Universit´e de Cergy-Pontoise Janvier 2011
Epreuve de Math´ ´ ematiques S3 I et P
Dur´ ee 3 heures, documents et calculatrice interdits
Premier Exercice - 5 points
Soit f la fonction d´efinie surR×Rpar :
f(x, y) =x3+ 2xy2−5
2x2−4xy
1. Rechercher les points critiques def surR2. On en trouvera quatre.
2. On trouve un seul point critiqueAdont les coordonn´ees sont strictement positives. Montrer qu’en ce pointA la fonction f pr´esente un minimum relatif, que l’on pr´ecisera. Est-ce un minimum absolu ?
3. On consid`ere dans R2 la courbe d’´equation y = x42, et on appelle g la restriction de f `a cette courbe. Montrer que g admet deux extremums relatifs que l’on calculera.
Second Exercice - 5 points
1. Montrer quet7→tlnt−t est une primitive sur ]0,+∞[ de t7→lnt.
2. Montrer que l’int´egrale
Z 1
0
lnx dx est convergente et pr´eciser sa valeur.
3. Soit I l’int´egrale d´efinie par :
I = Z +∞
0
lnt t2+ 1dt
Montrer qu’elle est convergente. On fera une ´etude s´epar´ee pour la convergence en 0 et la convergence en +∞.
4. En faisant le changement de variable
u= 1 t montrer que I = 0.
Troisi`eme Exercice - 5 points
1. ´Etudier la convergence des s´eries num´eriques suivantes : (a)
X 1
ln(en−1) pour n≥1 (b)
X n2 2n+n (c)
X(−1)n−1
n pour n≥1
2. On veut calculer la sommeS=P+∞
n=1
(−1)n−1
n de cette derni`ere s´erie.
(a) Montrer que
1
1 +x = 1−x+x2+. . .+ (−1)n−1xn−1+(−1)nxn 1 +x (b) En d´eduire
ln 2 = 1−1 2 +1
3+. . .+ (−1)n−11
n+ (−1)n Z 1
0
xn 1 +xdx puis S = ln 2.
Quatri`eme Exercice - 5 points
1. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de f(x) = 1
2−x
2. D´eterminer le rayon de convergenceR de cette s´erie enti`ere.
3. On admettra que le d´eveloppement pr´ec´edent convient lorsquexest complexe, de module strictement plus petit que R. En posant x = eiθ et en s´eparant partie r´eelle et partie imaginaire, donner le d´eveloppement en s´erie de Fourier de
h(θ) = 2−cosθ 5−4 cos(θ)
Attention, on ne cherchera pas `a calculer les coefficient de Fourier anetbnpar les formules du cours.
