D´emontrer que l’ordre deabest mn

D´ecembre 2018 L3

Math´ematiques

STRUCTURES ALG´EBRIQUES

Aucun document autoris´e, calculatrice et t´el´ephone interdits. Barˆeme indicatif.

Soigner la r´edaction et la calligraphie, une r´eponse non justifi´ee n’est pas prise en compte.

Exercice 1 (Questions de cours [6pts]).

a) SoitG un groupe et soienta, b∈G d’ordres respectifs m etn. On suppose que : m6= 16=n, m∧n= 1, ab=ba.

D´emontrer que l’ordre deabest mn.

b) Soit A un anneau int`egre et soit (a, b) ∈ A²\ {(0,0)}. D´efinir le pgcd de a et b. D´emontrer ensuite que siA est factoriel alors il existe toujours le pgcd d’un tel couple (a, b).

c) Soit K un corps et soit {0} 6= I un id´eal de K[x]. D´emontrer qu’il existe p(x) ∈ K[x] tel que I = (p(x)). Le seul r´esultat du cours que vous pouvez admettre est l’existence de la division euclidienne dans K[x].

Exercice 2 ([6pts]).

a) Donner la liste des polynˆomes irr´eductibles de Z/2Z[x] de degr´e 2, 3 et 5 en justifiant votre r´eponse.

b) Quel est l’ordre de (124)(253)∈S₅? Donner la liste des ordres des ´el´ements de S₇.Justifier la r´eponse.

c)Calculer l’ordre de 21, ´el´ement du groupe (Z/1740Z,+).Combien d’´el´ements du groupe (Z/1740Z,+) ont le mˆeme ordre que 21? Calculer le nombre de sous-groupes de (Z/330Z,+). Justifier toutes les r´eponses.

Exercice 3 ([3pts]). Soit n ≥ 2 e soit D(D_n) = h[g, h] = ghg⁻¹h⁻¹|g, h ∈ D_ni le sous-groupe deriv´e du groupe diedralDn' hr, s| |r|=n,|s|= 2, srs=r⁻¹i.

a) D´emontrer queD(Dn) =hr²i.

b) En s´eparant le casn pair de celuin impair, calculer le cardinal dehr²i.

c) Calculer le groupe quotient D_n/D(D_n). Ceci signifie d´emontrer `a quel groupe connu il est isomorphe.

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Exercice 4 ([8pts]). Soit j=e^2iπ3 =−¹₂ +ⁱ

√3

2 ∈C.On consid`ere le sous-ensemble de C: Z[j] ={a+bj∈C|a, b∈Z}.

a) D´emontrer queZ[j] est un sous-anneau deC. Est-il int`egre?

b) L’´el´ement 1 +j est-il inversible dansZ[j]?

c) Soit N :C→ R≥, N(z) = zz. D´emontrer que siz =a+bj ∈Z[j] alors N(z)∈ Net exprimer N(a+bj) en fonction deaetb.

d) Calculer F rac(Z[j]).

e)D´emonter queZ[j],avec la restriction deN `aZ[j]\{0}comme stathme, est un anneau euclidien.

f )Calculer l’ensembleZ[j]^∗des inversibles deZ[j]. `A quel groupe connu est-il isomorphe (Z[j]^∗,·)?

g) Le nombre 7 est-il irr´eductible dansZ[j]? Justifier votre r´eponse.

h) D´emontrer que si z ∈ Z[j] alors N(z) 6≡2 mod 3 (on pourra utiliser un tableau). En d´eduire que si p∈Nest un nombre premier tel quep≡2 mod 3 alors pest irr´eductible comme ´el´ement de Z[j].

i) D´emontrer qu’il existe un isomorphisme d’anneaux

Z[j]' Z[x]

(x²+x+ 1).