Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

L3 PAPP/MEC Universit´ e Paris-Sud Examen final de math´ ematiques

Mardi 23 avril 2019

Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

L’utilisation de documents, t´ el´ ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

n’oubliez pas de vous relire.

Pensez aux informations en annexe.

Questions de cours

Les propri´ et´ es suivantes seront utiles pour les autres exercices. Une (petite) d´ emonstration est exig´ ee pour chacune.

1/ On note ˆ f (k) = F _k [f ] la transform´ ee de Fourier de f . Montrer que si f est r´ eelle, f (x) ^∗ = f (x), et sym´ etrique, f (x) = f (−x), alors ˆ f (k) a les mˆ emes propri´ et´ es (r´ eelle et sym´ etrique).

2/ Soit λ > 0. Exprimer la transform´ ee de Fourier de ¹ _λ f (x/λ) en fonction de ˆ f(k).

3/ Soit f et g deux fonctions et (f ∗ g)(x)

= R

R dy f (y)g(x − y) leur produit de convolution.

Exprimer F _k [f ∗ g] en fonction de ˆ f (k) et ˆ g(k).

4/ Soit δ la distribution de Dirac et soit ϕ(x) une fonction continue. Que vaut R

R dx δ(x) ϕ(x) ? Que vaut δ ∗ ϕ ?

1 Analyse complexe

1/ Soit h(z) une fonction analytique sur C . Rappeler (sans d´ emonstration) les formules donnant les r´ esidus de f (z) = h(z)/(z − z ₀ ) et g(z) = h(z)/(z − z ₀ ) ² en z ₀ .

2/ On consid` ere l’int´ egrale

Φ(ω) = Z

R

dz e ^iωz

(z − iλ) ² (1)

Discuter les propri´ et´ es d’analyticit´ e de f(z) = e ^iωz /(z − iλ) ² . 3/ Calculer le r´ esidu de f au pˆ ole.

4/ Soit C _R ^± les demi-cercles de rayon R, soit dans le demi plan complexe sup´ erieur (+), soit dans le demi plan complexe inf´ erieur (−). ` A quelle condition sur ω ∈ R a-t-on

R→∞ lim Z

C

dz f (z) = 0 ? (2)

De mˆ eme, ` a quelle condition sur ω a-t-on lim R→∞

R

C

dz f (z) = 0 ? 5/ En utilisant le th´ eor` eme des r´ esidus, montrer que

Φ(ω) = −2π θ _H (ω) ω e ^−λω (3)

o` u θ H est la fonction de Heaviside (θ H (x) = 1 pour x > 0 et θ H = 0 pour x < 0). On pr´ ecisera le contour utilis´ e selon le signe de ω.

1

6/ Application : On ´ etudie l’´ equation diff´ erentielle

y ⁰⁰ (x) + 2λ y ⁰ (x) + λ ² y(x) = s(x) (4) o` u s(x) est un terme de source, suppos´ e connu. On cherche y.

a) Quelle est l’´ equation satisfaite par la transform´ ee de Fourier ˆ y(k) = F _k [y], exprim´ ee en fonction de ˆ s(k) = F _k [s] ?

b) On suppose ˆ s(k) = 1/ √

2π. D´ eduire y(x).

c) Bonus : Quel commentaire pouvez-vous faire sur cette solution ? ` A partir de cette solu- tion, pourriez-vous ´ ecrire la solution de l’´ equation diff´ erentielle pour un s(x) quelconque ?

2 Une convolution

L’objectif de l’exercice est de calculer G _a = sinc ∗ L _a , qui repr´ esente la convolution (d´ efinie dans la question de cours) du sinus cardinal et d’une lorentzienne :

sinc(x) = sin(x)

x et L _a (x) = a/π

x ² + a ² (5)

1/ On introduit la fonction Π _a (k) = 1/a pour |k| < a/2 et Π _a (k) = 0 pour |k| > a/2. Calculer la transform´ ee de Fourier inverse F _x ^† [Π _a (k)]. D´ eduire la transform´ ee de Fourier sinc(k) = d F _k [sinc(x)].

2/ Soit h a (k) = e ^−a|k| . Calculer la transform´ ee de Fourier inverse F _x ^† [h a (k)]. D´ eduire la trans- form´ ee de Fourier L b _a (k) = F _k [L _a (x)].

3/ Donner l’expression de la transform´ ee de Fourier ˆ G a (k) = F _k [sinc ∗ L _a ].

4/ ` A l’aide de la transformation de Fourier inverse, calculer G _a (x).

5/ Que vaut G _a (x) dans la limite a 1 ? Comment comprendre ce r´ esultat ?

6/ Bonus : Nous analysons l’autre limite, a 1 : que devient L _a (x) dans la limite a → 0 ? D´ eduire la limite attendue pour G _a = sinc ∗ L _a .

3 Formule de Poisson

A. Formule sommatoire de Poisson

1/ Soit Φ(x) une fonction p´ eriodique, Φ(x + 1) = Φ(x), pouvant ˆ etre repr´ esent´ ee en s´ erie de Fourier

Φ(x) = X

m∈ Z

c _m e ^2iπmx (6)

Montrer que le coefficient c m est reli´ e ` a R 1

0 dx Φ(x) e ^−2iπmx (on admettra qu’il est licite de permuter somme et int´ egrale).

2/ On consid` ere la fonction

Φ(x) = X

n∈ Z

f (x + n) (7)

o` u f(x) est une fonction d´ efinie sur R , d´ ecroissant suffisamment vite ` a l’infini pour que la s´ erie soit convergente : |f (x)| 6 C |x| ⁻¹⁻ pour x → ±∞ avec > 0. Justifier que Φ(x) peut ˆ

etre repr´ esent´ ee en s´ erie (6).

2

3/ On note ˆ f (k) = F _k [f] la transform´ ee de Fourier de f. Montrer que le coefficient c _m de la s´ erie de Fourier pour Φ est reli´ e ` a la transform´ ee de Fourier ˆ f (2πm).

4/ D´ eduire la formule sommatoire de Poisson X

n∈ Z

f (n) = √ 2π X

m∈ Z

f ˆ (2πm) (8)

B. Application

On consid` ere une particule quantique de masse m sur un anneau de p´ erim` etre L. Le spectre des

´

energies est E n = ε 0 n ² pour n ∈ Z, o` u ε 0 = h <sup>2</sup> /(2mL <sup>2</sup> ) o` u h est la constante de Planck. La fonction de partition canonique est d´ efinie comme

Z _t = X

n∈ Z

e ^−tn

avec t

= βε ₀ (9)

o` u β = 1/(k B T ) est l’inverse de la temp´ erature.

1/ On rappelle que F _k [e ⁻

^x

] = e ⁻

^k

. D´ eduire la transform´ ee de Fourier de f (x) = e ^−tx

. 2/ Appliquer la formule de Poisson (8) pour trouver une autre repr´ esentation en s´ erie de la

fonction de partition Z t .

3/ En choisissant la s´ erie appropri´ ee pour ´ etudier chaque limite, donner les comportements de Z t pour t → 0 et t → ∞ (on donnera le terme dominant et la premi` ere correction au terme dominant dans chaque cas).

Annexe

• Transformation de Fourier F _k [f]

= 1

√ 2π Z

R

dx f (x) e ^−ikx et F _x ^† [ ˆ f ] = 1

√ 2π Z

R

dk f ˆ (k) e ^ikx (10)

• On rappelle les deux lemmes de Jordan. Consid´ erons f (z) sur C R , un arc de cercle de rayon R centr´ e sur 0, alors

R→0 lim Sup

z∈ C

|z f (z)| = 0 ⇒ lim

R→0

Z

C

dz f(z) = 0 (11)

R→∞ lim Sup

z∈ C

|z f (z)| = 0 ⇒ lim

R→∞

Z

C

dz f (z) = 0 (12)

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