T, que A_n⊂A_n+1 et que

∪_n≥1A_n ={f < C}

2) En utilisant la propri´et´e (∗), montrer que µ(An) = 0.

3) En d´eduire que f ≥C µ p.p.

Exercice III (7 pts) Soit g : [0,+∞[×[0,1] → IR₊ une fonction mesurable telle que g ∈L^p([0,+∞[×[0,1]) avec 1≤p <+∞. On pose

∀x∈IR₊, F(x) =

Z ₁

0 g(x, y)dy

1) Montrer que pour presque toutx≥0, 0≤F(x)<+∞et queF ∈L^p(IR₊) avec

||F||L^p(IR+)≤ ||g||L^p(IR+×[0,1])

2) Montrer que l’on a

Z _+∞

0 F(x)^pdx≤

Z _+∞

0

Z ₁

0 g(x, y)F(x)^p−1dy dx (I) 3) D´eduire de l’in´egalit´e (I) que

||F||_L^p_(IR+) ≤

Z ₁

0 ||g(., y)||_L^p_(IR+)dy