(a) f(x, y) =e(x+y), (b) g(x, y) =ysin( 1 x2+y2) pour (x, y)6= (0,0) et g(0,0

USTL Math 202 B PC S3 El´ements de calcul diff´erentiel

Examen, Janvier 2010 Dur´ee : 2h Documents, calculatrices et t´el´ephones interdits

Exercice I.

1. Dire si les fonctions suivantes sont continues en (0,0) : (a) f(x, y) =e^(x+y),

(b) g(x, y) =ysin( 1

x²+y²) pour (x, y)6= (0,0) et g(0,0) = 0.

(c) h(x, y) = x²y

x⁴+y² pour (x, y)6= (0,0) et h(0,0) = 0.

2. (BONUS) Ces fonctions sont-elles diff´erentiables en (0,0) ? Exercice II.

Soit V =]0,+∞[×R et φ:R² →V d´efinie par φ(x, y) = (e^2x, e^2xy).

1. Montrer queφ est unC¹-diff´eomorphisme et indiquer son application r´eciproque φ⁻¹(u, v).

2. On cherche les solutions f de classeC¹ surR² de l’´equation aux d´eriv´ees partielles (1) ∂f

∂x −2y∂f

∂y =y.

On posef(x, y) =g(u, v) o`u (u, v) = (e^2x, e^2xy).

(a) Trouver l’´equation aux d´eriv´ees partielles (2) que v´erifieg.

(b) R´esoudre l’´equation (2) pourg et en d´eduire les solutionsf de l’´equation (1) . Exercice III.

1. Soit l’int´egraleI1 = ZZ

T

(xy) dxdy, o`u T est le triangle de sommetsA= (0,0),B = (1,2) et C = (0,3).

Repr´esenter le domaine d’int´egration T, puis calculerI1 en utilisant le Th´eor`eme de Fubini.

2. Soit l’int´egrale I2 = ZZ

D

(x+y) dxdy, o`u D={(x, y)∈R² : 1≤x²+y² ≤4 ; −x≤y ≤x}.

Repr´esenter le domaine d’int´egrationD, puis calculerI₂ en passant en coordonn´ees polaires.

3. Dessiner la portion plane ∆ :={(x, y)∈R² :y≥2x² ; y≤2x+ 4} puis calculer son aire.

Exercice IV.

On consid`ere la fonctionf d´efinie par f(x, y) =x²+¹₂y²+_x¹2y. 1. D´eterminer le domaine de d´efinition D_f de f.

2. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 et 2 de f surD_f. 3. Montrer que les points critiques de f sont (1,1) et (−1,1).

4. D´eterminer la nature des points critiques def.