12 d´ecembre 2016 L3
Math´ematiques
STRUCTURES ALG´EBRIQUES
Aucun document autoris´e, calculatrice et t´el´ephone interdits. Bar`eme indicatif.
Toute r´eponse doit ˆetre justifi´ee.
Questions (7 points + 1 de bonus si au moins deux bonnes r´eponses).
a) D´emontrer que l’id´ealI = (x+y2, y+x2+ 2xy2+y4) de l’anneau C[x, y] coincide avec (x, y).
D´emontrer ensuite que l’anneau quotientC[x, y]/I est isomorphe `a C. b) D´eterminer les id´eaux de
R×R, R[x]/(x2), ,R[x]/(x2−3x+ 2), R[x]/(x2+x+ 1).
Parmi ceux la, lesquels sont maximaux?
c) Soienta, b, c, d quatre ´el´ements distincts de{1, ..., n}. Calculer dansSn le produit (abc)◦(bcd).
En d´eduire que,∀n≥3,An est engendr´e par les 3-cycles.
d) Trouver la somme des racines et la somme des carr´es des racines de x3+ 2x−3.
e) D´emontrer que le groupe (Q,+) ne peut pas ˆetre isomorphe au groupe (Q∗+,·). (Penser `a√ 2) f ) Trouver un g´en´erateur de l’id´ealI∩J de Z/3Z[x], o`u
I = (2x3+x+ 1), J = (x2+ 2).
A-t-on
Z/3Z[x]
I∩J ' Z/3Z[x]
I ×Z/3Z[x]
J ?
Exercice 1 (3 points).
a) Trouver un g´en´erateur du sous-groupe de (Q,+) engendr´e par 21
4 et 35
6 .
b)D´emontrer que tout sous-groupe de (Q,+) engendr´e par deux ´el´ements est cyclique. En d´eduire que tout sous-groupe de (Q,+) engendr´e par un nombre fini d’´el´ements est cyclique.
c)Trouver un sous-groupe propre de (Q,+) qui ne soit pas engendr´e par un nombre fini d’´el´ements.
Exercice 2 (8 points). Soient Z[i
√
3] ={a+bi√
3|a, b∈Z}, Q[i
√
3] ={a+bi√
3|a, b∈Q}, θ= 1 +i√ 3
2 , A={a+bθ|a, b∈Z}, ϕ:C\ {0} →R∗+, α7→αα¯ =|α|2.
a) D´emontrer queZ[i√
3] est un sous anneau deC et calculer son corps des fractions.
b)D´emontrer queAest un sous anneau deCqui contientZ[i√
3] et calculer son corps des fractions.
c) L’anneau quotient A/(−3) est-il int`egre?
d) D´emontrer que les ´el´ementsα∈Z[i√
3] tels queϕ(α) = 4 sont irr´eductibles dans Z[i√ 3].
e) D´emontrer queZ[i√
3] n’est pas factoriel.
f ) D´emontrer queϕ(A\ {0})⊂N.
g) D´emontrer que (A, ϕ|A\{0}) est ´euclidien. Est-il factoriel?
h) Calculer les inversibles de Z[i√
3] et de A.D´emontrer ensuite que 2 est associ´e `a 1 +i√ 3 dans A mais pas dansZ[i√
3].
Exercice 3 (5 points). SoitG le sous-groupe de GL2(R) engendr´e par a= 1
√2
−1 1
1 1
, b=
−1 0
0 1
.
a) Calculer l’ordre dea, de bet de ab.
b)SoitH le sous-groupe deGengendr´e parab. Calculer le cardinal deH. D´emontrer queba∈H.
c) D´emontrer que aHa−1⊆H, bHb−1 ⊆H. En d´eduire queH est distingu´e dansG.
d) Lister les ´el´ements du quotient G/H, sans r´ep´etitions. Calculer ensuite le cardinal de G.
e) Qui est G? Justifier la r´eponse.
