Soigner la r´edaction, une r´eponse non justifi´ee n’est pas prise en compte

Decembre 2017 L3

Math´ematiques

STRUCTURES ALG´EBRIQUES

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Soigner la r´edaction, une r´eponse non justifi´ee n’est pas prise en compte.

Exercice 1 (10 points). Les quatre parties de cet exercice sont ind´ependantes.

a) Soit n ≥ 4. Soient τ₁, τ₂ deux transpositions de S_n. Quel peut ˆetre l’ordre du produit τ₁τ₂? Justifier.

b) Soit

I ={p(x)∈Z[x]|5 divise p(0)}.

• D´emontrer queI est un id´eal deZ[x].

• D´emontrer queI n’est pas principal.

• D´emontrer que

Z[x]

I ' Z 5Z. c) Soit Gle sous-groupe de O(2,R) engendr´e par

a= (^{0 1}_{1 0}) et b=

−

√2

2 −

√2

√ 2 2

2 −

√ 2 2

. Qui est ce groupe et pourquoi?

d) Soit

K= Z/5Z[x]

(x²+ 2).

• D´eterminer les racines du polynˆomex²+ 2∈Z/5Z[x].

• D´emontrer queK est un corps.

• Calculer le cardinal de K et sa caract´eristique. Justifier.

TOURNER SVP

Exercice 2 (5 points). SoitG un groupe fini. On d´efinit une relation Rsur Gen posant a, b∈G, aRb⇐⇒ ∃g∈G, gag⁻¹ =b.

a) D´emontrer qu’il s’agit d’une relation d’equivalence.

On fixe a∈G.

b) D´emontrer que

C_G(a) ={g∈G|gag⁻¹ =a}

est un sous-groupe de G.

c) Soit [a]R la classe d’´equivalence dea. D´emontrer que

Cardinal de [a]R= [G:CG(a)].

(On pourra considerer la fonction f_a : G → [a]R, g 7→ gag⁻¹ et la relation ∼_fa sur G associ´ee `a cette fonction, i.e. la relation d´efinie par ∀g₁, g2 ∈G: g1 ∼_fa g2 ⇐⇒fa(g1) =fa(g2).)

d) Calculer C_S5((123)).

e)Calculer le nombre de 3-cycles dansS₅et v´erifier qu’il coincide avec [S₅ :C_S5((123))]. Expliquer pourquoi.

Exercice 3(5 points). SoitT une ind´etermin´ee et soitC[T², T³] le plus petit sous-anneau deC[T]

qui contientC, T² etT³. a) D´emontrer que

C[T², T³] ={a+T²f(T)|a∈C, f(T)∈C[T]}.

b) D´emontrer queT² etT³ sont irr´eductibles dans C[T², T³].

c) En d´eduire queC[T², T³] n’est pas factoriel.

d) Soit φ:C[x, y]→C[T] le morphisme d’anneaux

a(x, y)7→φ(a(x, y)) =a(T³, T²).

D´emontrer que sir(x, y) =f(y) +xg(y)∈C[x, y] (avecf(y), g(y)∈C[y]) est un ´el´ement deKer(φ) alorsr(x, y) = 0.

e)D´emontrer queKer(φ) = (x²−y³).(On pourra utiliser la division euclidienne dea(x, y)∈C[y][x]

parx²−y³ tout en justifiant pourquoi cela a bien un sens.) f ) En d´eduire quex²−y³ est irr´eductible.

g) D´emontrer que l’anneau quotient

C[x, y]

(x²−y³) n’est pas factoriel.

Exercice 4 (BONUS.2 points). D´emontrer qu’il existe un isomorphisme d’anneaux:

Z[i]

(1 + 3i) ' Z 10Z.